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高考数学基础知识归类


高中数学基础知识归类
数学是理科的支柱,数学基础不好往往影响到理化成绩的提高,因此必须给 予足够重视。大家知道,高中数学分为几大板块:一是函数板块,二是三角板块, 三是立体几何板块,四是解析几何板块,五是数列板块,六是概率统计板块,七 是排列组合板块,八是复数板块,九是不等式板块,十是算法板块。要学好这些 知识,首先要重视课堂听讲,要眼睛随着老师转,脑子随着老师想。只有抓好了 课堂学习,才能谈得上课后复习。课堂上尽可能多听讲,课后自己再验证,选择 一些有特色的问题去探索。要重视基础知识的复习。每一章复习开始前一定要把 课本看一遍,定理、公式等概念性的东西记住自不必说,例题的解法也要注意, 特别是立体几何,在以前高考中曾多次出现课本上的例题。学完一章或一部分后, 要学会归纳总结,掌握规律性的东西,做一些综合题,考前温习一下笔记和自己 归纳的东西,将基础知识夯实打牢,注重在基本知识、基本技能和创造性问题的 解决上多下功夫。 最后冲刺的诀窍:高考最后两个月要拾遗补缺。抓基础,理清头脑中的知识 网络,而不应该去攻难度太大的题。可适当去做一些综合性的题,对自己会很有 好处的。如果以前有错题本的话,现在应该看看了;最后一个月复习数学关键是 “看” :看练习题,看复习资料。一眼能看出解题思路的,从此不管它;看不出的, 就在草稿纸上演算,演算到理清思路为止,并在题前做“#”记号;很难的综合题, 则进行正规演算,目的仍是寻找思路,这种题一直做出了结果,就在题前做“*” 记号。三五天或一周之后,再回过头来看,有“#”的看一看,一般能看出从何处 下手;有“*”的看一看,在草稿纸上演算,知道怎么做再停止。因为这个时候正 确与否不重要,重要的是知道该如何下手解这些题,以及需要用哪些知识来解题。

基 础 知 识
目录页码
一. 集合与简易逻辑(page1)二. 函数(page2)三. 数列(page4)四. 三角函数(page6) 五. 平面向量(page7) 六. 不等式(page8) 七. 直线和圆的方程(page9)

八. 圆锥曲线方程(page11) 十. 排列组合和概率(page14)

九. 直线、平面、简单几何体(page13) 十一. 概率与统计(page15) 十二. 复数(page15)

十三. 注意答题技巧训练(page16) 一. 集合与简易逻辑 1. 注意区分集合中元素的形式.如: {x | y ? lg x} —函数的定义域; { y | y ? lg x} —函数的值域; { (x ,y ) | y ? lx g } —函数图象上的点集 . 2. 集合的性质: ① 任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ② 空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . ③ 空集是任何非空集合的真子集;条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘 A ? ? 的情况
2 如: A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A R? ? ? ,求 a 的取值.(答: a ? 0 ) (A B) C ? A (B ④ CU ( A B) ? CU A CU B , CU ( A B) ? CU A CU B ;

C) ;

(A B) C ? A (B C) . ⑤ A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A

B?R.

1

⑥ A

B 元素的个数: card ( A

B) ? cardA ? cardB ? card ( A
n

B) .

⑦ 含 n 个元素的集合的子集个数为 2 ;真子集(非空子集)个数为 2 n ? 1 ;非空真子集个数 为 2n ? 2 . 3. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如:已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c , 使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围.(答: (?3, ) ) 4. 原命题: p ? q ;逆命题: q ? p ;否命题: ?p ? ?q ;逆否命题: ?q ? ?p ;互为逆 否的两个命题是等价的.如:“ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 条件.(答:充分非必要条件) 5. 若 p ? q 且 q ?? p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件或 q 的一个充 分非必要条件是 p 或 p 的一个必要非充分条件是 q). 6. 注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别 : 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;否命题是 ?p ? ?q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”;“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”. 如: “若 a 和 b 都是偶数, 则 a ? b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数,则 a ? b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数”. 7. 常见结论的否定形式 原命题中含有全称量词(或存在量词) ,命题的否定必有存在量词(或全称量词) 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 二. 函数 1. ① 映射 f : A ? B 是:?“一对一或多对一”的对应;? 集合 A 中的元素必有象且 A 中不 同元素在 B 中可以有相同的象;集合 B 中的元素不一定有原象(即象集 ? B ). ② 一一映射 f : A ? B : ? “一对一”的对应;?A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原 象. 2. 函数 f : A ? B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集! 据此可知函数图像 与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3. 函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则. 4. 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ? 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 ? 0 ,底数 ? 0 且 ? 1; 零指数幂的底数 ? 0 ); 实际问题有意义; 若 f ( x) 定义域为 [a, b] ,复合函数 f [ g ( x)] 定 义域由 a ? g ( x) ? b 解出;若 f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ?[a, b] 时 g ( x) 的值域. 5. 求值域常用方法: ① 配方法(二次函数类);② 逆求法(反函数法);③ 换元法(特别注意新元的范围). ④ 三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑤ 不等式法⑥ 单调性法;⑦ 数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域; ⑧ 判别式法(慎用) :⑨ 导数法(一般适用于高次多项式函数). 6. 求函数解析式的常用方法:? 待定系数法(已知所求函数的类型); ? 代换(配凑)法; ? 方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。 7. 函数的奇偶性和单调性 否定 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 否定 一个也没有 至少有两个 至多有 n ? 1 个 至少有 n ? 1 个
2 3

p或q p且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

2

? 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的 ,确定奇偶性方法有定义法、图 像法等; |) 定义域含零的奇函数必过原点 ? 若 f ( x) 是 偶 函 数 , 那 么 f ( x) ? f (? x) ? f ( | x ; ( f (0) ? 0 ); ? 判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或
f (? x) f ( x)

? ?1( f ( x) ? 0) ;

? 复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. 注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数 个(如 f ( x) ? 0 定义域关于原点对称即可). ? 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性; 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调 性; ? 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ? 复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 如:函数 y ? log 1 (? x 2 ? 2 x) 的单调递增区间是 _____________ .(答: (1, 2) )
2

8. 函数图象的几种常见变换 ? 平移变换:左右平移---------“左加右减”(注意是针对 x 而言) ; 上下平移----“上加下减”(注意是针对 f ( x ) 而言). ? 翻折变换: f ( x) ?| f ( x) | ; f ( x) ? f (| x |) . ? 对称变换:① 证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 图像上. ② 证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心 (轴)的对称点仍在 C2 上,反之 亦然. ③ 函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴 ) 对称;函数 y ? f ( x) 与函数

y ? f (? x) 的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称; ④ 若函数 y ? f ( x) 对 x ? R 时, f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) 恒成立, 则 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? a 对称;
⑤ 若 y ? f ( x) 对 x ? R 时, f (a ? x) ? f (b ? x) 恒成立,则 y ? f ( x) 图像关于直线 x ? 称; ⑥ 函数 y ? f (a ? x) , y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ?
b?a 2 a?b 2



对称(由 a ? x ? b ? x 确定); 对称;
f ( x) ? A ? f ( x) 2

⑦ 函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于直线 x ? ⑧ 函数 y ? f ( x) , y ? A ? f ( x) 的图像关于直线 y ?
A 2

a?b 2

对称(由 y ?

确定);

⑨ 函 数 y ? f ( x ) 与 y ? ? f (? x) 的 图 像 关 于 原 点 成 中 心 对 称 ; 函 数

y ? f ( x) , y ? n ? f (m ? x) 的图像关于点 ( , ) 对称;
2 2

m n

⑩ 函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ?1 ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称;曲线 C1 : f ( x, y ) ? 0 ,关于 y ? x ? a , y ? ? x ? a 的对称曲线 C2 的方程为 f ( y ? a, x ? a) ? 0 (或 f (? y ? a, ? x ? a) ? 0 ; 曲线 C1 : f ( x, y ) ? 0 关于点 ( a, b) 的对称曲线 C2 方程为: f (2a ? x, 2b ? y ) ? 0 . 9. 函数的周期性: ? 若 y ? f ( x) 对x ? R 时 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 恒成立,则 f ( x) 的 周 期 为2 | a | ; ? 若 y ? f ( x) 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x ) 的周期为 2 | a | ; ? 若 y ? f ( x) 奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则 f ( x ) 的周期为 4 | a | ; ? 若 y ? f ( x) 关于点 ( a,0) , (b,0) 对称,则 f ( x ) 的周期为 2 | a ? b | ; ? y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a , x ? b(a ? b) 对称,则函数 y ? f ( x) 的周期为 2 | a ? b | ;

3

? y ? f ( x) 对 x ? R 时, f ( x ? a) ? ? f ( x) 或 f ( x ? a ) ? ? 10. 对数:? loga b ? logan bn (a ? 0, a ? 1, b ? 0, n ? R? ) ; ? 对数恒等式 aloga N ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) ; ? loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ;loga
n log a M ?

1 f ( x)

,则 y ? f ( x) 的周期为 2 | a | ;

M N

? loga M ? loga N;log a M n ? n log a M ;
log b N log b a

1 n

对数换底公式 log a N ? lo g ;? a M

(a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1) ;

推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 ? loga1 a2 ? loga2 a3 ?

? logan?1 an ? loga1 an .

(以上 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a2 , an ? 0 且 a1 , a2 , an 均不等于 1 ) 11. 方程 k ? f ( x) 有解 ? k ? D ( D 为 f ( x) 的值域); a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]最大值 ,

a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]最小值 .
12. 恒成立问题的处理方法:? 分离参数法(最值法); ? 转化为一元二次方程根的分布问题; 13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看 法”: 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14. 二次函数解析式的三种形式: ① 一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;② 顶点式: 零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; ③ 15. 一元二次方程实根分布:先画图再研究 ? ? 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16. 复合函数:? 复合函数定义域求法:若 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义 域可由不等式 a ? g ( x) ? b 解出;若 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x ) 的定义域,相当于 x ?[a, b] 时,求 g ( x) 的值域;? 复合函数的单调性由“同增异减”判定. 17. 对于反函数,应掌握以下一些结论:? 定义域上的单调函数必有反函数;? 奇函数的反函数 也是奇函数;? 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;? 周期函数不存在反函数; ? 互为反函数的两个函数在定义域具有相同的单调性; ?y ? f ( x) 与 y ? f ?1 ( x) 互为反函数, 设 f ( x) 的定义域为 A ,值域为 B ,则有 f [ f ?1 ( x)] ? x( x ? B) , f ?1[ f ( x)] ? x( x ? A) . 18. 依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题: ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 f (u) ? g ( x)u ? h( x) ? 0 (或 ? 0 ) (a ? u ? b) ? ? (或 ? ); ? f (b) ? 0 ? f (b) ? 0 19. 函数 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc ) 的图像是双曲线: ① 两渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为零确
cx ? d c

定)和直线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定);② 对称中心是点 (? d , a ) ;③ 反函数为
c c c

y ? b ? dx ;
cx ? a

20. 函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) :增区间为 (??, ?
x

b

b a

],[

b a

, ??) ,减区间为 [?,

b a

,0),(0,
1

b a

].

如: f ( x) ? 三. 数列

ax ? 1 x?2

在区间 (?2, ??) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 _____ (答: ( , ??) ).
2

? ?S1 (n ? 1) 1. 由 Sn 求 an , an ? ? 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不符合 * ? ?Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N ) 5 4( n ? 1) 要单独列出.如:数列 {an } 满足 a1 ? 4, Sn ? Sn?1 ? an?1 ,求 an (答: an ? ). 3 ? 4n ?1 ( n ? 2) 3

?

2. 等差数列 {an } ? an ? an?1 ? d ( d 为常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N *)

4

? an ? an ? b(a ? d , b ? a1 ? d ) ? Sn ? An2 ? Bn( A ? , B ? a1 ? ) ;
2 2

d

d

3. 等差数列的性质: ① an ? am ? (n ? m)d , d ?

am ? an m?n



② m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? ak ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ; 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 有

am ? an ? 2a p ;
③ 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan ? tbn } ( k 、 t 是非零常数)是等差数列; ④ 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列 ” 即 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , 数列; ⑤ 等差数列 {an } ,当项数为 2 n 时, S偶 ? S奇 ? nd , S 奇 ? a n ;项数为 2 n ? 1 时,
S偶 a n ?1

仍是等差

, S2 n ?1 ? (2n ? 1)an ,且 S 奇 ? n ; An ? f (n) ? an ? f (2n ? 1) . S偶 ? S ?中 a ? na ( n? * N ) 奇
S偶 n ?1
Bn bn

⑥ 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等 ?an ? 0 ?an ? 0 式 ? (或 ? ).也可用 Sn ? An2 ? Bn 的二次函数关系来分析. a ? 0 a ? 0 ? n ?1 ? n ?1 ⑦ 若 an ? m, am ? n(m ? n) , 则 am? n ? 0 ;若 Sn ? m, Sm ? n (m ? n ) , 则 Sm? n ? ?(m ? n) ; 若 Sm ? Sn (m ? n) , 则 S m+n =0 ; S 3 m=3(S 2m - S m ) ; Sm? n ? Sm ? Sn ? mnd . 4. 等比数列 {an } ? 5. 等比数列的性质 ①an ? amqn?m , q ? n ? m an ;② 若 {an } 、{bn } 是等比数列,则 {kan } 、{anbn } 等也是等比数列;
am
an ?1 an
2 ? q(q ? 0) ? an ? an ?1an ?1 (n ? 2, n ? N *) ? an ? a1q n ?1 .

③S n ? ? ? a 1 (1 ? q n )
? 1? q ?

?na 1 (q ? 1)

?na 1 (q ? 1) ? ;④m ? n ? l ? k ? am an ? al ak (反之不 ? a a ?a q ? a n ? 1 n (q ? 1) ?? 1 q ? 1 (q ? 1) 1? q 1? q ? 1? q

一定成立); Sm? n ? Sm ? q m Sn ? Sn ? q n Sm . ⑤ 等比数列中 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , (注:各项均不为 0)
S偶 S奇

仍是等比数列. ⑥ 等比数列 {an } 当项数为 2 n 时,

? q ;项数为 2 n ? 1 时,

S 奇 ? a1 S偶

?q.

6. ① 如果数列 {an } 是等差数列,则数列 { Aan } ( A an 总有意义)是等比数列;如果数列 {an } 是等比 数列,则数列 {loga | an |}(a ? 0, a ? 1) 是等差数列; ② 若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列; ③ 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数 列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数; 如果一个等差数列和一个等比数列有公 共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ④ 三个数成等差的设法: a ? d , a, a ? d ;四个数成等差的设法: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ; 三个数成等比的设法: , a , aq ;四个数成等比的错误设法:
q a a q
3

, , aq, aq 3 (为什么?)
q

a

7 . 数列的通项的求法:? 公式法:① 等差数列通项公式;② 等比数列通项公式. ?S1 ,(n ? 1) ? 已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? an ? f (n) )求 an 用作差法: an ? ? . ?Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2) ? 已知 a1 ? a2 ?

? ? f (1),(n ? 1) ? an ? f (n) 求 an 用作商法: an ? ? f ( n) ,(n ? 2) . ? ? f ( n ? 1)
5

? 若 an ?1 ? an ? f (n) 求 an 用迭加法. ? 已知

an ?1
an

? f ( n) ,求 an 用迭乘法.

? 已 知 数 列 递 推 式 求 an , 用 构 造 法 ( 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ) : ① 形 如

an ? kan ?1 ? b , an ? kan?1 ? bn , an ? kan?1 ? a ? n ? b ( k , b 为常数 ) 的递推数列都可以用待
定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an .② 形如 an ?
an ?1 kan ?1 ? b

的递推数列都可以

用 “取倒数法”求通项. 8. 数列求和的方法:① 公式法:等差数列,等比数列求和公式;② 分组求和法; ③ 倒序相加; ④ 错位相减; ⑤ 分裂通项法. 公式: 1 ? 2 ? 3 ?

? n ? n(n ? 1) ; 12 ? 22 ? 32 ?
2 n(n ? 1 ) 2
1 n ( n ? 1)( n ? 1)

1

? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ;
6
2

1

13 ? 23? 33 ?
1 n( n ? k ) 1 1

3 ?n ? [

; ]2 1 ? 3 ? 5 ?
? [
2 n ?1 ? n
1 1

? n ? n ;常见裂项公式
?
1 ( n ? 1)( n ? 2)

1 n ( n ? 1)
1 n!

?
1

1 n

?

1 n ?1



? ( ?
k n

1 n?k

);

2 n ( n ? 1)

];

n ( n ? 1)!

?

?

( n ? 1)!

常见放缩公式: 2( n ? 1 ? n ) ?

?

1 n

?

2 n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1) .

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ? 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中, 务必“卡手指”, 细 心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题 ,则常选用“统一法”统一到“最后” 解决. ? 利率问题: ① 单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期利率 为 r ,则 n 期后本利和为:

Sn ? p(1 ? r ) ? p(1 ? 2r ) ?

p(1 ? nr ) ? p(n ?

n(n ? 1) 2

; r ) (等差数列问题)

② 复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分 期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清. 如果每期利率为 r (按复利) ,那么每期等额还款 x 元应满足: n n ?1 p(1 ? r ) ? x(1 ? r ) ? x(1 ? r )n?2 ? ? x(1 ? r ) ? x (等比数列问题). 四. 三角函数 1. ? 终边与 ? 终边相同 ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ; ? 终边与 ? 终边共线 ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) ; ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? k? (k ? Z ) ; ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ?? ? 2k ? (k ? Z) ; ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ;

? 终边与 ? 终边关于角 ? 终边对称 ? ? ? 2? ? ? ? 2k? (k ? Z ) .
2. 弧长公式: l ?| ? | r ;扇形面积公式: S扇形 ? 1 lr ? 1 | ? | r 2 ; 1 弧度( 1rad )≈ 57.3 ? .
2 2

3. 三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀:“一全二正弦,三切四余弦”. 注意: tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 ; tan75? ? cot15? ? 2 ? 3 ;1 4. 三角函数同角关系中(八块图):注意“正、余弦三兄妹 0 sin x? co xs 、 sin x ? cos x ”的关系. ?1 如 (sin x ? cos x)2 ? 1 ? 2sin x cos x 等. 5. 对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; ? 2 (注意:公式中始终视 ) ?1 ...? .为锐角 ... . 6. 角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
1
2 2

0
?1

1 1

0

0
?1

? 2

sin ? ? cos ?

sin ? ? cos ?

6

如: ? ? (? ? ? ) ? ? ; 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ; ? ? ? ? 2 ?
?? ?
2

? ??
2



? (? ?

?
2

? “ 1 ”的变换: 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? tan x ? cot x ? 2sin 30? ? tan 45? ; )? ( ? ? 等; )
2

7. 重要结论: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) 其中 tan ? ? ) ;
a

b

重要公式: sin2 ? ? 1 ? cos 2? ; cos2 ? ?
2
1 ? sin ?

1 ? cos 2? 2

; tan

?
2

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?



? (cos ? sin ) 2 ?| cos ? sin | .
2 2 2 2

?

?

?

?

万能公式: sin 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

; cos 2? ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?
2

2

; tan 2? ?
??

2 tan ? 1 ? tan ?
2

.
k? ? ?

8. 正弦型曲线 y ? A sin(? x ? ? ) 的对称轴 x ?

k? ?

?
2

?
k? ? ?

(k ? Z ) ;对称中心 (

?
?
2

,0)(k ? Z ) ;
,0)(k ? Z ) ;

余弦型曲线 y ? A cos(? x ? ? ) 的对称轴 x ?

?

(k ? Z ) ;对称中心 (

k? ?

??

?

9. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题 勿 忘 三 内 角 和 等 于 180? , 一 般 用 正 、 余 弦 定 理 实 施 边 角 互 化 ; 正 弦 定 理 :
a sin A

?

b

si Bn

?

c

s Ci n

? 2R ;
b ?c ?a 2bc
2 2 2

余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ?

?

(b ? c ) ? a 2bc

2

2

?1;
2S?ABC a?b?c

正弦平方差公式: sin 2 A ? sin 2 B ? sin( A ? B)sin( A ? B) ;三角形的内切圆半径 r ? 面积公式: S? ? ab sin C ?
2 1 abc 4R



;射影定理: a ? b cos C ? c cos B .

10. ?ABC 中,易得: A ? B ? C ? ? , ① sin A ? sin( B ? C ) , cos A ? ? cos( B ? C ) , tan A ? ? tan( B ? C ) . ② sin
A 2

? cos

B?C 2

, cos

A 2

? sin
?
2

B?C 2

, tan

A 2

? cot

B?C 2

.

③ a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B ④ 锐角 ?ABC 中, A ? B ?

, sin A ? cos B,cos A ? cos B , a 2 ? b 2 ? c 2 ,类比钝角 ?ABC 结论.
?

⑤ tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C . 11. 角的范围: 异面直线所成角 (0, ] ; 直线与平面所成角 [0, ] ; 二面角和两向量的夹角 [0, ? ] ;
2 2

?

直线的倾斜角 [0, ? ) ;l1 到 l2 的角 [0, ? ) ;l1 与 l2 的夹角 (0, ] .注意术语:坡度、 仰角、 俯角、
2

?

方位角等. 五. 平面向量 1. a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) . (1) a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;(2) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 2. 平面向量基本定理: 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一 向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 3. 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ?| a || b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2 ;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长

7

度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影 | a | cos? ? 4. 三点 A 、 B 、 C 共线 ? AB 与 AC 共线;与 AB 共线的单位向量 ? 5. 平面向量数量积性质:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 cos? ?

a ? b x1 x2 ? y1 y2 . ? 2 2 |b| x2 ? y2
.

AB | AB |

x1 x2 ? y1 y2 a ?b ;注 ? 2 2 | a || b | x12 ? y12 x2 ? y2

意 : ? a, b? 为 锐 角 ? a ? b ? 0 , a, b 不 同 向 ; ? a, b? 为 直 角 ? a ? b ? 0 ; ? a, b? 为 钝 角

? a ? b ? 0 , a, b 不反向.
6. a ? b 同向或有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b |? | a | ? | b | ?| a ? b | ; a ? b 反向或有 0

?| a ? b | ?| a | ? |b ? | a | ? | b| ? | a| ? ba ? b | 不共线 ? | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . ;
7. 平面向量数量积的坐标表示:? 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ;
2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;

? 若 a ? ( x, y) ,则 a ? a ? a ? x2 ? y2 .

? ? 0 ;当点 P 在线段 P 8. 熟记平移公式和定比分点公式. ① 当点 P 在线段 P 1P 2 上时, 1P 2 (或
? ? ?1 或 ?1 ? ? ? 0 .② 分 点 坐 标 公 式 : 若 PP ? ? PP2 ; 且 P2 P 1 1 )延长线上时,
P , P ( x, y ) P2 ( x2 , y2 ) ; 1 ( x1 , y1 )
x1 ? ? x2 x1 ? x2 ? ? x ? x ? ? ? ? ? 1? ? 2 (? ? ?1) , 中点坐标公式: ? (? ? 1) . 则? y ? ? y y ? y 2 ?y ? 1 ?y ? 1 2 ? ? 1? ? 2 ? ? ③ P1 , P , P2 三点共线 ? 存在实数 ? 、 ? 使得 OP ? ?OP 1 ? ? OP 2 且 ? ? ? ? 1.

9. 三角形中向量性质:① AB ? AC 过 BC 边的中点: (
1

AB | AB |

?

AC | AC |

)?(

AB | AB |

?

AC | AC |

);

② PG ? ( PA ? PB ? PC) ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G 为 ?ABC 的重心;
3

③ PA ? PB ? PB ? PC ? PA ? PC ? P 为 ?ABC 的垂心; ④ | BC | PA? | CA | PB? | AB | PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的内心;? ( 过 ?ABC 内心. ⑤ 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2 2 2 ⑥ O 为 ?ABC 内一点,则 S?BOC OA ? S?AOC OB ? S?AOB OC ? 0 .
AB | AB |

?

AC | AC |

)(? ? 0) 所在直线

S?AOB ?

1

1 xA yB ? xB yA . S?ABC ? | AB || AC | sin A ? 1 | AB |2 | AC |2 ?( AB ? AC)2 .

六. 不等式 1. 掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意: ① 若 ab ? 0 , b ? a ,则
1 a

? .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
b

1

② 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类 讨论. 2. 掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其 注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法.

8

2 2 3. 掌握重要不等式 ,(1) 均值不等式:若 a, b ? 0 , 则 a ? b ? a ? b ? ab ?

2

2

2 ( 当且仅当 1?1 a b

a ? b时 取等号)使用条件:“一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等;(2) a, b, c ? R , a 2 ? b2 ? c 2 ? a b? b c ? (c a 且 仅 当 a ? b ? c 时 , 取 等 号 ) ; (3) 公 式 注 意 变 形 如 : 当
a ?b 2
2 2

?(

a?b 2

) 2 , ab ? (

a?b 2

)2 ;(4)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ?
a

b

b?m a?m

(真分数的性质);

4. 含绝对值不等式: a , b 同号或有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b |? | a | ? | b | ?| a ? b | ; a , b 异号或有 0 . b | ?| a ? b | ?| a | ? |b ? | a | ? | b| ? | a| ? 5. 证明不等式常用方法:? 比较法:作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B .注意:若两个正数作差比 较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小;? 综合法:由因导果;? 分析法:执果索因. 基本步骤:要证…需证…,只需证…; ? 反证法:正难则反;? 放缩法:将不等式一侧适当 的放大或缩小以达证题目的 . 放缩法的方法有:①添加或舍去一些项 , 如: a 2 ? 1 ?| a | ;
n(n ? 1)

将分子或分母放大(或缩小) ? n .②
n ? (n ? 1) 2

③ 利用基本不等式,如: n(n ? 1) ?

.④ 利用常用结论:

10 20

k ?1 ? k
1 k

?
1

1 k ?1 ? k
1 k
2

?

1 2 k
1


?
1 k ?1

?

1 k ?1

?

( k ? 1) k

?
1

?

( k ? 1) k

? (程度大);
k

1

30

1 k
2

?

1 k ?1
2

? (

1

2 k ?1

?

1 k ?1

) (程度小);

? 换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三 角换元代数换元.如:已知 x2 ? y 2 ? a2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin? ;已知 x2 ? y 2 ? 1 ,可设

x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );已知
已知
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? ;

?

y b

2 2

? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan ? .
k

? 最值法,如: a ? f ( x)最大值 ,则 a ? f ( x) 恒成立. a ? f ( x)最小值 ,则 a ? f ( x) 恒成立. 七. 直线和圆的方程 1. 直线的倾斜角 ? 的范围是 [0, ?) ; 2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系 k ? tan ? (? ? ) (如右图):
2

?

O

? ? ?

3. 直线方程五种形式:? 点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线.? 斜截式:已知直线在 y 轴上的 截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括垂直于 x 轴的直线. ? 两点式: 已知直线经过 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为
y ? y1 y2 ? y1

?

x ? x1 x2 ? x1

,它不包括垂直

于坐标轴的直线 . ?截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b , 则直线方程为
x a

?

y b

一般式: 任何直线均可写成 ? 1 ,它不包括垂直于坐标 轴的直线和过原点的直线.?

Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0)的形式. 提醒:? 直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线) ? 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 ? 直线的斜率

9

为 ?1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点; 直 线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1 或直线过原点. ? 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4. 直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系: ? 平行 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距); ? 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ;(3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 . 5. 直线系方程:① 过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 .交点的直线系方程 可设为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ;② 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方 程可设为 Ax ? By ? m ? 0( m ? c) ;③与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程可设为 Bx ? Ay ? n ? 0 . 6. 到角和夹角公式:?l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的 角 ? , ? ? (0, ? ) 且 tan ? ?
k2 ? k1 1 ? k1k 2

(k1k2 ? ?1) ;
?
k 2 ? k1 1 ? k1k 2

?l1 与 l2 的夹角是指不大于直角的角 ? ,? ? (0, ] 且 tan ? ?|
2

| (k1k2 ? ?1) .


7. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

. A2 ? B 2 x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 8. 设三角形 ?ABC 三顶点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则重心 G( 1 , ); 3 3 9. 有关对称的一些结论 ? 点 ( a, b) 关于 x 轴、 y 轴、 原点、 直线 y ? x 的对称点分别是 (a, ?b) , (?a, b) , (?a, ?b) , (b, a ) . f ( x , y ) ? 0 ? 曲线 关于下列点和直线对称的曲线方程为:① 点 ( a, b) : f (2a ? x, 2b ? y ) ? 0 ; ②x 轴: f ( x, ? y) ? 0 ;③ y 轴: f (? x, y ) ? 0 ;④ 原点: f (? x, ? y) ? 0 ;⑤ 直线 y ? x : f ( y, x) ? ;⑥ 0 直线 y ? ?x : f (? y, ? x) ? 0 ;⑦ 直线 x ? a : f (2a ? x, y) ? 0 . 10. ? 圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ? 圆的一般方程:
E 2 1 2

两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离是 d ?

C1 ? C2

x ? y ? D x? E y ? F 0 ?(
2 2

2

D ? E4 ?
2

D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,方程 .特别提醒:只有当 F 0 ? )
D 2 D ? E ? 4 F 的圆(二元二次方
2 2

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 (? , ? ) ,半径为
2 2

程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆 ? A ? C ? 0 ,且 B ? 0, D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ).

? x ? a ? r cos? ? 圆的参数方程:? ( ? 为参数),其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .圆的参数方程主要 ? y ? b ? r sin ? 应用是三角换元: x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ?

x2 ? y 2 ? t 2 ? x ? r cos? , y ? r sin? (0 ? r ? t ) . ? 以 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ; 11. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 P( x0 , y0 ) 及圆的方程
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .①( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆外;
②( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆内;③( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点 P 在圆上. 12. 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 点 P( x0 , y0 ) 在 圆 x2 ? y 2 ? r 2 上 , 则 过 点 P 的 切 线 方 程 为 :

x0 x ? y0 y ? r 2 ; 过 圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上 一 点 P( x0 , y0 ) 切 线 方 程 为
( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 . 13. 过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 x 轴垂直的直 线.

10

14. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形 解决弦长问题.①d ? r ? 相离 ②d ? r ? 相切 ③d ? r ? 相交 15. 圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 d , 两 圆 的 半 径 分 别 为 r, R : d ? R ? r ? 两 圆 相 离 ; d ? R ? r ?两 圆 相 外 切 ; | R ? r |? d ? R ? r ? 两圆相交; d ?| R ? r |? 两圆相内切; d ?| R ? r |? 两圆内含; d ? 0 ? 两圆同心. 16. 过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的圆(相交弦) 系方程为 ( x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 . ? ? ?1 时为两圆相交 弦所在直线方程. 17. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心 距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 18. 求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写 出目标函数(判断几何意义);(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八. 圆锥曲线方程 1. 椭 圆 焦 半 径 公 式 : 设 P( x0 , y0 ) 为 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 任 一 点 , 焦 点 为 a 2 b2 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,则 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 (“左加右减”); x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 任 一 点 , 焦 点 为 a 2 b2 F1 (?c , 0,)F2 (c,0) ,则:? 当 P 点在右支上时, | PF1 |? a ? ex0 ,| PF2 |? ?a ? ex0 ;? 当 P 点在左 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

2. 双 曲 线 焦 半 径 : 设 P( x0 , y0 ) 为 双 曲 线

支上时, | PF1 |? ?a ? ex0 , | PF2 |? a ? ex0 ;( e 为离心率).另:双曲线 的渐近线方程为

x2 y 2 ? ? 0. a2 b2 3. 抛物线焦半径公式:设 P( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意一点, F 为焦点,则

| PF |? x0 ?

p 2

; y 2 ? ?2 px( p ? 0) 上任意一点, F 为焦点,则 | PF |? ? x0 ?
b

p 2

.

x2 y 2 ? ? ? ( ? 为参数, ? ? 0 ). a 2 b2 a 5. 两个常见的曲线系方程: ? 过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y ) ? 0 的交点的曲线系方程是
4. 共渐近线 y ? ? x 的双曲线标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ,其中 a 2 ? k b2 ? k k ? max{a 2 , b2 }. k ? min{a 2 , b2 } 时,表示椭圆; min{a2 , b2 } ? k ? max{a 2 , b2 }时,表示双曲线.

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).? 共焦点的有心圆锥曲线系方程

6. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 或 AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x 2 ] ? 1 ? 1 由 ) 方 程 | y1 ? y2 | ( 弦 端 点 A( 1x , 1y ) , B 2( x ,2, y k2

x c b ?y ? k ? 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求” ? F ( x , ? y ) 0 ? 的思想;
7. 椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 双曲线
2b a
2

,焦准距为 p ?

b

2

c

,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离为 b ; a 2 b2 8. 中 心 在 原 点 , 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 , 双 曲 线 方 程 可 设 为 Ax 2 ? By 2 ? 1 ( 对 于 椭 圆

11

A ? 0, B ? 0 );
9. 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB , A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则有如下结 论: ?| AB |? x1 ? x2 ? p ;?x1 x2 ? 10. 椭圆
p
2

4

, y1 y2 ? ? p 2 ; ?

1

| AF |

?

1 | BF |

?

2 p

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左焦点弦 | AB |? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ,右焦点弦 | AB |? 2a ? e( x1 ? x 2 ) . a 2 b2 y2 11. 对于 y 2 ? 2 px( p ? 0) 抛物线上的点的坐标可设为 ( 0 , y0 ) ,以简化计算. 2p
12. 圆锥曲线中点弦问题: 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“增量法”求解.在椭圆 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k ? ? 为中点的弦所在直线斜率 k ? 所在直线的斜率 k ?
p y0

x2 y2 ? ?1 a2 b2

b 2 x0 x2 y2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) ;在双曲线 a2 b2 a 2 y0

b 2 x0 ;在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦 a 2 y0

.

13. 求轨迹方程的常用方法: ? 直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) ? 0 ,是求轨迹的最基本的方法. ? 待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方 程即可. ? 代入法(相关点法或转移法). ? 定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义 ,则可由曲线的定义直接写出 方程. ? 交轨法(参数法):当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将 x 、 y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14. 解析几何与向量综合的有关结论: ? 给出直线的方向向量 u ? (1, k ) 或 u ? ( m, n) .等于已知直线的斜率 k 或 ? 给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; ? 给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; ? 给出 AP ? AQ ? ? (BP ? BQ) ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; ? 给出以下情形之一: ① AB // AC ;
OA ? ? OB 1? ?

n m



?

② 存在实数 ? ,使 AB ? ? AC ; ③ 若存在实数 ? , ? ,

且 ? ? ? ? 1 ;使 OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. ? 给出 OP ? ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, ? 为定比,即 AP ? ? PB

? 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于 已知 ?AMB 是钝角或反向共线,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角或同向 共线. ? 给出 ? (
MA
| MA |

?

MB
| MB |

) ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线.

? 在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形. ? 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形. ⑴ 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形的外心是外 接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).
12
2 2 2

⑵ 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三 角形三条中线的交点). ⑶ 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形 的垂心是三角形三条高的交点). ⑷ 在 ?ABC 中,给 OP ? OA ? ? (
AB | AB |

?

AC | AC |

) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心.

⑸ 在 ?ABC 中,给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切 圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点). ⑹ 在 ?ABC 中,给出 AD ? ( AB ? AC ) ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线.
2 1

九. 直线、平面、简单几何体 1. 从一点 O 出发的三条射线 OA 、OB 、OC .若 ?AOB ? ?AOC ,则点 A 在平面 BOC 上的射影 在 ?BOC 的平分线上; 2. 立平斜三角余弦公式:(图略) AB 和平面所成的角是 ? 1 , AC 在平面内, AC 和 AB 的射影 AB1 成 ? 2 ,设 ?BAC ? ?3 ,则 cos?1 cos? 2 ? cos?3 ; 3. 异面直线所成角的求法:? 平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的 平行线. ? 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方 体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 4. 直线与平面所成角:过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键. 5. 二面角的求法: ? 定义法; ? 三垂线法; ? 垂面法; ? 射影法: 利用面积射影公式 S射 ? S斜 cos? 其中 ? 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角; 6. 空间距离的求法:? 两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作 出公垂线,然后再进行计算.? 求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. ? 求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关 键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 7. 用向量方法求空间角和距离:? 求异面直线所成的角:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、 b 的方 向向量,则两异面直线所成的角 ? ? arccos
| a?b | | a |?|b|

.? 求线面角: 设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是
|l?n| |l |?| n|

平面 ? 的法向量 , 则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ? ? arcsin

. ?求二面角 ( 法一 ) 在 ? 内
a?b | a |?|b |

a ? l ,在 ? 内 b ? l ,其方向如图(略),则二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arccos

.(法二)设

n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则
二面角 ? ? l ? ? 的平面 角 ? ? arccos
n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

( . 4)求点面距离: 设 n 是平面 ? 的法向量,在 ?

| AB ? n | (即 AB 在 n 方向上投影的绝对值). |n| 8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S侧 cos? ? S底 .
内取一点 B ,则 A 到 ? 的距离 d ?| AB || cos? |? 9. 正四面体(设棱长为 a )的性质: ① 全面积 S ? 3a 2 ;②体积 V ?
2 12

a 3 ;③对棱间的距离 d ?

2 2

a ;④相邻面所成二面角

? ? arccos ;
3

1

13

⑤ 外接球半径 R ? 值h ?
6 3

6 4

a ;⑥ 内切球半径 r ?

6 12

a ;⑦ 正四面体内任一点到各面距离之和为定

a.

10. 直角四面体的性质:(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体 O ? ABC 中, OA, OB, OC 两两垂直,令 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则? 底面三角形 ABC 为锐角三角形;
2 ? 直角顶点 O 在底面的射影 H 为三角形 ABC 的垂心;?S? BOC ? S?BHC S?ABC ; 2 2 2 2 ?S? AOB ? S?BOC ? S?COA ? S?ABC ;?

1
2

OH

?

1 a
2

?

1 b
2

?

1 c
2



? 外接球半径 R= R ?

1 2

a ?b ?c .

2

2

2

11. 已 知 长 方 体 的 体 对 角 线 与 过 同 一 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 分 别 为 ? , ? , ? 因 此 有
2 ?? 1 或 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 ;若长方体的体对角线与过 cos2 ? ? cos2 ? ? c o s 2 ? ? s i2n ?? 同 一 顶 点 的 三 侧 面 所 成 的 角 分 别 为 ? , ? ,? , 则 有 s i n

s2i?n? 或 1

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 .
12. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 13. 球的体积公式 V ? ? R3 ,表面积公式 S ? 4? R 2 ;掌握球面上两点 A 、 B 间的距离求法: ? 计算线段 AB 的长;? 计算球心角 ?AOB 的弧度数;? 用弧长公式计算劣弧 AB 的长. 十. 排列组合和概率
m ? n(n ? 1) 1. 排列数公式 : An

4 3

(n ? m ? 1) ?

n! m !( n ? m)!

(m ? n, m, n ? N *) , 当 m ? n 时为全排列

n An ? n!.
m ? 2. 组合数公式: Cn m An n ? (n ? 1) ??? (n ? m ? 1) 0 n ? (m ? n) , Cn ? Cn ? 1. m! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ??? 3 ? 2 ?1

m n?m r r ?1 r 3. 组合数性质: Cn ; Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 . 4. 排列组合主要解题方法:① 优先法:特殊元素优先或特殊位置优先;② 捆绑法(相邻问题); ③ 插空法(不相邻问题) ;④ 间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符 合条件的所有情况去掉)⑤ 多排问题单排法;⑥ 相同元素分组可采用隔板法(适用与指标分 配,每部分至少有一个) ;⑦ 先选后排,先分再排(注意等分分组问题);⑧ 涂色问题(先分步 考虑至某一步时再分类).⑨ 分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n ! . n n ?1 n r r r r ?1 5. 常用性质: n ? n! ? (n ? 1)!? n! ;即 nAn ? An ?1 ? An ; Cr ? Cr ?1 ? ??? ? Cn ? Cn ?1 (1 ? r ? n) ;

r n?r r a b (r ? 0,1,2,..., n) ; 6. 二项式定理: ? 掌握二项展开式的通项: Tr ?1 ? Cn ? 注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 项系数的区别. 7. 二项式系数具有下列性质:? 与首末两端等距离的二项式系数相等;? 若 n 为偶数,中间一

项(第 ? 1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第
2

n

n ?1 2

? 1和

n ?1 2

? 1 项)的二项式系

0 1 2 n 0 2 1 3 ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ??? ? 2n?1 . 数最大. ?Cn 8. 二项式定理应用:近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法 求展开式的某些项的系数的和如 f ( x) ? (ax ? b)n 展开式的各项系数和为 f (1) ,奇数项系数和



1 2

[ f (1) ? f (?1)] ,偶数项的系数和为 [ f (1) ? f (?1)] .
2

1

9. 等可能事件的概率公式:

14

?P( A) ?

n m

; ? 互斥事件有一个发生的概率公式为: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ;? 相互独

立事件同时发生的概率公式为 P( AB) ? P( A) P( B) ;
k k ? 独立重复试验概率公式 Pn (k ) ? Cn ? 如果事件 A 与 B 互斥, 那么事件 A 与 B 、 p (1 ? p)n?k ;

A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件;? 如果事件 A 、 B 相互独立,那么事件 A 、B 至 少有一个不发生的概率是 1 ? P( AB) ? 1 ? P( A) P( B) ; (6)如果事件 A 与 B 相互独立,那
么事件 A 与 B 至少有一个发生的概率是 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) P( B) . 十一. 概率与统计 1. 理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可 知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:?P ; i ? 0, i ? 1,2, ?P 1 ?P 2 ?

? 1.

k k n ?k k k n?k 2. 二项分布记作 ? ~ B(n, p) (n, p 为参数), P(? ? k ) ? Cn p q ,记 Cn p q ? b(k; n, p) .

3. 记住以下重要公式和结论: ? 期望值 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ?

? xn pn ? . ? 方差 D? ? ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? ) 2 p2 ???? ? ( xn ? E? ) 2 pn ???? . ? 标准差 ?? ? D? ; E(a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a2 D? . ? 若 ? ~ B(n, p) (二项分布),则 E? ? np , D? ? npq(q ? 1 ? p) .
? 若 ? ~ g (k , p) (几何分布),则 E? ?
1 p

, D? ?

q p
2

.

4. 掌握抽样的三种方法:? 简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法);? (理)系统抽样,也叫等 距抽样; ? 分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共 同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相 等”.如从含有 N 个个体的总体中,采用随机抽样法 ,抽取 n 个个体,则每个个体第一次被抽到 的概率为 的概率为
1 N n

,第二次被抽到的概率为 .

1 N

,…,故每个个体被抽到的概率为

n N

,即每个个体入样

N

5. 总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量 越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图; ? 学会用样本平均数 x ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ?
n 1 n 1 1 n i ?1 ? xi 去估计总体平均数; 1
n

n

? 会用样本方差 S 2 ? [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ??? ? ( xn ? x )2 ] ? ? ( xi ? x ) 2 ? ? ( xi2 ? nx 2 )
n i ?1 n i ?1

1

n

去估计总体方差 ? 及总体标准差;? 学会用修正的样本方差
2

S *2 ?
十二. 复数

1 n ?1

2 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ??? ? ( xn ? x )2 ] 去估计总体方差 ? ,会用 S * 去估计 ? .

1. 理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示. 2. 熟练掌握与灵活运用以下结论:?a ? bi ? c ? di ? a ? c 且 c ? d (a, b, c, d ? R) ;? 复数是 实数的条件:①z ? a ? bi ? R ? b ? 0(a, b ? R) ;②z ? R ? z ? z ;③z ? R ? z 2 ? 0 . 3. 复数是纯虚数的条件: ①z ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0 且 b ? 0(a, b ? R) ; ②z 是纯虚数

?z ?z ? 0 ( z ?0;③ ) z 是纯虚数 ? z 2 ? 0 . 4. ? 复数的代数形式:z ? a ? bi ;? 复数的加、 减、 乘、 除运算按以下法则进行:设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? d( i ,a ,b ,c ? d z )1R ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i ,
15

z1 z2 ? (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,
5. 几个重要的结论:

z1 ac ? bd bc ? ad ? ? i ( z2 ? 0) . z2 c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

?| z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) ;?z ? z ?| z |2 ?| z |2 ;? 若 z 为虚数,则 | z |2 ? z2 . 6. 运算律仍然成立:(1) ?z m ? z n ? z m ? n ; ?( z m )n ? z mn ;?( z1 ? z2 )m ? z1m z2m (m, n ? N ) . 7. 注意以下结论:?(1 ? i)2 ? ?2i ;? ?| z |? 1 ? zz ? 1 ? z ? 十三. 注意答题技巧训练 1. 技术矫正: 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意: ? 按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做. ? 不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会 心慌,影响下面做题的情绪. ? 避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查 ,高考时 间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考. ? 做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记, 有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率. 2. 规范化提醒: 这是取得高分的基本保证.规范化包括:解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完后再 看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分. 总之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、 二快、 三规范.特别是要注意解题结果的规范 化. ? 解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不等式、三角方程的结果一般 用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加 k ? Z .在写区间或集合时,要正确地 书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开. ? 带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题后一定要写上符合题意的“答”. ? 分类讨论题,一般要写综合性结论. ? 任何结果要最简.如 ?
4 2 1 2
,

1? i 1? i

?i,

1? i 1? i

? ?i ;?i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 ? 0(n ? N ) ;

1 z

.

1
2

?

2

2

等.

? 排列组合题,无特别声明,要求出数值. ? 函数问题一般要注明定义域(特别是反函数). ? 参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围. ? 轨迹问题:① 轨迹与轨迹方程的区别:轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图 形形状. ② 有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 x 或 y 的范围. ? 分数线要划横线,不用斜线. 3. 考前寄语: ① 先易后难,先熟后生;② 一慢一快:审题要慢,做题要快;③ 不能小题难做,小题大做, 而要 小题小做,小题巧做;④ 我易人易我不大意,我难人难我不畏难;⑤ 考试不怕题不会,就怕会 题做不对;⑥ 基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;⑦ 对 数学解题有困难的考生建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

16


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