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山东省苍山一中2013-2014学年高二数学上学期期中学分认定考试试题 理


苍山一中 2012 级高二上学期期中学分认定考试 数学试题(理) 2013.11

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的). 1.设 a ? R ,则 a ? 1 是 1 ? 1 的

a

( B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件



A.充分但不必要条件 C.充要条件

2.在 ?ABC 中,a ? 2 3 ,b ? 2 2 , B ? 45? ,则 A ? A. 30? B. 60? C. 30? 或 150 ? D. 60? 或 120 ?





3. 在等差数列 {a n } 中,2(a1 ? a 4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24, 则前 13 项之和等于 A.13 B.26 C.52 4.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;
2





D.156

③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为 A.①② B.②③ C.①③ D.③④

( )



5. 已知点 A (2, 与 B (?1, 2) 在直线 ax ? 2 y ? a ? 0 的两侧, 3) 则实数 a 的取值范围是 ( A. ?a | a ? 2? C. ?a | a ? 2或a ? ?6? B. ?a | a ? ?6? D. ?a | ?6 ? a ? 2?

6. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?a n ? 中 , 且 a 2 ? 1 ? a1 , a 4 ? 9 ? a3 , 则 a 4 ? a 5 等 于 ( A.16 ) B.27 C.36 D.-27 )

7. 若△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3

2 8.若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是



) A. (?2,2] B. [?2,2] C. (2,??) D. (??,2]

9. x>0, y>0,且 x+ y ? 4,则下列不等式中恒成立的是 若





A.

1 1 ? x? y 4

B.

1 1 ? ?1 x y

C. xy ? 2

D.

1 ?1 xy

10.已知数列{ a n }满足 则 ( ) A.-5

(log3 an ) ? 1 ? log3 an?1 ( n ∈N*)且 a 2 ? a 4 ? a 6 ? 9
的 值 是

log1 (a5 ? a7 ? a9 )
3

1 B.- 5

C.5

1 D. 5

11.在 ? ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sinA=2sinBcosC, 则Δ ABC 的形状是 ( ) A.直角三角形 C.等腰三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三角形

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12. x, 满足条件 ?3 x ? y ? 6 ? 0, 若目标函数z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12, 设 y ? x ? 0, y ? 0 ?

3 2 ? 的最小值为 a b 8 25 A. B. 3 6

2

( C.

)

11 3
2

D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.已知不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为(2,3) ,则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为 ___________________. 14.已则知数列 ?a n ?的前 n 项和 s n ? 3 n ? 2 ,则 a n ? ________________ 15.某船开始看见灯塔在南偏东 30 ? 方向,后来船沿南偏东 60 ? 的方向航行 45km 后,看见 灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 .

16.在直角坐标系中,若不等式组

表示一个三角形区域,则实数 k 的取值

范围是 _________ .

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 17、 (本小题满分 12 分)

已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 a3 ? 10 , S 6 ? 72 ,bn= (1)求通项 an ; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最小值.

1 an -30. 2

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 (1)求角 A ; (2)已知 a ?
sin( A ? B) 2c . ? cos A sin B b

7 , bc ? 6 ,求 b ? c 的值. 2

19、 (本小题满分 12 分) 已知等比数列 (1)求数列

{an }

的各项均为正数,且

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6



{an }

的通项公式.

1 { } b ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an b (2)设 n ,求数列 n 的前 n 项和.
20、 (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,sin B(tan A ? tan C) ? tan A tan C . (1)求证: a, b, c 成等比数列; (2)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.
N

P

21、 (本小题满分 12 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 D
C

AMPN ,要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN
过点 C ,已知 AB ? 3 米, AD ? 2 米.
A B M

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

22、 (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Sn ? 2an ? 3n ( n ? N * ) . (1)证明数列 {an ? 3} 是等比数列,求出数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 3

(3)数列 {an } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出一组符合条件 的项;若不存在,说明理由.

苍山一中 2012 级高二上学期期中学分认定考试 数学试题(理)答案 2013.11 一、选择题 1-------------5 ADBCC 6-----------------10 BAABA 11------12 DD 二、填空题 13、 ? ,? ),14、 a n ? ? ( 三、解答题
1 2 1 3
?5, n ? 1 ? , ?2 ? 3 n ?1 , n ? 2 ?

15、15 3 km , 16、 (﹣1,1)

-----------------------------6 分

---------------------12 分 18.解: (1)?

sin ? A ? B ? cos A sin B

?

2sin C 1 , 在 ?ABC 中, sin ? A ? B ? ? sin C ? 0,? cos A ? . sin B 2
.........6 分
2

? A ? ? 0, ? ? ,? A ?
2

?
3
2

.

(2)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A, 又a ? 则

.........8 分

7 1 , bc ? 6, cos A ? , 2 2
.........10 分 .........12 分

49 2 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc ? ? b ? c ? ? 18, 4 11 解得: b ? c ? . 2
19、解: (Ⅰ)设数列{ a n }的公比为 q,由 由条件可知 c>0,故 q ?
2 a3 ? 9a2 a6



3 2 a3 ? 9a4

q2 ?
所以

1 9.

1 .?????????????????2 分 3 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? .???????????????4 分 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n .?????????????????6 分 3
(Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n)
?????????????????10 分 n(n ? 1) 2 1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) 故 bn n(n ? 1) n n ?1

??

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 } 的前 n 项和为 ? 2n ?????????????????12 分 bn n ?1

20.解:解:(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos Asin C) ? sin Asin C ,

sin B sin( A ? C) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

--------------------- 3 分

再由正弦定理可得: b2 ? ac , 所以 a, b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ? ------------------------------6 分

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

--------------------------- 9 分

sin C ? 1 ? cos2 C ?

1 1 7 7 ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 2 2 4 4

------------- 12 分

21.解:21. 解:设 DN 的长为 x(x >0) 米,则 AN =(x +2) 米,

?

DN AN

?

DC AM

? AM ?

3(x +2) x
???????3 分

? S AMPN ? AN ? AM ?
2

3( x ? 2) 2 x

3(x +2) >32 由 S AMPN >32 得 x
又 x >0 得 3x -20 x+12>0 解得: 0<x <
2

2 或 x >6 3
? ? 2? 3?
???????6 分

即 DN 的长的取值范围是 ? 0, ? ? ? 6,+? ? (2)矩形花坛的面积为:

3(x +2) 3x 2 +12 x +12 12 y= = =3x + +12(x >0) x x x
? 2 3x ? 12 +12=24 x
???????11 分

2

当且仅当 3 x =

12 即 x =2 时,矩形花坛的面积最小为 24 平方米. ???????12 分 x

22 解: (Ⅰ)因为 Sn ? 2an ? 3n ,所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 3(n ? 1) ,

则 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ? 3 ,所以 an ?1 ? 2an ? 3 , 所以数列 {an ? 3} 是等比数列,????3 分

an ?1 ? 3 ? 2, an ? 3

a1 ? S1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 , an ? 3 ? 6 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ,
所以 an ? 3 ? 2 ? 3 .??????5 分
n

(Ⅱ) bn ?

n an ? n ? 2n ? n ,????6 分 3

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ,
2 3 n 令 Tn? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,①

2Tn? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ,②
①-②得, ?Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
/ 2 n n ?1

? ?2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ,

Tn? ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 ,????9 分
所以 Tn ? (n ? 1) ? 2
n ?1

1 ? 2 ? n(n ? 1) .????10 分 2

* (Ⅲ) 设存在 s, p, r ? N , s ? p ? , 且 则 r 使得 as , a p , ar 成等差数列, 2a p ? as ? ar ,

即 2(3 ? 2 ? 3) ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ,????12 分
p s r

即2

p ?1

? 2s ? 2r , 2 p?s ?1 ? 1 ? 2r ?s ,因为 2 p ? s ?1 为偶数, 1 ? 2r ?s 为奇数, ? 2s ? 2r 不成立,故不存在满足条件的三项.?? 14 分

所以 2

p ?1


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