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高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课堂导学案新人教B版选修1_12017110


1.1.2 量词 课堂导学 三点剖析 一、用符号语言表示命题 【例 1】指出下列命题中的全称量题,并用符号“ ”表示: 2 (1)对任意实数 x,x +3x+9>0; (2)对每一个整数 x, x >0; (3)所有奇数都不能被 3 整除. 解析:均为全称命题 (1) x∈R,x +3x+9>0 (2) x∈Z, x >0 (3) x∈{奇数},x 不能被 3 整除 温馨提示 用符号语言表示命题,一方面要说明命题所涉及的元素存在的范围,若元素是数,则用集 合语言描述.另一方面要表明元素满足的结论. 二、判断全称命题与存在性命题的真假 【例 2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题?并判断其真假. (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除; (3) x∈{x|x 是无理数},x 是无理数; (4) x∈{x|x∈Z},log2x>0. 解析:(1)全称命题,真命题. (2)存在性命题,真命题. (3)全称命题,假命题.例如 x= 3 ,但 x =3 是有理数 2 2 2 (4)存在性命题,真命题. 温馨提示 利用全称命题和存在性命题的定义来判断.应该注意的是,有些命题不含有量词,对这些 命题的判断,要根据命题的意义,如“对顶角相等”,它含有所有的对顶角都相等的意思. 三、利用全称命题、存在性命题求参数范围 【例 3】 函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立且 f(1)=0 (1)求 f(0)的值 (2)当 x∈(0, 1 )时,f(x)+2<logax,恒成立,求 a 的取值范围. 2 解析:(1)由已知等式 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x, 令 x=1,y=0 得 f(1)-f(0)=2,又因为 f(1)=0, 所以 f(0)=-2. (2)由(1)知 f(0)=-2, 所以 f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)·x 因为 x∈(0, 1 3 ),所以 f(x)+2∈(0, ). 2 4 1 ?0 ? a ? 1, 1 ? 要使 x∈(0, )时,f(x)+2<logax 恒成立,显然当 a>1 时不可能,所以 ? 1 3 2 loga ? , ? 2 4 ? 3 解得 4 ? a ? 1. 4 各个击破 类题演练 1 指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是存在性命题,并分别用符号“ ”、“ ”表示. (1)存在实数 a,b,使|a-1|+|b-1|=0; 0 (2)对于实数 a∈R,a =1; (3)有些实数 x,使得|x+1|<1. 解:命题(1),(3)是存在性命题,命题(2)是全称命题用“ ”、“ ”分别表示为: (1) a,b∈R,|a-1|+|b-1|=0. (2) a∈R,a =1. (3) x∈R,|x+1|<1. 变式提升 1 用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题. (1)不等式|x-1|+|x-2|<3 有实数解. (2)若 a,b 是偶数,则 a+b 也是偶数. 解:(1)?x∈R,|x-1|+|x-2|<3. (2)?a,b∈R 且 a,b 为偶数,a+b 为偶数. 类题演练 2 试判断以下命题的真假: (1) x∈N,x ≥1; 3 (2) x∈Z,x <1; (3) x∈R,x -3x+2=0; 2 (4) x∈R,x +1=0. 4 解析:(1)由于 0∈N,当 x=0 时,x ≥1 不成立,所以此命题是假命题. 3 3 (2)由于-1∈Z,当 x=-1 时,能使 x <1,∴命题 x∈Z,x <1 是真命题. (3)假命题.因为只有 x=2 或 x=1 时满足 2 (4)假命题.∵不存在一个实数 x,使 x +1=0 成立. 变式提升 2 判断下列全称命题的真假. (1)有一个内角为直角的菱形是矩形; (2)对任意 a,b∈R,若 a>b,则 2 4 0 1 1 ? ; a b 2 (3)对任意 m∈Z 且为偶数,则 2m+ 1 ? (?1)m 为偶数. 2 解: (1)是真命题.有一个内角为直角的平行四边形是矩形, 菱形都是平行四边形.(2)是假命题. 如 5>-3,而 数. 类题演练 3 2 2 已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实数根.命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实 数根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. 解析:先将 p、q 中 m 的范围求出,然后根据“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,可知 p 和 q 中 1 1 1 ? (?1) m ? ? .(3)是真命题.∵m∈Z 且为偶数,∴(-1)m=1,∴2m+ =2m,为偶 5 3 2 ?? ? m 2 ? 4 ? 0 必是一真一假,则分两种情况列出不等式组求解.由 p 得 ? 则 m>2,由 q 知, ?m ? 0 Δ ′=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0,则 1<m<3 于是有 ? 2 2 ?m ? 2 ?m ? 2 解得 m≥3 或 1<m≤2 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3. 变式提升 3 若(2x+ 3 ) =a0+a1x+a2x +?a4x ,则(a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值是( 4 2 4 2 2 ) A.1 B.-1 4 2 C.0 4 D.2 解析:(2x+ 3 ) =a0+a1x+a2x +?+a4x , 令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ 3 ) . 4 令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4=(-2+ 3 ) . 4 ∴(a0+a2+a4) -(a1+a3) =(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3)=(2+3) (-2+3) =(-1) =1. 答案:A 2 2 4 4 4 3

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