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高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之复数探讨 新人教A版


第 14 讲:高频考点分析之复数探讨

1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 讲对数学 解题方法进行了探讨,从第 13 讲开始我们对高频考点进行探讨。 数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于 0 的一元二次方程仍无解,因此将数 集再次扩充,达到复数范围。 形如 z ? a ? bi 的数称为复数,其中规定 i 为虚数单位,且 i 2 ? i ? i ? ?1 ( a,b 是任意实数) 。 我们将复数 z ? a ? bi 中的实数 a 称为复数 z 的实部,实数 b 称为复数 z 的虚部。 当 b =0 时, z ? a ,这时复数成为实数; 当 a =0 且 b ≠0 时, z ? bi ,称为纯虚数。 实部与虚部的平方和的正的平方根称为该复数的模,即对于复数 z ? a ? bi ,它的模为 z ? a 2 ? b 2 。 对于复数 z ? a ? bi ,称复数 z ? a ? bi 为 z 的共轭复数。即两个实部相等,虚部(虚部不等于 0)互为 相反数的复数互为共轭复数。 我们从这两方面探讨复数知识的考点。 一、复数(含模)的运算: 典型例题:例 1.复数 A. 2 ? i 【答案】C。 【考点】复数的四则运算。 【解析】∵

?1 ? 3i 【 1? i

】 C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

B. 2 ? i

?1 ? 3i ? ?1 ? 3i ??1 ? i ? 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,故选 C。 1? i 2 ?1 ? i ??1 ? i ?
】 B、 ?1 C、 i D、 ?i

例 2.复数

(1 ? i ) 2 ?【 2i

A、 1 【答案】B。 【考点】复数的运算。 【解析】

(1 ? i ) 2 1 ? i 2 ? 2i ? ? ?1 。故选 B。 2i 2i

1

例 3. i 是虚数单位,复数 z = (A) 2 ? i (C) ?2 ? i 【答案】B。 【考点】复数的四则运算。 (B) 2 ? i

7?i =【 3?i



(D) ?2 ? i

【分析】由题意,可对此代数分子分母同乘以分母的共轭,整理即可得到正确选项: 因为 z =

7 ? i (7 ? i )(3 ? i ) 21 ? 7i ? 3i ? 1 = = = 2 ? i ,故选 B。 3 ? i (3 ? i )(3 ? i ) 10


例 4.复数 z 满足: ( z ? i )(2 ? i ) ? 5 ;则 z ? 【

( A) ?2 ? 2i
【答案】 D 。 【考点】复数的运算。

( B ) ?2 ? 2i

(C ) ? ? ?i

( D) ? ? ?i

【解析】根据复数的运算法则计算即可:

( z ? i )(2 ? i ) ? 5 ? z ? i ?

5 5(2 ? i ) ? z ?i? ? 2 ? 2i 。故选 D 。 2?i (2 ? i )(2 ? i )


例 5.若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为【 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i

【答案】A。 【考点】复数的运算。 【解析】 z ?

11 ? 7i (11 ? 7i)(2 ? i) 22 ? 7 ? (14 ? 11)i ? ? ? 3 ? 5i 。故选 A。 2?i 5 5

例 6.设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 ? 5i 【答案】D。 【考点】复数 的计算。 【解析】 B. 6 ? 5i

5 ? 6i =【 i

】 D. ?6 ? 5i

C. ?6 ? 5i

5 - 6i 5i - 6i 2 5i + 6 = = = - 6 - 5i 。故选 D。 i i2 - 1
3?i ?【 1? i
】 D. 1 ? 2i
2

例 7.已知 i 是虚数单位,则 A. 1 ? 2i

B. 2 ? i

C. 2 ? i

【答案】D。 【考点】复数的运算。

3 ? i ? 3 + i ??1+ i ? 2 + 4i ? = =1+2i 。故选 D。 1? i 2 2 例 8.若复数 z 满足 zi =1 ? i ,则 z 等于【 】
【解析】 A. ?1 ? i 【答案】A。 【考点】复数的运算。 【解析】∵ zi =1 ? i ,∴ z = 例 9.复数 B. 1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i

2?i 】 ?【 2?i 3 4 3 4 (A) ? i (B) ? i 5 5 5 5

1 ? i ?1 ? i ? ? i ? ? ?1 ? i 。故选 A。 i i ?i

(C) 1 ?

4 i 5

(D) 1 ?

3 i 5

【答案】A。 【考点】复数代数形式的运算。 【解析】

2 ? i (2 ? i )(2 ? i ) 3 ? 4i 3 4 ? ? ? ? i 。故选 A。 2 ? i (2 ? i )(2 ? i ) 5 5 5
3?i ? 1? i
▲ ( i 为虚数单位).

例 10.计算:

【答案】 1 ? 2i 。 【考点】复数的运算。 【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化即可: 例 11.若 ?1+i ?? 2+i ? =a +bi ,其中 a, b ? R, i 为虚数单位,则 a ? b ? 【答案】4。 【考点】复数的乘法运算及复数相等的概 念。 【分析】∵ (1 ? i )(2 ? i ) ? 1 ? 3i ? a ? bi ,∴ a ? 1, b ? 3 。∴ a ? b ? 4 。 例 12.设 a , b ? R , a ? bi ? 【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。

3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) 3 ? 1 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i 。 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2


11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ▲ . 1 ? 2i

3

【 分 析 】 由 a ? bi ?

11 ? 7i ?11 ? 7i ??1 ? 2i ? 11 ? 15i ? 14 11 ? 7i = = =5 ? 3i , 所 以 a =5, 得 a ? bi ? b =3 , 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 1? 4 1 ? 2i

a ? b =8 。
例 13.在复平面内,复数 A (1 ,3)

10i 对应的点的坐标为【 3?i

】 D (3 ,-1)

B (3,1)

C(-1,3)

【答案】A。 【考点】复数除法运算,复平面实部虚部。 【解析】∵

10i ? 3 ? i ? 10 ? 30i 10i = = =1 ? 3i 3 ? i ? 3 ? i ?? 3 ? i ? 9 ?1

∴复数

10i 的实部为 1,虚部为 3。对应复平面上的点的坐标为(1,3)。故选 A。 3?i

例 14. i 是虚数单位,复数 (A) 1 ? i 【答案】C。

5 ? 3i ?【 4?i

】 (C) 1+i (D) ?1 ? i

(B) ?1+i

【考点】复数的四则运算。 【分析】由题意,可对此代数分子分母同乘以分母的共轭,整理即可得到正确选项: 因为

5 ? 3i (5 ? 3i )(4 ? i ) 17 ? 17i ? ? ? 1 ? i ,故选 C。 4?i (4 ? i )(4 ? i ) 17


例 15.复数 z 满足: ( z ? i )i ? 2 ? i ;则 z ? 【

( A) ?1 ? i
【答案】 B 。 【考点】复数的运算。

( B) 1 ? i

(C ) ??? ?i

( D) ?? ?i

【解析】根据复数的运算法则计算即可: ∵ ( z ? i )i ? 2 ? i ,∴ z ? i ? 例 16.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i 【答案】D。 【考点】复数的计算。

3 ? 4i ?【 i

2?i ? 1 ? i 。故选 B 。 i
】 C. 4 ? 3i D. 4 ? 3i

B. ?4 ? 3i

4

【解析】

3 + 4i 3i + 4i 2 3i - 4 = = = 4 - 3i 。故选 D。 i i2 - 1
】 C. 3+2i D. 5+2i

例 1 7.复数 (2+i ) 2 等于【 A. 3+4i 【答案】A。 【考点】复数乘法运算。 B. 5+4i

【解析】 (2+i ) 2 =4+4i +i 2 =3+4i 。故选 A。 例 18.复数

1 】 ?【 1? i 1 1 1 1 (A) (B) ? i ? i 2 2 2 2

(C)

1? i

(D) 1 ? i

【答案】A。 【考点】复数代数形式的运算。 【解析】

1 1? i 1? i 1 i ? ? ? ? 。故选 A。 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2
▲ .

例 19.若

3 ? bi ? a ? bi ( a, b 为实数, i 为虚数单位) ,则 a ? b =_ 1? i

【答案】3。 【考点】复数的计算,复数的相等的充要条件。 【解析】∵

3 ? bi ? a ? bi ,∴ 3 ? bi ? ? a ? bi ??1 ? i ? ? a ? b ? ? b ? a ? i 。 1? i

又∵ a, b 都为实数,∴由复数的相等的充要条件得 a ? b ? 3 。 例 20.已知复数 z ? (3 ? i ) 【答案】10 【考点】复数的运算、复数的模。 【解析】把复数化成标准的 a ? bi (a, b ? R ) 形式,利用 z ?
2 ∵ z ? (3 ? i ) = 9 ? 6i ? i 2 ? 8 ? 6i ,∴ z ? 8 ? 6 ? 10 。 2

( i 为 虚数单位),则 z =



.

a 2 ? b 2 即可求得:

2

2

二、共轭复数: 典型例题:例 1.复数 z=

?3 ? i 的共轭复数是【 2?i



5

(A)2+i 【答案】D。

(B)2-i

(C)-1+i

(D)-1-i

【考点】共轭复数的概念。 【解析】∵ z=

?3 ? i ? ?3 ? i ?? 2 ? i ? ?6 ? 3i ? 2i ? 1 = = = ?1 ? i , 2?i 4 ?1 5 ?3 ? i ∴ z= 的共轭复数是 ?1 ? i 。故选 D。 2?i
2

例 2.若复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 , 则 z 2 ? z 的虚部为【 A 0 B -1 C 1 D -2



【答案】A。 【考点】复数的基本运算。 【解析】∵ z ? 1 ? i ,∴ z 的共轭复数 z ? 1 ? i 。 ∴ z 2 ? z ? ?1 ? i ? ? ?1 ? i ? ? 0 。∴ z 2 ? z 的虚部为 0。故选 A。
2 2 2

2

i i ? 1) 例 3.复数 z ? ( ( i 为虚数单位)的共轭复数是【
A. ?1 ? i 【答案】A。 【考点】复数代数形式的四则运算,共轭复数定义。 B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i



i i ? 1) ? ?1 ? i ,根据共轭复数定义得 z ? ?1 ? i 。故选 A。 【解析】由 z ? (
例 4.若 1 ?

2 i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则
B. b ? ?2, c ? 3 C. b ? ?2, c ? ?1

▲ D. b ? 2, c ? ?1

A. b ? 2, c ? 3 【答案】B。

【考点】实系数方程的根的问题及 其性质、复数的代数形式的四则运算。 【解析】根据实系数方程的根的特点, 1 ? 2i 也是该方程的另一个根,所以

1 ? 2i ? 1 ? 2i ? 2 ? ?b ,即 b ? ?2 , (1 ? 2i )(1 ? 2i ) ? 3 ? c ,故选 B。
例 5.方程 x 2 +6 x +13=0 的一个根是【 A -3+2i 【答案】A。 【考点】复数范围内求一元二次方程的解。 B 3+2i C -2 + 3i 】 D 2 + 3i

6

【解析】 x 2 +6 x +13= ? x +3? +4=0 ? ? x +3? = ? 4 ? x +3= ? 2i ? x = ? 3 ? 2i ,故选 A。
2 2

7


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