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2018年秋高中数学课时分层作业22平面向量数量积的坐标表示、模、夹角新人教A版必修4


拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

课时分层作业(二十二)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(建议用时:40 分钟) [学业达标练] 一、选择题 1.a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a·b 等于( A.23 C.63 D [因为|a| =(-4) +3 =25,
2 2 2 2

)

B.57 D.83

a·b=(-4)×5+3×6=-2,
所以 3|a| -4a·b=3×25-4×(-2)=83.] 2.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( A.1 C.2 C [∵(2a-b)·b=2a·b-|b|
2 2 2 2 2

)

B. 2 D.4

=2(-1+n )-(1+n )=n -3=0, ∴n =3,∴|a|= 1 +n =2.] 3.设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则 sin θ 等于( )
2 2 2

【导学号:84352258】 A. C. A 10 10 3 10 10 [设 b=(x,y),则 B. D. 1 3 4 5

a+3b=(2+3x,1+3y)=(5,4),
? ?2+3x=5, 所以? ?1+3y=4, ?

解得?

? ?x=1, ?y=1, ?

即 b=(1,1),

a·b 3 所以 cos θ = = , |a||b| 10
所以 sin θ = 1-cos θ =
2

10 .] 10 )

4.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为( A. 65 5 B. 65

1

C. A -

13 5

D. 13

[a 在 b 方 向 上 的 投 影 为 |a|cos 〈 a , b 〉 = +3×7 65 = .] 5 65

a·b = |b |

, -

-4,
2

+7

2



5. 已知向量 a=(1, -1), b=(1,2), 向量 c 满足(c+b)⊥a, (c-a)∥b, 则 c 等于(

)

【导学号:84352259】 A.(2,1) B.(1,0) D.(0,-1)

?3 1? C.? , ? ?2 2?
A

[设向量 c=(x,y),则 c+b=(x+1,y+2),c-a=(x-1,y+1),

因为(c+b)⊥a,所以(c+b)·a=x+1-(y+2)=x-y-1=0, 因为(c-a)∥b,所以
?x-y-1=0, ? 由? ? ?2x-y-3=0,

x-1 y+1
1 = 2

,即 2x-y-3=0.

解得?

?x=2, ? ? ?y=1,

所以 c=(2,1).]

二、填空题 6.已知向量 a=(1,-2),向量 b 与 a 共线,且|b|=4|a|,则 b=________. (4,-8)或(-4,8) [因为 b∥a,令 b=λ a=(λ ,-2λ ), 又|b|=4|a|, 所以(λ ) +(-2λ ) =16(1+4),故有 λ =16,解得 λ =±4, 所以 b=(4,-8)或(-4,8).] 7.已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 a-3b 垂直,则 k 的值为________. 19 [ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
2 2 2

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
又 ka+b 与 a-3b 垂直,故(ka+b)·(a-3b)=0, 即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得 k=19.] 8.如图 2?4?6,在 2×4 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量 a,b,则向量 a+

b,a-b 的夹角余弦值是________.
【导学号:84352260】

图 2?4?6

2



4 65 65

[不妨设每个小正方形的边长为 1, 建立如图所示的平

面直角坐标系, 则 a=(2,-1),b=(3,2), 所以 a+b=(5,1),a-b=(-1,-3), 所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8, |a+b|= 26,|a-b|= 10, 所以向量 a+b,a-b 的夹角余弦值为 三、解答题 9.已知向量 a,b 满足|a|= 5,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b. (1)求向量 a 的坐标. (2)求向量 a 与 b 的夹角. [解] (1)设 a=(x,y), 因为|a|= 5,则 x +y = 5, 又因为 b=(1,-3),且(2a+b)⊥b, 2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3), 所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即 x-3y+5=0, ②
2 2

4 65 =- .] 65 26· 10

-8



由①②解得?

?x=1, ? ?y=2 ?

或?

?x=-2, ? ?y=1, ?

所以 a=(1,2)或 a=(-2,1). (2)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 所以 cos θ = = |a||b| = -2, 1+2
2

a·b

, 1+2
2

,- 1+ - 2 , 2
2

=-

2 a·b 或 cos θ = 2 |a||b|

,- 1+ -
2

=-

3π 因为 0≤θ ≤π ,所以向量 a 与 b 的夹角 θ = . 4 → → 10.在△ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC 是直角三角形,求 k 的值. 【导学号:84352261】 → → [解] ∵AB=(2,3),AC=(1,k),

3

→ → → ∴BC=AC-AB=(-1,k-3). 若∠A=90°, → → 则AB·AC=2×1+3×k=0, 2 ∴k=- ; 3 → → 若∠B=90°,则AB·BC=2×(-1)+3(k-3)=0, 11 ∴k= ; 3 → → 若∠C=90°,则AC·BC=1×(-1)+k(k-3)=0, 3± 13 ∴k= . 2 2 11 3± 13 综上,k 的值为- 或 或 . 3 3 2 [冲 A 挑战练] 1. 角 α 顶点在坐标原点 O, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 点 P 在 α 的终边上, 点 Q(- → → 3,-4),且 tan α =-2,则OP与OQ夹角的余弦值为( A.- C. C 5 5 11 5 B. 25 11 5 11 5 D. 或 25 5 )

5 5 或- 5 5 [∵tan α =-2,

∴可设 P(x,-2x), → → → → OP·OQ 5x cos〈OP,OQ〉= = , → → 5 5|x| |OP|·|OQ| → → 5 当 x>0 时,cos〈OP,OQ〉= , 5 → → 5 当 x<0 时,cos〈OP,OQ〉=- .故选 C.] 5 2.已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动 → → 点,则|PA+3PB|的最小值为( ) 【导学号:84352262】 A.3 C.7 B.5 D.8
4

B

[如图,以 D 为原点,DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角

坐标系, 则 A(2,0), B(1, a), C(0, a), D(0,0), 设 P(0, x)(0≤x≤a), → → 则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x), → → 所以|PA+3PB|= 25+

a-4x

2

≥5.]

→ → 3.如图 2?4?7 所示,已知点 A(1,1),单位圆上半部分上的点 B 满足OA·OB=0,则向 → 量OB的坐标为________.

图 2?4?7 2 2? ? ?- , ? [根据题意可设 B(cos θ ,sin θ )(0<θ <π ), 2? ? 2 →

OA=(1,1),OB=(cos θ ,sin θ ).
→ → 由OA·OB=0 得 sin θ +cos θ =0,tan θ =-1, 3π 3π 2 3π 2 所以 θ = ,cos =- ,sin = , 4 4 2 4 2 → ? 2 2? 所以OB=?- , ?.] 2? ? 2 → → → → 4.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上存在一点 P 使AP·BP有最小值,则点 P



的坐标是________. 【导学号:84352263】 → → (3,0) [设点 P 的坐标是(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1), → → 2 2 所以AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x -6x+10=(x-3) +1, → → 当 x=3 时AP·BP取得最小值,故点 P 的坐标为(3,0).] 5.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4), (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦 值. 【导学号:84352264】 [解] (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

5

→ → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3), → → 又∵AB·AD=1×(-3)+1×3=0, → → ∴AB⊥AD,即 AB⊥AD. → → (2)解:AB⊥AD,四边形 ABCD 为矩形, → → ∴AB=DC. → → 设 C 点坐标为(x,y),则AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), ∴?
? ?x+1=1, ?y-4=1, ?

得?

? ?x=0, ?y=5. ?

∴C 点坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → 所以AC·BD=8+8=16>0, → → |AC|=2 5,|BD|=2 5. → → 设AC与BD夹角为 θ ,则 → → AC·BD 16 4 cos θ = = = >0, → → 20 5 |AC|·|BD| 4 解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 . 5

6


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