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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数 6 函数的奇偶性与周期性考点规范练 文 北师大版


考点规范练 6
1.函数 f(x)=-x 的图像关于( )

函数的奇偶性与周期性
考点规范练 B 册第 4 页 基础巩固组

A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称 答案:C 解析:∵f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数,故 f(x)的图像关于坐 标原点对称. 2.(2015 河南洛阳统考)下列函数中,既是偶函数,又在(-∞,0)上递增的是( ) 2 |x| A.y=x B.y=2 C.y=log2 D.y=sin x 答案:C 2 |x| 解析:函数 y=x 在(-∞,0)上是减少的;函数 y=2 在(-∞,0)上是减少的;函数 y=log2=-log2|x|是偶 函数,且在(-∞,0)上是增加的;函数 y=sin x 不是偶函数.综上所述,选 C. 2 3.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) A.B. C. D.答案:B 解析:依题意 b=0,且 2a=-(a-1), ∴b=0,a=,则 a+b=. 4.(2015 石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)=,则实数 a 的 取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2)?导学号 32470712? 答案:A 解析:∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数, ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), ∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0,解得-1<a<4,故选 A. 3 5.(2015 河北唐山统考)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +ln(1+x).则当 x<0 时,f(x)=( ) 3 3 A.-x -ln(1-x) B.x +ln(1-x) 3 3 C.x -ln(1-x) D.-x +ln(1-x) 答案:C 3 解析:当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +ln(1-x), ∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)], ∴f(x)=x3-ln(1-x). 6.(2015 合肥模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x).若当 x∈[0,1) x 时,f(x)=2 -,则 f(lo)的值为( ) A.0 B.1 C. D.-?导学号 32470713? 答案:A 解析:因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(lo)=f(-log2)=f=-f, 又 f(x+2)=f(x), 所以 f=f=0, 所以 f(lo)=0. 2 2 7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x.若 f(2-a )>f(a),则实数 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) 1

C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案:C 2 解析:因为 f(x)是奇函数,所以当 x<0 时,f(x)=-x +2x,作出 f(x)的大致图像如图中实线所示,结合 2 2 图像可知 f(x)是 R 上的增函数.由 f(2-a )>f(a),得 2-a >a,即-2<a<1,选 C.

8.(2015 陕西延安模拟)函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x)是偶函数,f(1-x)=f(1+x),若 f(0.5)=9, 则 f(8.5)等于( ) A.-9 B.9 C.-3 D.0 答案:B 解析:因为 f(1-x)=f(1+x),即 f(x)=f(2-x). 又因为 f(-x)=f(x),故 f(-x)=f(2-x), 即 f(x+2)=f(x),函数 f(x)的周期为 2, 所以 f(8.5)=f(0.5)=9. 9.已知 y=f(x)是奇函数.若 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1,则 g(-1)= . 答案:3 解析:由 g(x)=f(x)+2,得 f(x)=g(x)-2. ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-[g(1)-2]=1, ∴g(-1)=f(-1)+2=3. 2 10.设奇函数 y=f(x)(x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈时,f(x)=-x ,则 f(3)+f 的 值等于 .?导学号 32470714? 答案:解析:根据对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t)=f(1+t),即 f(t+1)=-f(t),进而得到 f(t+2)=f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数 y=f(x)的一个周期为 2,故 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f=f=-. 所以 f(3)+f=0+=-. 11.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=,则 f(1),g(0),g(-1)之间 的大小关系是 . 答案:f(1)>g(0)>g(-1) x 解析:在 f(x)-g(x)=中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2 ,由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函 x 数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2 .于是解得 f(x)=,g(x)=-,于是 f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-, 故 f(1)>g(0)>g(-1). 2 12.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,则满足 f(1-m)+f(1-m )<0 的实数 m 的取值范围为 .?导学号 32470715? 答案:[-1,1) 解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],


解得-1≤m≤.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)? 1-m>m2-1, 解得-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 即实数 m 的取值范围是[-1,1). 13.(2015 河南信阳二模)函数 f(x)=lg|sin x|是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 能力提升组 )

2

C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 答案:C 解析:易知函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z},关于原点对称, 又 f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|-sin x|=lg|sin x|=f(x),所以 f(x)是偶函数,又函数 y=|sin x|的 最小正周期为 π ,所以函数 f(x)=lg|sin x|是最小正周期为 π 的偶函数. 14.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x) 在[1,3]上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 答案:D 解析:由 f(x)在[-1,0]上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增函数. 由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f[(x+1)+1] =-f(x+1)=f(x),故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)的部分图像,如图.

由图像可以观察出,f(x)在[1,2]上是减少的,在[2,3]上是增加的. 15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x).当 0≤x≤1 2 时,f(x)=x .若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是 ( ) A.0 B.0 或C.-或D.0 或-?导学号 32470716? 答案:D 解析:∵f(x+2)=f(x),∴T=2. 2 2 又 0≤x≤1 时,f(x)=x ,可画出函数 y=f(x)在一个周期内的图像如图.显然 a=0 时,y=x 与 y=x 在[0,2]内恰有两个不同的公共点.

另当直线 y=x+a 与 y=x (0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点. 2 由题意知 x =x+a, 2 即 x -x-a=0,Δ =1+4a=0, 则 a=-,此时 x=. 综上可知,a=0 或-. 16.(2015 皖北协作区联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x,y∈R,x+y≠0,都有>0, 若 x>2y,则( ) A.f(x)>f(2y) B.f(x)≥f(2y) C.f(x)<f(2y) D.f(x)≤f(2y)?导学号 32470717? 答案:A 解析:因为>0,令 x=x1,y=-x2, 则>0. 又函数 f(x)是奇函数,所以>0,即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 因为 x>2y,所以 f(x)>f(2y),故选 A. 17.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1).已知当 x∈[0,1] 时,f(x)=,则 3

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①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ④当 x∈(3,4)时,f(x)=. 其中所有正确命题的序号是 .?导学号 32470718? 答案:①②④ 解析:由已知条件得 f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,故①正确; 当-1≤x≤0 时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=, 函数 y=f(x)的图像如图所示,最小值为,最大值为 1.

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, f(x)=f(x-4)=. 因此②④正确,③不正确.

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