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06-07年上学期宁夏银川一中高三数学期中试题(附答案)


宁夏银川一中2006—2007学年度上学期高三期中考试 数 学 试 题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题所给出的四个选项中,只有一项 是最符合题目要求的。 1.全集为实数集 R,M={x|-2≤x≤2},N={x|x<1},则(CRM)∩N= A.{x|x<-2} A. 2? ,2 B.{x|-2<x<1} B. ? , 2 C.{x|x<1} C. 2? ,1 2.函数 y ? 4 sin x cos x 的最小正周期及最大值分别是 D. ? ,1 ( D.32 ( D.- ) ) 3.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3=2,则该数列的前 5 项和为 A.20 4.已知 sin ? = A. B.16 C.10 ( ( ) )

D.{x|-2≤x<1}

24 25
x

4 ,且 sin ? -cos ? >1,则 sin2 ? = 5 12 4 B.- C.- 5 25


24 25
( ) ) )
x -x

5.下列函数中的图象与函数 y=4x 的图象关于 y 轴对称的是 A.y=-4 A.8 A.1+ 2 B.y=4
-x

C.y=-4 C.-4 C. 2

-x

D.y=4 +4 D.-8

6.若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),则 a 的值为 B.2 B. 2 -1
2

( ( D.2 ( D.-2 (

7.函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为 8.在数列 {an } , a1 ? 1, an?1 ? an ? 1则此数列的前 4 项之和为 中 A.0 B.1 C.2 9.已知 f(x)在(0,2)上是增函数,f(x+2)是偶函数,那么正确的是

) )

5 7 )<f( ) 2 2 7 5 C.f( )<f( )<f(1) 2 2
A.f(1)<f( A.[2,+∞] 11.函数 y ? A. ( k? ? B.(1,2)

7 5 )<f(1)<f( ) 2 2 5 7 D.f( )<f(1)<f( ) 2 2
B.f( ( D.(0,1) ( ) ) C.(1,2)

10.当 x∈(-2,-1)时,不等式(x+1)2<loga|x|恒成立,则 a 范围

log0.5 (sin 2 x ? cos 2 x) 的单调递增区间为

3? ? 3? ) ) B. ( k? ? , k? ? 4 8 8 8 ? 5? ? ? ) C. ( k? ? , k? ? D. (k? ? , k? ? ) (其中 k ? Z ) 8 8 8 8 m ? cos x ? 在x ? (0, ) 单调递增,则实数 m 的取值范围为 ( 12.已知函数 f ( x) ? sin x 2 A. (??,0) B. (??,1) YCY C. (??,0] D. (??,1] , k? ?
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

?



13.如果函数 y ? ?

?2 x ? 3, ( x ? 0) 是奇函数,则 f ( x ) ? ? f ( x), ( x ? 0)

.

14.曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1在点 P(2,-3)处的切线的方程_______________________。 15.在△ABC 中,A=15°,则 3 sin A ? cos(B ? C) 的值为 。

16.a、b、c 成等比数列,x 是 a、b 的等差中项,y 是 b、c 的等差中项,则

a c ? =________。 x y

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,满足不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3) , (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式。 (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围 18. (本小题满分 12 分) 已知 {a n } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 11 S 9 ? 153 , , (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 a n ? log2 bn ,证明 {bn } 是等比数列 19. (本小题满分 12 分) 已知 A ? {x | x ? a |? 2}, B ?| x |

2x ? 1 ? 1}, 若A ? B ,求实数 a 的取值范围 x?2

20. (本小题满分 12 分) 已知 f(x)=4msinx-cos2x(x∈R),若 f(x)的最大值为 3,求实数 m 的值. 21. (本题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n?1 ? 1. (1)求数列 {an } 通项公式; (2)设 bn ? an?1 ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) 的定义域为 R,对任意的 x1 , x 2 都满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,当 x<0 时, f ( x) ? 0 . (1)判断 f (x ) 的单调性和奇偶性 (2)是否存在这样的实数 m,当 ? ? [0,

?
2

] 时,使不等式

f [sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ?

4 ] ? f (3 ? 2m) ? 0 对所有 ? 恒成立, 如存 sin ? ? cos ?

在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

宁夏银川一中2006—2007学年度上学期高三期中考试 数学试题(理)参考答案
ABCAB CAABB 13 . 2x+3, 17. (10 分) 14. AD y=-3, 15.

2,

16.

2

解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c

∵ f(x)>-2x ∴ax2+bx+c>-2x 即 ax2+(b+2)x+c>0

? ?a ? 0 ?a ? 0 ? b?2 ? ? ? ?4a ? ?b ? 2 ① 解集(1,3),故 ?1 ? 3 ? ? a ? ?3a ? c ② ? c ? ?1? 3 ? a ?
由于 f(x)=-6a 有两个相等的根,故 ax2+bx+c+6a=0 中△=0 ∴b2-4a(c+6a)=0 由①②③,故 a=- ∴f(x)= ? ③

6 1 3 ,b=- ,c=- 5 5 5

1 2 6 3 x ? x ? …………………………………………………………(5 分) 5 5 5
=ax2-(4a+2)x+3a ∵a<0

(2)由于 b=-4a-2,c=3a,∴f(x)=ax2+(-4a-2)x+3a

故最大值为 18.(12 分)

4a ? 3a ? (4a ? 2) 2 ? 0 ,即 a<-2- 3 or-2+ 3 <a<0…………(10 分) 4a

解:(1)a3=11,S9=153 ? 9a5=153 ? a5=17 故:公差 d=

a 5 ? a 3 17 ? 11 ? ?3 5?3 2
b
an

∴an=a3+(n-3)d=11+3(n-3)=3n-2……(6 分)

(2)∵an= log2 n ,∴bn= 2

? 2 3n ? 2 ,bn+1=23(n+1)-2

bn?1 2 3( n?1)?2 又 ? 3n?2 ? 2 3n?1?3n? 2 ? 2 3 (常数) bn 2
故数列{bn}是等比数列。……………………………………………………(12 分) 19.解:∵B={x|

2x ? 1 ? 1 },∴B={x|-2<x<3}……………………………(3 分) x?2

又 A={x||x-a|<2} ? A={x|a-2<x<a+2}………………………………(6 分) 要使 A ? B,则 ?

?a ? 2 ? 3 ? 0 ? a ? 1, 故 a 的取值范围是[0,1] ………(12 分) ?a ? 2 ? ?2

20.解: f ( x) ? 4m sin x ? cos 2x ? 2 sin 2 x ? 4m sin x ? 1 ? 2(sin x ? m) 2 ? (2m2 ? 1) . 令 t ? sin x, 则f ( x)可化为g (t ) ? 2(t ? m) 2 ? (2m2 ? 1)(?1 ? t ? 1) . 4 分

?1 ? 4m ? 3 1 1)当 ? m ? 0时, 则在t ? 1处, f ( x) max ? 1 ? 4m,由 ? 得 : m ? ; 8分 2 ??m ? 0 ?1 ? 4m ? 3 1 2)当 ? m ? 0时, 则在t ? ?1处, f ( x) max ? 1 ? 4m由 ? 得 : m ? ? ; 11分 2 ??m ? 0
12 分
2

综上, m ? ? 1 . 21.(1)当 n=1,S1=a1=21+1-1=3

当 n≥2,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n+1-2n=2n 而 n=1 时,21=2≠3,故 an= ? (2) ∵bn=an+1-an

?3(n ? 1)
n ?2 (n ? 2)

…………………………………………(6 分)

∴b1=a2-a1=22-3
b2=a3-a2=23-22
? ?

+) bn=an+1-an=2n+1-2n ∴Tn=an+1-a1=2n+1-3 …………………………………………………………(12 分) 22 解: (1)令 x ? y ? 0, 有f (0) ? 0, 令x1 ? x, x2 ? ? x 有 f (? x) ? f ( x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0, 即 f (? x) ? ? f ( x),故f ( x) 为奇函数 在 R 上任取 x1 ? x2 , 则x1 ? x2 ? 0 ,由题意知 f ( x1 ? x2 ) ? 0 则 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 故 f (x) 是增函数 (2)要使 f [sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ? 只须 f [sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ?

4 ] ? f (3 ? 2m) ? 0 sin ? ? cos ?

4 ] ? ? f (3 ? 2m) ? f (?3 ? 2m) sin ? ? cos ? 4 又由 f (x) 为单调增函数有 sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ? ? ?3 ? 2m sin ? ? cos ?
令 t ? sin ? ? cos ? , 则 sin 2? ? t ? 1,?? ? [0,
2

?

2

],? t ? 2 sin(? ?

?

4

) ? [1, 2 ]

4 ? 3 ? 2m ? 0对t ? [1, 2 ] 恒成立 t 2 t (2 ? t ) ? (2 ? t ) 4 2 t ? (2 ? t )m ? 2t ? t 2 ? ? 2,即m ? ?t? t 2?t t 2 2 令 g (t ) ? t ? , g ?(t ) ? 1 ? 2 , 在t ? [1, 2 ]时g ?(t ) ? 0, 故g (t )在[1, 2 ] 上为减函 t t
原命题等价于 t ? 1 ? (m ? 2)t ?
2

数,? m ? 3 时,原命题成立.

4 ? 3 ? 2m ? 0对t ? [1, 2 ] 恒成立 t 有 (t 2 ? mt ? 2)(t ? 2) ? 0,? t ? 2 ? 0, 故t 2 ? mt ? 2 ? 0在t ?[1, 2 ] 恒成立
法 2:由 t ? 1 ? (m ? 2)t ?
2

只需 ?

?12 ? m ? 2 ? 0 ? ?m?3 ?( 2 ) 2 ? 2m ? 2 ? 0 ?


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