伤城文章网 > 数学 > 15[1].4.1圆与圆的位置关系(2).讲义学生版

15[1].4.1圆与圆的位置关系(2).讲义学生版


圆与圆的位置关系(2)

中考要求
板块 圆与圆的位 置关系 A 级要求
了解圆与圆的位置关系

考试要求 B 级要求
能利用圆与圆的位置关系解决简单问题

C 级要求

例题精讲
一、圆与圆位置关系的性质
【例1】 如图, 正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上一点, 以 E 为圆心.EC 为半径的半圆与以 A 为圆心,AB sin ? EAB 为半径的圆弧外切,则 的值为 .
D C E

A

B

【巩固】 如图,?ABC 是正三角形, 点 C 在矩形 ABDE 的边 DE 上,?ABC 的内切圆半径是 1 . 则矩形 ABDE 的外接圆直径是 .
E C D

A 图3

B

【例2】 在直线的同侧画三个圆:切于直线的一圆半径为 4 ,另两圆相等,且各切于直线及其它两圆,则 两等圆的半径为__________.

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 1 of 11

【巩固】设 ⊙O1 和 ⊙O2 是同一平面上两个相切的半径为 1 的圆,在这个平面上同时与 ⊙O1 和 ⊙O2 相切的半 径为 3 的圆的个数是_____________.

【例3】 如图, PQ ? 3 ,以 PQ 为直径的圆与一个以 5 为半径的圆相切于点 P ,正方形 ABCD 的顶点 A 、 . B 在大圆上,小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q .则 AB ?
D P C Q B A

【巩固】如图, PQ ? 10 ,以 PQ 为直径的圆与一个以 20 为半径的圆相切于点 P ,正方形 ABCD 的顶点 A 、
B ? m ?n 小圆在正方形的外部且与 CD 切于 Q , 若A B 在大圆上, 的值.

, 其中,m ,n 是正数, 求m?n

D

A Q

P C

B

⊙B、 ⊙ C 的半径分 【例4】 如图,已知圆心为 A、 B、 C 的三个圆彼此相切,且均与直线 l 相切.若 ⊙A 、 别为 a、b、c ? 0 ? c ? a ? b ? ,则 a、b、c 一定满足的关系式为 ( )

A. 2b ? a ? c 1 1 1 C. ? ? c a b

B. b ? a ? c 1 1 1 D. ? ? c a b

B A C l

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 2 of 11

【巩固】如图, P 为半圆弧上任意一点,圆⊙ O1 、⊙ O2 都与 ?ABP 的一边和半圆相切的最大圆,⊙ O3 是

?ABP 的内切圆,其中⊙ O1 、⊙ O2 、⊙ O3 和半圆的半径分别 r1 、 r2 、 r3 、 R , r1 ? 2 , r2 ? 1 , 则 r3 为 .
P O1 O3

O2 B

A

【例5】 某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为 5cm 的钢 球,测得上面一个钢球顶部高 DC ? 16 cm (钢管的轴截面如图所示) ,则钢管的内直径 AD 的长 为________ cm .
A D

B

C

【巩固】如图,矩形内放置 8 个半径为 1 的圆,其中相邻两个圆都相切,并且左上角和右下角的两个圆和 矩形的一边相切,则该矩形的面积为 .

【例6】 如图, PQ、PO1、O1Q 分别是以 O1、O2、O3 为圆心的半圆 C1、C2、C3 的直径,圆 C4 内切于半圆 C1 及外切于半圆 C2、C3 .若 PQ ? 24 ,求圆 C4 的面积.
C1 C2 P O2 O1 O4 C4 C3 O3 Q

【巩固】 如图, 大圆 ⊙O 的直径 AB ? a cm , 分别以 OA、OB 为直径作 ⊙O1 和 ⊙O2 , 并在 ⊙O 与 ⊙O1 和 ⊙O2 的空隙间作两个等圆 ⊙O3 和 ⊙O4 ,这些圆互相内切或外切,则四边形 O1O4O2O3 的面积为 ___________ cm 2 .
O3 A B

O1

O O4

O2

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 3 of 11

【例7】 已知 A 为 ⊙O 上一点, B 为 ⊙ A 与 OA 的交点, ⊙ A 与 ⊙O 的半径分别为 r、R ,且 r ? R . (1)如图 1,过点 B 作 ⊙ A 的切线与 ⊙O 交于 M 、N 两点.求证: AM ? AN ? 2 Rr ; (2)如图 2,若 ⊙ A 与 ⊙O 的交点为 E、F , C 是 EBF 上任意一点,过点 C 作 ⊙ A 的切线与 ⊙O 交于 P、Q 两点,试问 AP ? AQ ? 2Rr 是否成立?并证明你的结论.
M

P E C O B F Q 图2 A

O B N 图1

A

【巩固】如图, ?CAB ? ?ABD ? 90? ,AB ? AC ? BD , AD 交 BC 于 P ,作 ⊙ P 使其与 AB 相切.试判断以 AB 为直径的 ⊙O 与 ⊙ P 的位置关系,并加以证明.
D

C A

P O B

【例8】 两个圆相交于点 A 和 B ,由点 A 作两个圆的切线,分别与两个圆相交于点 M 和 N .直线 BM 和 BN 分别与两个圆交于另外两点 P 和 Q ( P 在 BM 上, Q 在 BN 上) .求证: MP ? NQ .
P A Q B N

M

【巩固】 如图, O1 , O2 交于 A ,B 两点, 直线 MN 垂直于 AB 于点 A , 分别与 O1 , O2 交于点 N ,M ,
15.4.1 圆与圆的位置关系(2) 讲义·学生版 Page 4 of 11

P 为 MN 中点, ?AO1Q1 ? ?AO2Q2 ,求证: PQ1 ? PQ2 .
N Q1 O1 B P A O2 Q2 M

【例9】 半径为 R 的两圆之一过平行四边形 ABCD 的顶点 A 和 B ,而另一圆过顶点 D 和 C ,点 M 是两圆 除 B 外的另一个交点,求证: ?AMD 的外接圆半径长也为 R .
M

O1 B A D

O2 C

【巩固】如图,已知 ?ABC 的高 AD .求证:⊙O 、BE 交于 H , ?ABC、?ABH 的外接圆分别为 ⊙O 和 ⊙O′ 与 ⊙O′ 的半径相等.
A O' O H B D E C

1 【例10】 如图, △ ABC 的三边满足关系 BC ? ( AB ? AC ) , O 、 I 分别为 ?ABC 的外心、内心, ?BAC 的 2 外角平分线交⊙ O 于 E , AI 的延长线交⊙ O 于 D , DE 交 BC 于 H ;求证: (1) ED 是⊙ O 的直
15.4.1 圆与圆的位置关系(2) 讲义·学生版 Page 5 of 11

径; (2) AI ? BD ; (3) OI ?

1 AE . 2
E A

O B H D

I C

【巩固】在 ?ABC 中, AB ? AC ,圆 O1 与 ?ABC 的外接圆内切于 D ,与 AB 、 AC 分别相切于 P 、 Q .求 证: PQ 的中点 O 是 ?ABC 的内切圆圆心.
A

P B

O O1 D

Q C

【例11】 已知圆 O1 、 O2 外切于 P ,过圆 O1 上一点 A 作圆 O2 的切线 AC ,交圆 O1 于 B , C 为切点.求证: PA AC . ? PB BC
A B C

O1

O2

【巩固】两圆交于 A ,B ,过 A 任作直线 PAQ ,求证:

BP 为定值. BQ

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 6 of 11

P A O B O' Q

【例12】 A 是 O 上一点, O 的半径为 R ,以 A 为圆心,r 为半径 (r ? R) 作圆,设 O 的弦 PQ 与 于点 M ,求证:不论 PQ 的位置如何, PA ? QA 为定值.
P

A切

O A M Q

【巩固】过定圆的圆心 O 作 A ,设 A 与 O 的一个交点为 B ,过 B 作 点 D ,求证 BD ? BC 为定值.

A 的直径 BC , BC 与 O 交于

B D O A

C

B 两点, BC 为圆 D 的切线,点 C 在圆 O 上,且 AB ? BC . 【例13】 如图,圆 O 与圆 D 相交于 A, (1)证明:点 O 在圆 D 的圆周上. (2)设 ?ABC 的面积为 S ,求圆 D 的半径 r 的最小值.
15.4.1 圆与圆的位置关系(2) 讲义·学生版 Page 7 of 11

A O D B

C

【巩固】如图 1, ⊙O1 和 ⊙O2 都是半径为 4 的等圆, O1O2 ? 14 , A ,B 为 ⊙O1 上两点,且 ?AO1 B ? 90? ,
C ,D O1B 的半径 O2 D , O2C , 过 O2 分别作平行于 O1 A , 连接 AD ,BC , 当 A ,B 在 ⊙O1 上运动时, 也随之运动,问:四边形 ABCD 的周长是否是定值,如果是定值,请求出这个定值,如果不是定 值则是否存在最大值或最小值,如果有求出这个最值.
A D O2 B 图1 C

O1

【例14】 如图所示,过 ⊙O 上的一点 C 作直径 AB 的垂线,垂足为 D ,⊙O ' 切 AB 于点 E ,切 CD 于点 F , 内切半圆 O 于点 G ,证明: AC ? AE .
C F A G O' B

D OE

【例15】 如图,已知 ⊙O1 和 ⊙O2 外切于点 O ,以直线 O1O2 为 x 轴,点 O 为坐标原点建立直角坐标系,直 线 AB 切 ⊙O1 于点 B ,切 ⊙O2 于点 A ,交 y 轴于点 C ( 0, 2 ),交 x 轴于 M ,BO 的延长线交 ⊙O2 于 ∶ 3. 点 D ,且 OB∶OD ? 1
15.4.1 圆与圆的位置关系(2) 讲义·学生版 Page 8 of 11

(1)求 ⊙O2 的半径长; (2)求直线 AB 的解析式; (3)在直线 AB 上是否存在点 P ,使 ?MO2 P 与 ?MBO 相似?求出点 P 坐标;若不能说明理由.
y A B M O1 C O O2 D x

课后作业
1.

25 7 ,点 D 在 AB 上, OD ? , CD ? AB , CD 交半 4 4 圆 O ' 于 D .那么与半圆相切,且与 BC , CD 相切的 ⊙O ' 的半径长为 .
如图,已知半圆 O 的直径为 AB ,半径长为
C O' A O D B

2.

小强师傅要在长为 25 cm , 宽为 18 cm 的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆. 他先 画出草图(如图) ,但他在求小圆半径时遇到了困难,请你帮助小强师傅计算出这两个小圆的半 径.
O1 O O2

3.

把两个半径为 5 和一个半径为 8 的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要用一个大圆形纸 片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于________.

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 9 of 11

O1 O O2 A O3

4.

已知多边形 ABDEC 是由边长为 2 的等边三角形 ABC 和正方形 BDEC 组成,一圆过 A 、D 、E 三 点,求该圆半径的长.
A 2 B 2 D E C

5.

如图 ( 1) , 两半径为 r 的等圆 ⊙O1 和 ⊙O2 相交于 M ,N 两点, 且 ⊙O2 过点 O1 . 过 M 点作直线 AB 垂直于 MN ,分别交 ⊙O1 和 ⊙O2 于 A ,B 两点,连结 NA ,NB . (1)猜想点 O2 与

O1 有什么位置关系,并给出证明;

(2)猜想 ?NAB 的形状,并给出证明; (3)如图(2) ,若过 M 的点所在的直线 AB 不垂直于 MN ,且点 A ,B 在点 M 的两侧,那么⑵ 中的结论是否成立,若成立请给出证明.
N O1 A M 图1 O2 B

N O1 A M 图2 O2 B

6.

设圆 O 、圆 P 外切于 A ,外公切线 BC 分别切两圆于 B 、 C , BC 与 OP 的交点为 Q ,过 Q 引 MN ? BC 交 BA 、 AC 于 S 、 R ,

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 10 of 11

求证: QS ? QR .
B C O A P Q N R

M S

15.4.1 圆与圆的位置关系(2)

讲义·学生版

Page 11 of 11


搜索更多“15[1].4.1圆与圆的位置关系(2).讲义学生版”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com