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四川省攀枝花市2019届高三数学上学期第一次统一考试试题理


攀枝花市 2019 届高三第一次统一考试

理科数学

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

1.已知集合 A ? ?x | ?1? x ? 2? , B ? ?x | x?x ?3? ? 0? ,则集合 A B ? (

)

A.?x | ?1? x ? 3? B.{x | x ? 2或x ? 3}

C.?x | 0 ? x ? 2?

D.{x | x ? 0或x ? 3}

2.已知 i 是虚数单位, x, y ? R ,且 ? x ? i??2 ? i? ? y ? i ,则 y ? ( )

A. ?3

B. ?1

C.1 D. 3

3.如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下

列各图中的( )

- 1 - / 10

A

B

C

D

4.设 a,b, c 为实数,且 a ? b ? 0,则下列不等式正确的是(

)

A. 1 ? 1 ab

B. ac2 ? bc2

C. b ? a ab

D. a2 ? ab ? b2

5.函数 f ? x? ? ln x ?1 的大致图象为(

)

x ?1

A

B

C

D

6.运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为(

)

A. ? 3 2

B. 0

C. 3 2

D. 3

7.若当 x ? ? 时,函数 f ? x? ? 3sin x ? 4cos x 取得最大值,则 cos? ? (

)

A. 3 5

B. 4 5

C. ? 3 5

D. ? 4 5

8.《周碑算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、

- 2 - / 10

清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日

影长之和为 31.5 尺,前九个节气日影长之和为 85.5 尺,则小满日影长为(

)

A.1.5 尺 B. 2.5 尺 C. 3.5 尺 D. 4.5 尺

9.已知函数

f

?x?

?

8 sin

? ??

?

x

?

? 3

? ??

??

?

0? 的最小正周期为 ?

,若

f

?x?在

????

? 24

,

m 3

? ??

上单调

递增,在

? ??

m 2

2? 3

? ??

上单调递减,则实数

m

的取值范围是(

)

A.

????

,

3 2

?

? ??

B.

? ??

5 6

?

,

5 4

?

? ??

C.

?? ?? 3

,

? 2

? ??

D.

????

? 8

,

4 3

?

? ??

? ? ? ? 10.已知数列

an

的前

n

项和为

Sn

,

a1

?

?

1 9

,且

an

?

2Sn Sn?1

?

0

n ? 2, n ? N*

,则 Sn 的最

小值和最大值分别为(

)

A. ? 1 , 1 44

B. ? 1 , 1 33

C. ? 1 , 1 22

D. ?1,1

11. 在 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 M 是 AB 边 上 的 点 , 且

MA ? MB ? MC ? MD ?1, ?CMD ? 120 ,若点 N 在线段 CD (端点 C, D 除外)上运动,则

NA? NB 的取值范围是(

)

A. ??1, 0?

B. ??1,1?

C.

????

3 4

,

0

? ??

D.

????

1 2

,1???

12.在直角坐标系中,如果相异两点 A?a,b?, B??a, ?b? 都在函数 y=f(x)的图象上,那么称

A, B 为 函 数 y ? f ? x? 的 一 对 关 于 原 点 成 中 心 对 称 的 点 ( A, B 与 B, A 为 同 一 对 ). 函 数

f

?

x

?

?

??c ?

o

s? 2

x

,x

?

0的图象上关于原点成中心对称的点有(

)

?? log7 x ,x ? 0

A.1对

B. 3 对

C. 5 对

D. 7 对

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.平面向量 a, b 的夹角为 60 ,若 a ? 1, b ? 1,则 a ? 2b ?

.

? ? 14.曲线 f ? x? ? x2 ? a 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,则实数 a ? x .

- 3 - / 10

? ? 15. 若 幂 函 数 f ? x? ? m2 ? 5m ? 7 xm 在 R 上 为 增 函 数 , 则

logm

27

?

2

lg

5

?

lg

4

?

m

logm

1 2

?

.

16.已知函数

f

?x?

? ex

? cos x

,若

f

???1n

a b

? ??

?

f

? ??

ln

b a

? ??

?

2

f

?1?

?

0 ,则

a b

的取值范围是

. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。

? ? 17.(12 分)公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 ,且 a1, a2 , a5 成等比数列.

(Ⅰ)求数列?an? 的通项公式;

(Ⅱ)设?bn ? an? 是首项为1,公比为 2 的等比数列,求数列?bn? 的通项公式及其前 n 项和Tn .
18.(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且满足 cos C ? 2c ? 3b ? 0 . cos A 2a
(Ⅰ)求 cos A的值;

(Ⅱ)若△ABC 外接圆半径为 3, b ? c ? 2 6 ,求△ABC 的面积.

19.(12 分)如图,矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直, ?ABE ? 60 , G 为 BE 的
中点.
(Ⅰ)求证: AG ? 平面 ADF ; (Ⅱ)若 AB ? 3BC ,求二面角 D ?CA?G 的余弦值.

- 4 - / 10

20.(12 分)椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 的右顶点和上顶点分别为 A、B ,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C

4

2

交于 P、Q 两点(点 P 在第一象限).

(Ⅰ)求证:直线 AP、BQ 的斜率之和为定值;

(Ⅱ)求四边形 APBQ 面积的取值范围.

21.(12 分)

已知函数 f ? x? ? ex ? 1 x2 ? x? a, g ? x? ? 2ex ? ln ? x ?1? ? b x (其中 e 为自然对数的底

2

5

数).

(Ⅰ)若 f ? x? ? 0 对所有的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)求最大的整数 b ,使 g ? x? 在 ??1, ??? 上为单调递增函数.

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题

记分。
22.[ 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ](10 分 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为

p ? 2 c o s? ?

2 s i?n(

?00

?

2?

)

,点

M

???1,

? 2

? ??

,以极点

O

为原点,以极轴为

x

轴的正半轴建

?

立平面直角坐标系,已知直线 l

:

?? ?

x

?

3t 2

( t 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点.

? ??

y

?

1

?

1 2

t

(Ⅰ)若 P??,? ? 为曲线 C 上任意一点,求 ? 的最大值,并求出此时点 P 的极坐标;

(Ⅱ)求 1 ? 1 的值. MA MB

23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
设函数 f ? x? ? x ? a2 ? x ? b2 ?a,b ? R? .

(Ⅰ)若 a ? 1,b ? 0 ,求 f ? x? ? 2 的解集;

(Ⅱ)若 f ? x? 的最小值为 8 ,求 a ? b 的最大值.

- 5 - / 10

攀枝花市 2019 届高三第一次统考数学试题(理科) 参考答案
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 1~5BACDA 6~10DBCBD 11~12CC
二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)

13、 2

14、 1

15、 4

16、 (0, 1) (e, ??) e

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)由 S3 ? 9 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ? a2 ? 3 .

又∵ a1 , a2 , a5 成等比数列, ∴ a22 ? a1a5 ,即 a22 ? (a2 ? d ) (a2 ? 3d ) ? d 2 ? 2d ? 0 ,

解得 d ? 2 或 d ? 0 (舍去), ∴ a1 ? a2 ? d ? 1 ,故 an ? 2n ?1.……………………6 分

(Ⅱ)由题意 bn ? an ? 2n?1 ,所以 bn ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ? 2n ?1,……………………8 分

所以Tn ? (1? 2 ? 22 ? ? 2n?1) ? [1? 3 ? 5 ? ? (2n ?1)]

? 1? 2n ? n ? 2n ? 2n ?1? n2 .……………………12 分 1?2 2

18、(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由 cos C ? 2c ? 3b ? 0 及正弦定理得 cos A 2a
2sin AcosC ? 2cos AsinC ? 3cos Asin B ? 0 从而 2sin(A ? C) ? 3cos Asin B ? 0 即 2sin B ? 3cos Asin B ? 0

又 ?ABC 中 sin B ? 0,

∴ cos A ? ? 2 .……………………6 分 3

( Ⅱ ) ?ABC 外 接 圆 半 径 为 3, sin A ? 5 , 由 正 弦 定 理 得 3

a ? 2R sin A ? 2 5 ……………………8 分

再由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2(1? cos A)bc ,及 b ? c ? 2 6

得 bc ? 6

- 6 - / 10

∴ ?ABC的面积 S ? 1 bc sin A ? 1 ? 6? 5 ? 5 .……………………12 分

2

23

19、(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)证明:∵矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直, ∴ AD ? AB , ∵矩形 ABCD 菱形 ABEF ? AB , ∴ AD ? 平面 ABEF , ∵ AG ? 平面 ABEF , ∴ AD ? AG ,……………………3 分

∵ 菱 形 ABEF 中 , ?ABE ? 60 , G 为 BE 的 中 点 .

∴ AG ? BE , 即

AG ? AF ……………………5 分 ∵ AD AF ? A , ∴ AG ? 平面 ADF .……………………6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 AD, AF, AG 两两垂直,以 A 为原点,AG 为 x 轴,AF 为 y 轴,AD 为 z 轴,建

立空间

直 角 坐 标 系 , 设 AB ? 3BC ? 3

A(0, 0, 0) , C( 3 , ? 3 ,1) , D(0, 0,1) , G(3 , 0, 0) ,

22

2

,则

BC ? 1, AG ? 3 2

,故 z D

则 AC ? ( 3 , ? 3 ,1) , AD ? (0, 0,1) , AG ? (3 , 0, 0) ,

22

2

C A

设平面 ACD 的法向量 n1 ? (x1, y1, z1) ,



? ??n1

?

AC

?

3 2

x1

?

3 2

y1

?

z1

?

0

,取

y1

?

??

n1 ? AD ? z1 ? 0

3 ,得 n1 ? (1,

3,0) ,

B

G

E

x

设平面 ACG 的法向量 n2 ? (x2, y2, z2) ,

?

3

3



??n2 ? ? ??

?

AC ? 2 x2 n2 ? AG

? ?

2 y2

3 2

x2

?

? 0

z2

?

0

,取

y2

?

2

,得

n2

?

(0, 2,

3) ,……………10 分

设二面角 D ?CA?G 的平面角为? ,则 cos? ? n1 ? n2 ? 2 3 ? 21 , ……………11 分
| n1 | ? | n2 | 2? 7 7

易知? 为钝角,∴二面角 D ?CA?G 的余弦值为 ? 21 .……………………12 分
7

- 7 - / 10

20、(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) 证 明 : 设 直 线 l 方 程 为 : y ? 1 x ? b 代 入 椭 圆 C : x2 ? y2 ? 1 并 整 理 得 :

2

4

x2 ? 2bx ? 2b2 ? 2 ? 0



P(

x1,

y1

),

Q(

x2

,

y2

)

,则

? ? ?

x1 ? x1x2

x2 ?

? ?2b 2b2 ? 2

.……………………3







kA ? k

? y1 ? ?1 ? x1 ? 2 x

?? ? x? x

?

? 2b2 ? ? ? ? x? x

?

? 0P

y2
2

所以直线 AP 、 BQ 的斜率之和为定值 0. …………………… 6 分

(Ⅱ)设 C : x2 ? y2 ? 1 的左顶点和下顶点分别为 C 、 D ,则直线 l 、 BC 、 AD 为互相平行的 4

直线,所以 A 、 B 两点到直线 l 的距离等于两平行线 BC 、 AD 间的距离 d ? 2 . 1? 1 4

| PQ |?

1? k 2 | x2 ? x1 |?

1?

1 4

|

x2

?

x1

|

……………………9



? SAPBQ

?

1 2

d?|

PQ

|?|

x2

?

x1

|?

8 ? 4b2 ,又 p 点在第一象限,??1? b ?1

? S ? (2, 2 2] .……………………12 分

21、(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)不等式为 ex ? 1 x2 ? x ? a ,令 h?x? ? e x ? 1 x2 ? x, h' (x) ? e x ? x ?1

2

2

令 m(x) ? e x ? x ?1 , m' (x) ? e x ?1 ? 0 , 所 以 m(x) 在 (??,0) 上 单 调 递

减, m(x) ? m?0? ? 0 , 即 ex ? x ?1,所以 h(x) 在 (??,0) 上单调递增,则 h(x) ? h?0? ? 1

- 8 - / 10

所以 a ? 1.………………………4 分

(Ⅱ) g ' (x) ? 2ex ? 1 ? b ? 0 ? b ? 5(2ex ? 1 ) 对一切 x ? ?1恒成立,

x ?1 5

x ?1

令 t(x)

?

5(2e x

?

1 ) ,t ' (x) x ?1

?

5(2e x

?

(x

1 ? 1)2

)

, t '' (x)

?

5(2e x

?

(x

1 ? 1)3

)

?

0

所以 t ' (x) 为 ??1,??? 上的增函数,又 t ' (? 1 ) ? 5( 2 ? 4) ? 0 , t ' (0) ? 5 ? 0 ,所以 t ' (x) 在

2

e

?? ? ?

1 2

,0 ?? ?

上存在唯一的零点,令为

x0

,则 b

?

t ( x) m in

?

t?x0

? ………………………7



由(Ⅰ)知当

x

?

0时ex

?

x

? 1, t( x)

?

5(2e x

?

1) x ?1

?

5???2?x

? 1? ?

1? x ? 1??

? 10

2 ? 14

所以, t(x0 ) ? 14 ………………………9 分

在 (Ⅰ) 中 令 a ? 1 得 当 x ? 0 时 , e x ? 1 x2 ? x ? 1 , 所 以 2

t(x0 ) ? t?? 0.2? ? 5(2e?0.2

?

1

1 ? 0.2

)

?

5???2????

0.2 2

2

? 0.2 ? 1???? ?

1? 0.8 ??

?

14.45

…………………

……11 分

所以14 ? t(x0 ) ? 15

所以最大的整数 b 为 14.………………………12 分
请考生在 22~23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅

笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解:(Ⅰ) ? ? 2cos? ? 2sin? ? 2 2 sin(? ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 4

?当? ? ? 时, ? 取得最大值 2 2 ,此时 P 的极坐标为 (2 2, ? ) .………………………

4

4

5分

(Ⅱ)由 ? ? 2cos? ? 2sin? ,得 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin? , ∴ x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 0

将代入并整理得:,…………………8 分 由的几何意义得.………………………10 分 - 9 - / 10

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)因为,所以,
当时, , ∴; 当时,; 当时, , ∴;
综上所述:.………………………5 分 (Ⅱ)∵,……………………… 7 分 又∵ (当且仅当时取等号),………………………9 分 ∴,故的最大值为 (当且仅当时取等号).………………………10 分
- 10 - / 10


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