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复数概念与几何意义


复习: 一. i 的性质
(1)i
2

? ?1
4 n?1

(2)i

4n

? 1, i

? i, i

4n?2

? ?1, i

4 n ?3

? ?i

二.复数的代数形式:

z ? a ? bi
复数

( a ? R, b ? R )
虚数

b ? 0 实数

a ? bi b ? 0

三.复数的相等

若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ?? b ? d ?
虚数不能比较大小

练习 2. ⑴ 已知? x ? y ? ? ? x ? 2 y ? i ? ? 2 x ? 5? ? ? 3 x ? y ? i 求实数 x , y 的值. x ? 3, y ? ⑵ 若? 3 ? 10i ? y ? ? ?2 ? i ? x ? 1 ? 9i , 求实数 x , y 的值.

?2

x ? 1, y ? 1

一.复数的几何意义 新课:
我们知道实数可以用数轴上的点来表示。 一一对应 实数 数轴上的点 ( 数) 实数的几何模型: ( 形)

0

1

x

由复数相等的内涵可知,复数 z ? a ? bi (a, b ? R) 与有序实数对 (a , b) 可建立一一对应的关系.
能否找到用来表示复数的几何模型呢?

? 复习引入

我们知道,实数与数轴上的点一一 对应,因此,实数可用数轴上的点来表 示.类比实数的几何意义,复数的几何意 义是什么呢?

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数)
y b 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)

建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 a x y轴——虚轴

0

这是复数的一种几何意义.

(1)实轴上的点都表示实数; (2)除了原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数.

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数)
y z=a+bi 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)
一一对应

b a

Z(a,b)

平面向量 OZ

0

x

向量 OZ 的模 r 叫做复数 z ? a ? bi 的模,记作 z 或 a ? bi .
2 2 z ? a ? b 易知

这是复数的又一种几何意义.

二.复数的模
我们常把复数z=a+bi说成点Z或
说成向量 OZ,并且规定,相等的向量 表示同一个复数. |z| ? r ? a ? bi ?

a ?b
2

2

(r≥0,r∈R).

复数的模 的几何意义: 实数绝对值的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 面上对应的点Z(a,b)到 对应的点 A 到原点 O 的 原点的距离 . 距离. a

A |a| = |OA|

O

x

z=a+bi Z(a,b)

y

?a(a ≥ 0) ?? ? ?a(a ? 0)

O
|z|=|OZ|?
2

x

a ?b

2

复数的模其实是实数绝对值概念的推广

练习:
1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. 2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上” C 的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3.已知复数z=(m-6)+(m+2)i在复平面内所对应的 点位于第二、四象限,求实数m的取值范围.

三. 共轭复数
当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. 若z1,z2是共轭复数,那么在复平面 内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
例:z1 ? 3 ? 2i, 若两个复数z1与z2关于原点对称, 则z2 ? _________
若z1与z2关于实轴对称,则 z2 ? _________ 若z1与z2关于虚轴对称,则 z2 ? _________

变式题:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 求证:对一切实数m,此复数所对应的点不可 能位于第四象限.

解题思考: 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)

练习:
1. 若 复数 (m2 ? m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i (m ? R) 在 复 平面 内的对应的点位于虚轴上,则 m 的值为( B ) (A)1 (B) 2 , ? 1 (C) ? 1 (D) ?1 , 1, 2

2.满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上 将构成怎样的图形?

练3 实数x分别取什么值时,复数 z ? x 2 ? x ? 6 ? ( x 2 ? 2 x ? 15)i 对应的点Z在(1)第三象限?(2)第四象限?(3)直线
x ? y ? 3 ? 0 上?

? x 2 ? x ? 6 ? 0, 解:(1)当实数x满足 ? 2 ? x ? 2 x ? 15 ? 0. 即 ? 3 ? x ? 2 时,点Z在第三象限. ? x 2 ? x ? 6 ? 0, (2)当实数x满足 ? 2 ? x ? 2 x ? 15 ? 0.
即 2 ? x ? 5 时,点Z在第四象限.
2 2 (3)当实数x 满足 ( x ? x ? 6) ? ( x ? 2 x ? 15) ? 3 ? 0

即 x ? ?2 时,点Z在直线 x ? y ? 3 ? 0 上 .

练习: 1. 若方程x2 ? ? m ? 2i ? x ? ? 2 ? mi ? ? 0至少有 一 个 实 数根,求实数 m 的值.

m ? ?2 2
2、若方程x ? mx ? 2 xi ? ?1 ? mi有实根,
2

求实数m的值,并求出此实根.

m ? ?2,x ? 1 m ? 2,x ? ?1


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