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重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学)56几何概率(教师版)


重庆市育才中学高 2014 级一轮复习案

56 几何概型

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一、学习内容:必修第五册 P127~133 二、课标要求:
1.了解几何概型的意义. 2.了解日常生活中的几何概型.

三、基础知识
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为 2.概率计算 几何概型中事件 A 的概率计算公式 P(A)=____________________________________________. 3.几何概型的基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有___________; (2)等可能性:每个结果的发生具有_____________. 4.两点注意 (1)事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积和体积)成正比,而与 A 的位置和形 状无关. (2)求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量,然后代入公 式即可求解. 四、典型例题分析
1. (2013 年高考陕西卷(理) )如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信

( .



)成比例,

号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正 常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率是 .

D

F

C

1 E A 2 B
( ) A. 1 ?

?
4

B.

?
2

?1

C. 2 ?

?
2

D.

?
4

【答案】A

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2. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )利用计算机产生 0~1 之间的

均匀随机数 a,则时间“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为________
【答案】

2 3

3. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )在区间

? ?3,3? 上随机取一个数

x ,使得 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 成立的概率为______.
【答案】

1 3
) 3 A. 5 4 B. 5 2 C. 5 1 D. 5

4.某路公共汽车每 5 分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过 3 分钟 的概率是( 答案 A

解析 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点,设 A={某乘客候车时间不超过 3 分

区间[2,5]的长度 3 钟},则 P(A)= = . 区间[0,5]的长度 5 5.两人约定在 20:00 到 21:00 之间相见,并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去,如果两人 出发是各自独立的,在 20:00 至 21:00 各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见 的概率. 2 【思路】 两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟,即 小时.设两人分别于 x 时和 y 时到达约 3 2 2 见地点,要使两人在约定的时间范围内相见,当且仅当- ≤x-y≤ ,因此转化成面积问题,利用 3 3 几何概型求解. 8 【答案】 【解析】 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内 9 2 2 相见,当且仅当- ≤x-y≤ . 3 3 两人到达约见地点所有时刻(x, y)的各种可能结果可用图中的单位正方 形内(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 (x,y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示. 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内 1 1-? ?2 3 8 相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为 P= = = . 12 9 S单位正方形 S阴影
6、 (2013 年四川(理) )节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接

通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时 通 电 后 , 它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是 ( )

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A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

7 8

【答案】C

五、基础练习 1.取一根长度为 6 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段绳子的长都不小于 2 m 的概率 是________.答案 1 3 解析 设截得的一段绳子长度为 x,则另一段绳子长度为 6-x,两段均不

?x≥2, ? 4-2 1 小于 2,即? 因此 2≤x≤4.故所求的概率为 P= = . 6 3 ?6-x≥2, ?

2.(2011· 福建理)如图, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 CD 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( 1 A. 4 答案 C 1 B. 3 解析 1 C. 2 2 D. 3 )

点 E 为边 CD 的中点,故所求的概率 P =

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△ABE的面积 1 = ,故选 C. 矩形ABCD的面积 2 3.(2011· 山东潍坊质检)一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终 保持与正方体 6 个面的距离均大于 1, 称其为“安全飞行”, 则蜜蜂“安全飞行”的概率为________. 答案 1 27 解析 一个棱长为 3 的正方体由 27 个单位正方体组成,由题意知,蜜蜂“安全飞

1 行”的区域即为 27 个单位正方体中最中心的 1 个单位正方体区域,则所求概率 P= . 27 4.在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接的等边 三角形边长的概率是________. 【答案】 1 2 【解析】 记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”, 如图,不妨在

过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦,当 弦为 CD 时,就是等边三角形的边长,弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦 1 ×2 2 1 1 的距离小于 OF,而 OF=OC· sin30° = ,由几何概型公式得:P(A)= = . 2 2 2

?x+y- 5.(1)(2012· 滨州一模)在区域?x-y+ ?y≥0
概率为( ) π A. 2 D π B. 8 【解析】 π 2 π C. 6 【答案】

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的

π D. 4

区域为△ABC 内部(含边界),则

S半圆 π 概率为 P= = = ,故选 D. 4 S△ABC 1 ×2 2× 2 2 6.在区间(0,1)上随机抽取两个数 m、n,求关于 x 的一元二次方程 x2- nx+m=0 有实根的概率. 1 【答案】 【解析】 如图所示,在平面直角坐标系中,以 m、n 分别表示横、纵坐标,因为 8 m、n 是(0,1)内的任意值,与图中正方形内的点一一对应.即正方形内的所有点构成全部试验结果的 区域.设事件 A 表示方程 x2- nx+m=0 有实根,则事件 n-4m≥0? ?? ? ? ? ? A=??m、n? ?0<m<1 ? ?? ??0<n<1 ? ? ?

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S阴影 1 1 所对应的区域为图中的阴影部分,面积为 .∴由几何概型 P(A)= = . 8 S正方形 8 1 ∴一元二次方程 x2- nx+m=0 有实根的概率为 . 8 7. (2011· 晋城市高三 3 月模拟)有一个底面半径为 1, 高为 2 的圆柱, 点 O 为这个圆柱底面圆的圆心, 在这个圆柱内随机抽取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 【答案】 2 3 1 4 2 【解析】 圆柱的体积 V 柱=πR2h=2π,半球的体积 V 半球= × πR3= π. 2 3 3

1 1 2 ∴圆柱内一点 P 到点 O 的距离小于等于 1 的概率为 .∴点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- = . 3 3 3 8.【2012 高考真题辽宁理 10】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于 线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm2, 由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为 选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力, 属于中档题。 9.【2012 高考真题湖北理 8】如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两 个半圆. 在扇形 OAB

2 ,故 3

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. 1 ?

2 π

2 π 【答案】A
C.

1 1 ? 2 π 1 D. π
B.

【解析】 令 OA ? 1 , 扇形 OAB 为对称图形, ACBD 围成面积为 S1 ,

围成

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OC 为 S2 ,作对称轴 OD,则过 C 点。 S2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积,

S S 1 ?1? 1 1 1 ? ?2 。在扇形 OAD 中 1 为扇形面积减去三角形 OAC 面积和 2 , S2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 2 2 2 8

2

? ?2 1 S1 1 1 S ? ?2 2 ? ? ?1? ? ? 2 ? , S1 ? S 2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? ? ,选 A. 4 4 2 8 8 2 16
10.已知等腰 Rt△ABC 中,∠C=90° .(1)在线段 BC 上任取一点 M,求使∠CAM<30° 的概率; (2)在∠CAB 内任作射线 AM,求使∠CAM<30° 的概率. 【解析】 (1)设 CM=x, 则 0<x<a, (不妨设 BC=a). 若∠CAM<30° , 则 0<x< 3 区间?0, a?的长度 3 3 的概率为 P(A)= = . 3 区间?0,a?的长度 ?0° ,30° ?的长度 2 (2)设∠CAM=θ,则 0° <θ<45° .故∠CAM<30° 的概率为 P(B)= = . ?0° ,45° ?的长度 3 3 a, 故∠CAM<30° 3


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