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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第4讲_图文


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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第三章 第4讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第三章 第4讲

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1. 了 解 函 数 y = Asin(ωx + φ) 的 物 理 意 义 , 能 画 出 函 数 y = Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影 响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会 用三角函数解决一些简单的实际问题.

第三章 第4讲

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1个必记提醒 在用“代点法”求φ时,若条件中既有最值点,也有零 点,应代入最值点,这样可得到一个确定的φ值.

2点必知变换

1. 平移变换:①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y 轴平移,按“上加下减”法则.

2. 伸缩变换:①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短

(ω>1)为原来的

1 ω

倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标

y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).

第三章 第4讲

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3项必须注意
1. 要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图 象. 2. 要注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先 利用诱导公式化为同名函数. 3. 由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平 移的单位数应为|ωφ |,而不是|φ|.

第三章 第4讲

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课前自主导学

第三章 第4讲

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1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+



相初

周期 频率

φ)(A>0,ω>0),x 幅

位相

∈[0,+∞)表示 一个振动量时

A

T= f=T1= ωx ____ ____ +φ

φ

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函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图 象 如 图 , 试 写 出 函 数 的 解 析 式 ________ , 它 的 振 幅 为 ________,周期为________,初相为________.

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2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五 个关键点,如下表所示

x

______ ______ ______ ______ ______

ωx+φ

0

π 2

π

3π 2



y=Asin(ωx+φ) 0

A

0

-A

0

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用五点法作函数y=sin(x+

π 6

)在一个周期内的图象时,

主要确定的五个点是________,________,________,

________,________.

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(2)如图是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<

π 2

)的一段图

象,则函数f(x)的解析式为__________.

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3.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的 步骤

第三章 第4讲

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(1)y=sin(x-

π 3

)是由y=sinx的图象向________平移

________个单位得到的.

(2)y=sin(2x+

π 3

)是由y=sin2x的图象向____平移

________个单位得到的.

(3)y=cosx图象上点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y

=________,然后再向右平移π6个单位得到y=________.

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2π ω 1. ω 2π

填一填:y=2sin(2x+23π) 2 π 23π

2.-ωφ

2π-φ ω

π-φ ω

32π-φ ω

2π-φ ω

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填一填:(1)(-

π 6

,0)

(

π 3

,1)

(

5 6

π,0)

(

4 3

π,-1)

(161π,0) (2)y=sin(3x-34π)

3.填一填:(1)右

π 3

(2)左

π 6

1 (3)cos2x

cos(12x-1π2)

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核心要点研究

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例1 [2013·无锡模拟]f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y= f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π.
(1)求φ; (2)画出函数y=f(x)在区间上[0,π]的图象.

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[审题视点] (1)根据题目给出的图象特征对称轴,确定参 数φ的值;(2)采用“五点法”作图,应注意定义域为[0,π].同 时注意列表时要列端点值.
[解] (1)∵x=π8是函数y=f(x)的图象的对称轴, ∴sin(2×π8+φ)=±1, ∴π4+φ=kπ+π2,k∈Z.

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∵-π<φ<0,∴φ=-34π.

(2)由y=sin(2x-34π)知

x0

π 3π 5π 7π 8888

π

y



2 2

-1

0

1

0



2 2

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故函数y=f(x)在区间[0,π]上图象如下图所示.

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1.“五点法”作图的关键是确定关键点:

1)当画函数y=Asin(ωx+φ)在x∈R上的图象时,一般令

ωx+φ=0,

π 2

,π,

3 2

π,2π,即可得所画图象的特殊点坐

标.

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2)当画函数y=Asin(ωx+φ)在某个指定区间上的图象时,一般 先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内选取特殊点,连同 区间的两端点一起列表. 2. 连线时要把握线条的凹凸趋势. 3. 用图象变换法作图仅能作出简图.

第三章 第4讲

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[变式探究] [2013·武中期中]已知函数f(x)=sinx+ 3

cosx.

(1)求f(x)的周期和振幅.

(2)用五点法作出f(x)在一个周期内的图象.

解:(1)y=sinx+

3cosx=2(12sinx+

3 2 cosx)

=2sin(x+3π)

∴函数f(x)的周期为2π,振幅为2.

第三章 第4讲

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(2)列表如下:

x

-π3

π 6

2 3π

7 6π

5 3π

x+3π

0

π 2

π

3 2π



y=2sin(x+π3) 0 2 0 -2 0

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描点连线即得y=2sin(x+π3)在一个周期的图象.

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例2 [2012·浙江高考]把函数y=cos2x+1的图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单 位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )

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[审题视点] 利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步 完成.
[解析] y=cos2x+1通过伸缩、平移变换后得到y=cos(x+ 1),对应图象为A项.
[答案] A

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在进行三角函数图象的左右平移时,应注意以下几点:一要 弄清是平移哪个函数图象,得到哪个函数的图象;二要注意 平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先用诱导 公式化为同名函数;三是由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx +φ)的图象时,有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩 后平移”.

第三章 第4讲

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[变式探究]

已知函数f(x)=sin(ωx+

π 4

)(x∈R,ω>0)的

最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将

y=f(x)的图象( )

A.向左平移8π个单位长度 B.向右平移8π个单位长度

C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移4π个单位长度 答案:A

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解析:由题意得2ωπ=π,ω=2,∴f(x)=sin(2x+π4),g(x)

=cos2x.

将函数y=f(x)的图象向左平移

π 8

个单位长度时,y=

sin[2(x+π8)+4π]=sin(2x+π2)=cos2x.

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例3 [2012·湖南卷]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示.

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(1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f???x-1π2???-f???x+1π2???的单调递增区间. [解] (1)由题设图象知,周期T=2???1112π-51π2???=π, 所以ω=2Tπ=2,因为点???152π,0???在函数图象上, 所以Asin???2×51π2+φ???=0,即sin???56π+φ???=0.

第三章 第4讲

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又因为0<φ<2π,所以56π<56π+φ<43π, 从而56π+φ=π,即φ=π6. 又点(0,1)在函数图象上, 所以Asinπ6=1,得A=2. 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin???2x+π6???.

第三章 第4讲

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(2)g(x)=2sin????2???x-1π2???+6π????- 2sin????2???x+1π2???+π6 ???? =2sin2x-2sin???2x+3π??? =2sin2x-2????12sin2x+ 23cos2x???? =sin2x- 3cos2x

=2sin???2x-3π???.

第三章 第4讲

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由2kπ- π2 ≤2x- π3 ≤2kπ+ 2π ,得kπ- 1π2 ≤x≤kπ+ 51π2 ,k ∈Z,
所以函数g(x)的单调递增区间是 ???kπ-1π2,kπ+51π2??? ,k∈ Z.

第三章 第4讲

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奇思妙想:本题将图象改为下图,|φ|<

π 2

,问题不变,

该如何解答?

第三章 第4讲

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解:(1)T=2(1112π-152π)=π,ω=2, ∵sin(2×152π+φ)=1,∴56π+φ=π2, ∴φ=-3π,∴f(x)=sin(2x-π3).

第三章 第4讲

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(2)g(x)=sin[2(x-1π2)-π3]-sin[2(x+1π2)-3π]=sin(2x-π2)

-sin(2x-

π 6

)=-cos2x-

3 2

sin2x+

1 2

cos2x=-(

3 2

sin2x+

1 2

cos2x)=-sin(2x+6π),由2kπ+2π≤2x+π6≤2kπ+32π,

得kπ+

π 6

≤x≤kπ+

2 3

π,∴g(x)的递增区间是[kπ+

π 6

,kπ

+23π],k∈Z.

第三章 第4讲

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根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主

要从以下四个方面来考虑:

①A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=

最高点-最低点

2



第三章 第4讲

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②k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k=

最高点+2 最低点;

③ω的确定:结合图象,先求出周期T,然后由T=

2π ω

(ω>0)来确定ω;

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④φ的确定:ⅰ)代入法:把图象上一个已知点代入解析式(此 时,A,ω,k已知),一般代最值点,代其它点时要注意所代 点处于上升区间还是下降区间上. ⅱ)五点法:往往寻找“五点法”中的点为突破,具体如下: 起始点(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;

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最高点时,ωx+φ=

π 2

;中间点(即图象下降时与x轴的交点)

时,ωx+φ=π;最低点时,ωx+φ=

3 2

π;终止点时ωx+φ=

2π.

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[变式探究] [2013·海淀区检测]函数f(x)=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0,|φ|<2π)的部分图象如图所示
(1)求ω,φ; (2)求函数图象的对称轴及对称中心.

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解:(1)由图象知A=1,34T=1112π-π6=34π, ∴T=π,∴ω=2Tπ=2, 此时,f(x)=sin(2x+φ),又f(x)图象过(π6,1). ∴2×π6+φ=2kπ+π2,k∈Z, 解得φ=2kπ+6π,k∈Z,

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∵|φ|<π2,∴φ=π6. (2)由(1)知f(x)=sin(2x+6π), ∴2x+6π=kπ+π2,(k∈Z)得 x=k2π+6π(k∈Z).

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又由2x+6π=kπ,(k∈Z)得 x=k2π-1π2(k∈Z). ∴函数f(x)的对称轴为x=k2π+6π(k∈Z), 对称中心为(k2π-1π2,0)(k∈Z).

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例4 [2012·重庆高考]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,-π<φ≤π)在x=π6处取得最大值2,其图象与x轴 的相邻两个交点的距离为π2.
(1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=6cos4fx???-x+siπ6n???2x-1的值域.

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[解] (1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即2ωπ=π,解得 ω=2.
因f(x)在x=6π处取得最大值2,所以A=2. 从而sin???2×π6+φ???=1,所以3π+φ=π2+2kπ,k∈Z. 又由-π<φ≤π得φ=6π.

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故f(x)的解析式为f(x)=2sin???2x+π6???. (2)g(x)=6co2ss4ixn-???2sxi+n2π2x-??? 1=6cos4x2+cocs2osx2x-2 =?2cos22x?-2co1s??23x-cos12?x+2?=32cos2x+1???cos2x≠12???.

因cos2x∈[0,1],且cos2x≠

1 2

,故g(x)的值域为

???1,74???



???74,52???.

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面对正弦、余弦型曲线,正确地获得所需要的信息,这是一 个数学基本能力;面对复杂函数的性质研究,应具有对复杂 关系式化简的意识与能力,化简的目标要明确,即所谓合一 思想;求函数最值,要注意定义域区间对函数最值的影响.

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[变式探究] [2013·福建厦门模拟]已知向量a=(sinx, 2 3sinx),b=(2cosx,sinx),定义f(x)=a·b- 3.
(1)求函数y=f(x),x∈R的单调递减区间; (2)若函数y=f(x+θ)(0<θ<2π)为偶函数,求θ的值.

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解:f(x)=2sinxcosx+2 3 sin2x- 3 =sin2x+ 2 3·1-c2os2x- 3=sin2x- 3cos2x=2sin(2x-3π).
(1)令2kπ+2π≤2x-3π≤2kπ+32π, 解得f(x)的单调递减区间是[kπ+51π2,kπ+1112π],k∈Z.

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(2)f(x+θ)=2sin(2x+2θ-π3),

根据题意可知y=f(x+θ)(0<θ<

π 2

)在x=0处取最值,

sin(2θ-3π)=±1,

∴2θ-3π=kπ+2π,θ=k2π+51π2,k∈Z.

又∵0<θ<π2,∴θ=152π.

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【选题·热考秀】 [2012·天津高考]已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x-π3)+ 2cos2x-1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间[-π4,4π]上的最大值和最小值.

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[规范解答]

(1)f(x)=sin2xcos

π 3

+cos2xsin

π 3

+sin2xcos

π 3

-cos2xsin

π 3

+cos2x=sin2x+cos2x=

2

(sin2xcos

π 4



cos2xsin4π)= 2sin(2x+π4),函数f(x)的最小正周期为T=22π=

π.

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(2)-π4≤x≤π4?-π4≤2x+π4≤34π,所以当 2x+π4=π2(x=π8) 时,f(x)max= 2;
当 2x+π4=-π4(x=-π4)时,f(x)min=-1.

第三章 第4讲

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 在具体问题中,我们面对的往往不是简单的正弦函数、余 弦函数而是需要变形处理的三角函数,这些三角函数式大都可 以转化成形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数加以解决;化简时,主 要应用三角恒等变换知识进行等价变形,然后根据函数y= Asin(ωx+φ)+k的有关性质解题.

第三章 第4讲

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No.2 角度关键词:模板构建

第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式.

第二步:构造f(x)=

a2+b2 (sinx·

a a2+b2



cosx· a2b+b2).

第三步:和差公式逆用f(x)= a2+b2 sin(x+φ)(其中φ为

辅助角).

第三章 第4讲

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第四步:利用f(x)= a2+b2 sin(x+φ)研究三角函数的性 质.
第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规 范.
①化简时公式的准确应用是灵魂;②研究三角函数性 质时注意整体思想的应用.

第三章 第4讲

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

经典演练提能

第三章 第4讲

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1.[2012·安徽高考]要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只

要将函数y=cos2x的图象( )

A. 向左平移1个单位

B. 向右平移1个单位

C. 向左平移12个单位

D. 向右平移12个单位

答案:C

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解析:y=cos2x向左平移

1 2

个单位得y=cos2(x+

1 2

)=

cos(2x+1),选C项.

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2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,|φ|<

π 2

)的

最小正周期是π,且f(0)= 3,则( )

A.ω=12,φ=6π

B.ω=12,φ=3π

C.ω=2,φ=π6

D.ω=2,φ=3π

答案:D

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解析:T=2ωπ=π,ω=2,当x=0时有2sinφ= 3, ∵|φ|<π2,∴φ=π3,故选D项.

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3.[2012·课标全国高考]已知ω>0,0<φ<π,直线x=

π 4

和x



5π 4

是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ

=( )

π

π

A. 4

B. 3

π C. 2 答案:A

3π D. 4

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解析:T=2(54π-4π)=2π,∴ω=1,∴x+φ=π2+kπ,当 x=4π时,φ=4π+kπ,∵0<φ<π,∴φ=4π,选A项.

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4.[2011·辽宁高考]已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,

|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(2π4)=( )

A.2+ 3

B. 3

3 C. 3

D.2- 3

答案:B

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解析:由题中的图象可知:T=2(

3π 8



π 8

)=

π 2

,∴ω=

2,

∴2×π8+φ=kπ+π2(k∈Z).

又|φ|<

π 2

,∴φ=

π 4

.又f(0)=1,∴Atan

π 4

=1,得A=1,∴

f(x)=tan(2x+π4),

∴f(2π4)=tan(1π2+π4)=tanπ3= 3.

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5. 关于函数f(x)=4sin(2x-3π)(x∈R),有下列命题: ①y=f(x+43π)为偶函数; ②要得到函数g(x)=-4sin2x的图象,只需将函数f(x)的 图象向右平移π3个单位长度;

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③函数y=f(x)的图象关于直线x=-1π2对称;

④函数y=f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[0,

5π 12

]和

[1112π,2π].

其中正确命题的序号为________.

答案:②③

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解析:y=f(x+

4 3

π)=4sin(2x+

8 3

π-

π 3

)=4sin(2x+

7 3

π),

非奇非偶函数,①错误;函数f(x)的图象向右平移π3个单位长

度,得到函数f1(x)=4sin[2(x-

π 3

)-

π 3

]=-4sin2x的图象,②

正确;当x=-1π2时,2x-π3=-2π,使函数f(x)取得最小值,

函数y=f(x)关于直线x=-

π 12

对称,③正确;由函数f(x)的单

调递增区间为[kπ-1π2,kπ+152π],k∈Z,知④错误.

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