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平面向量的实际背景及基本概念导学案1 人教课标版(优秀教案)


平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】
、了解向量的实际背景,会用字母表示 、向量的几何表示。 、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量,相反向量的概念。
【预习导学】
、向量的概念 有一类量如长度、质量、面积、体积等,只有没有,这类量我们称之为数量.
而力是常见的物理量,重力、浮力、弹力等都是既有又有的量;那这样的量叫什 么呢?
数学中,我们把这种既有,又有的量叫做向量. 问题:数量和向量的异同点有哪些?
、向量的表示法
问题:向量有几种表示方法?
⑴我们常用来表示向量,线段按一定比例画出,它的长短表示向量的大小, 箭头的指向表示向量的方向.
⑵以 A为起点,B 为终点的有向线段记作,线段 AB 的长度称为模,记作 AB . 有向线段包含三个要素:
⑶有向线段也可用字母如 a ,, 表示.

、几个特殊的向量

零向量:长度为的向量;单位向量:长度等于的向量. 平行向量(共线向量):的非零向量. 若向量 a ,b 平行,记作:a // b . 因为 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上,因此,平行向量也叫做向量 问题:如何理解零向量的方向? 相等向量:相等且的向量叫做相等向量,用有向线段表示的向量 a 与 b 相等, 记作:.

【自测自评】

、判断题:()、平行向量一定方向相同()错

()、不相等的向量一定不平行()错

()、与任意向量都平行的向量是零向量()对

、下列物理量:①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度

是向量的有( )

、个 、个 、个 、个

、下列说法中正确的有( )个

⑴零向量是没有方向的向量;

⑵零向量与任一向量平行;

⑥路程,其中

⑶零向量的方向是任意的;

⑷零向量只能与零向量平行.

个个个个

、下列说法正确的是( ).

.向量 AB 与向量 BA 的长度不等 .两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同

.零向量没有方向

.任一向量与零向量平行

、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形

是( )

.一条线段

.一段圆弧

.圆上一群孤立点

.一个单位圆

【合作探究】

探究一:向量有关概念的理解
例:下列结论中正确的是()

.向量 AB 的长度和向量 BA 的长度相等

.向量 a 与 b 平行,则 b 与 a 方向相同

.如果 a ? b ,则 a ? b

.若 a 与 b 平行同向,且 a ? b ,则 a ? b

例:在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量: ⑴ OA ? 3,点 A在点 O 的正北方向; ⑵ OB ? 2 2 ,点 B 在点 O 南偏东 60 方向.
探究二:相等向量与平行向量的理解

例:如下图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与 OD ,OE , FO 相等的向量.

与 OD 相等的向量有: FE

与 OE 相等的向量有: AF

与 FO 相等的向量有: OC, AB, ED

变式:()与 AB 相等的向量有哪些?

() OA 与 EF 相等吗? OB 与 AF 相等吗?

() OC, FO, ED

() OA 与 EF 相等, OB 与 AF 不相等

例:在下列命题中: ①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等; ④相等向量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两 个向量是共线向量.
其中不正确的命题是①②③⑤⑥.
探究三:向量在实际生活中的应用
例:一辆汽车从点出发向西行驶了 100 千米到达点,然后又改变方向向西偏北° 走了 200 千米到达点,最后又改变方向,向东行驶了 100 千米到达点.
()作出向量 AB , BC , CD ; ()求 AD .
() ()由题意,易知 AB 与 CD 方向相反, 故 AB 与 CD 共线. 又 AB = CD , ∴四边形为平行四边形. ∴ AD = BC =(千米).
【课堂小结】
.非零向量相等,必有大小相等且方向相同,反之也成立. .两个非零向量方向相同或相反,则它们共线,但要注意零向量与任一向量共线, 零向量的方向是任意的. .与向量同方向,且长度等于个单位的向量,叫做方向上的单位向量,记作 a ,
a

这实质上告诉了我们求任意非零向量的单位向量的方法. .本节的内容关键在于概念的理解.
【能力提升】

、设是正方形的中心,则向量 AO, BO,OC,OD 是( )

、相等的向量

、平行的向量

、有相同起点的向量

、模相等的向量

、下列命题中,正确的是( ).

、 a ? b ? a?b

、 a ? b ? a?b

、 a ? b ? a // b

、若 a ? 0 ,则 a ? 0

、若 AB ? AD ,且 BA ? CD ,则四边形 ABCD 的形状为( ).
.平行四边形 .菱形 .矩形 .等腰梯形 、在△中,=,、分别是、的中点,则()

A.A→B与A→C共线 C.A→D与A→E相等

B.D→E与C→B共线 D.A→D与B→D相等

、已知腰为,底边为的等腰 ?ABC ,则底边 BC 上的中线向量 AD 的模 AD 为 7 . 2
、 下列命题中,说法正确的有① ①若 a ? b ,b ? c ,则 a ? c ;②若 a // b ,b // c ,则 a // c ;③若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b ; ④若 AB ? DC ,则 A, B , C , D 是一个平行四边形的四个顶点. 、如图所示,四边形为正方形,△为等腰直角三角形, ()找出图中与 AB 共线的向量; ()找出图中与 AB 相等的向量; ()找出图中与| AB |相等的向量; ()找出图中与 EC 相等的向量 () AE, BE, EB, EA, BA, DC,CD
() BE, DC () BE, EB, BA, DC, CD, AD, DA, CB, BC () DB

学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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