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新高中数学第二章平面向量2-3-1平面向量基本定理学案新人教A版必修4


新高中数学第二章平面向量 2-3-1 平面向量基本定理学案新人教 A 版 必修 4 平面向量基本定理

1.了解基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.(重 点) 2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点)

[基础·初探] 教材整理 1 平面向量基本定理 阅读教材 P93 至 P94 第六行以上内容,完成下列问题. 1.定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量

a,有且只有一对实数 λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.
2.基底:不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( )

(2)若 e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,则 λ 1e1+λ 2e2(λ 1,λ 2 为实数)可以表示该 平面内所有向量.( ) )

(3)若 ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则 a=c,b=d.( (4)基底向量可以是零向量.( )

【解析】 (1)错误.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向 量的基底. (2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e1,e2 线性表示. (3)错误.当 e1 与 e2 共线时,结论不一定成立. (4)基底向量是不共线的,一定是非零向量. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×

教材整理 2 两向量的夹角与垂直 阅读教材 P94 第六行以下至例 1 内容,完成下列问题. 1/9

→ → 1.夹角:已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的 夹角(如图 2?3?1 所示).

图 2?3?1 (1)范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是 0°≤θ ≤180°. (2)当 θ =0°时,a 与 b 同向;当 θ =180°时,a 与 b 反向. 2.垂直:如果 a 与 b 的夹角是 90°, 我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.

→ → → → 如图 2?3?2,在△ABC 中,AC,AB的夹角与CA,AB的夹角的关系为________.

图 2?3?2 → → → → 【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB,AC的夹角为∠BAC,而向量CA,AB夹角为 π -∠BAC.故二者互补. 【答案】 互补

[小组合作型]

用基底表示向量

→ → → (1)已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的中线,若AB=a,AC=b,则AD=( 1 A. (a-b) 2 1 C.- (a+b) 2 1 B.- (a-b) 2 1 D. (a+b) 2

)

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→ → → (2)如图 2?3?3,设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,若OA=a,OB=b,则OP=________, →

OQ=________.(用 a,b 表示)

图 2?3?3 【精彩点拨】 用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行 四边形法则. 【自主解答】 (1)如图所示,

→ → → → 因为AE=AB+AC=2AD, → 1 所以AD= (a+b). 2 → → → 1→ → (2)OP=AP-AO= AB+OA 3 1 → → → = (OB-OA)+OA 3 2→ 1→ 2 1 = OA+ OB= a+ b, 3 3 3 3 →

OQ=AQ-AO= AB+OA= (OB-OA)+OA
1→ 2→ 1 2 = OA+ OB= a+ b. 3 3 3 3 2 1 【答案】 (1)D (2) a+ b 3 3 1 2 a+ b 3 3

→ →

2→ → 2 → 3 3





平面向量基本定理的作用以及注意点: (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质 上主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形, 利用已知向量表示未知向量, 或找 到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量. 3/9

[再练一题] → → 1.已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB=a,AC=b,用 a,b 表 → → → 示AD,AE,AF.

图 2?3?4 → → → → 1→ 【解】 AD=AB+BD=AB+ BC 2 1 1 1 =a+ (b-a)= a+ b; 2 2 2 → →

AE=AB+BE=AB+ (b-a)= a+ b; AF=AB+BF=AB+ BC=a+ (b-a)= a+ b.
→ → → 2→ 3 2 3 1 3 2 3

→ → →

1 3

2 3

1 3

向量的夹角问题 (1)已知向量 a,b,c 满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则 a,b 的夹角等 于________. (2)若 a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角. 【精彩点拨】 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决.

→ → → 【自主解答】 (1)作BC=a,CA=b,则 c=a+b=BA(如图所示), 则 a,b 夹角为 180°-∠C. ∵|a|=1,|b|=2,c⊥a, ∴∠C=60°, ∴a,b 的夹角为 120°. 【答案】 120° (2)由向量运算的几何意义知 a+b,a-b 是以 a,b 为邻边的平行四边形两条对角线. 如图,∵|a|=|b|=|a-b|, 4/9

∴∠BOA=60°. → 又∵OC=a+b,且在菱形 OACB 中,对角线 OC 平分∠BOA, ∴a 与 a+b 的夹角是 30°.

两向量夹角的实质与求解方法: (1)两向量夹角的实质: 从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角, 结合平 面几何知识加以解决. (2)求解方法:利用平移的方法使两个向量起点重合,作出两个向量的夹角,按照“一作 二证三算”的步骤求出.

[再练一题] 2.已知|a|=|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 60°,则 a+b 与 a 的夹角是________,a-b 与 a 的夹角是________. 【导学号:00680045】 → → 【解析】 如图所示,作OA=a,OB=b,则∠AOB=60°,以 OA,OB 为邻边作?OACB, → → → → → → → → 则OC=OA+OB=a+b,BA=OA-OB=a-b,BC=OA=a.因为|a|=|b|=2,所以△OAB 为正三 角形,所以∠OAB=60°=∠ABC,即 a-b 与 a 的夹角为 60°.因为|a|=|b|,所以平行四边 形 OACB 为菱形,所以 OC⊥AB,所以∠COA=90°-60°=30°,即 a+b 与 a 的夹角为 30°.

【答案】 30° 60° [探究共研型]

平面向量基本定理的综合应用 探究 1 若存在实数 λ 1,λ 2,μ 1,μ 2 及不共线的向量 e1,e2,使向量 a=λ 1e1+λ 2e2,

a=μ 1e1+μ 2e2,则 λ 1,λ 2,μ 1,μ 2 有怎样的大小关系?
【提示】 由题意 λ 1e1+λ 2e2=μ 1e1+μ 2e2,即(λ 1-μ 1)e1=(λ 2-μ 2)e2,由于 e1,

e2 不共线,故 λ 1=μ 1,λ 2=μ 2.
→ → → 探究 2 在向量等式OP=xOA+yOB中,若 x+y=1,则三点 P,A,B 具有什么样的位置关 5/9

系? → → → 【提示】 三点 P,A,B 在同一直线上.在向量等式OP=xOA+yOB中,若 x+y=1,则 P,

A,B 三点共线;若 P,A,B 三点共线,则 x+y=1.
→ → 如图 2?3?5 所示,在△OAB 中,OA=a,OB=b,点 M 是 AB 的靠近 B 的一个三等 → 分点, 点 N 是 OA 的靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P, 求OP.【导学号: 70512030】

图 2?3?5 → → → → → → → → 【精彩点拨】 可利用OP=tOM及OP=ON+NP=ON+sNB两种形式来表示OP,并都转化为 → 以 a,b 为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得 s,t,进而求得OP. → → → → 2→ 【自主解答】 OM=OA+A M =OA+ AB 3 1 2 → 2 → → =OA+ (OB-OA)= a+ b. 3 3 3 → → 因为OP与OM共线, 2t → → t 故可设OP=tOM= a+ b. 3 3 → → → → → → → 3→ → → 3 又NP与NB共线,可设NP=sNB,OP=ON+sNB= OA+s(OB-ON)= (1-s)a+sb, 4 4 3 ? ?4 -s 所以? 2 ? ?s=3t, = , 3

t

9 ? ?t=10, 解得? 3 ? ?s=5,

2 → 3 所以OP= a+ b. 10 5

1.任意一向量基底表示的唯一性的理解: 条件一 条件二 结论 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1,e2

a=λ 1e1+μ 1e2 且 a=λ 2e1+μ 2e2
?λ 1=λ 2, ? ? ?μ 1=μ 2 ?

2.任意一向量基底表示的唯一性的应用: 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量 e1, 6/9

e2 的线性组合 λ 1e1+λ 2e2.在具体求 λ 1,λ 2 时有两种方法:
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理. (2)利用待定系数法,即利用定理中 λ 1,λ 2 的唯一性列方程组求解.

[再练一题] → 1→ 3.如图 2?3?6 所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且AN= NC,BN 与 CM 相交于 E,设 2 →

AB=a,AC=b,试用基底 a,b 表示向量AE.





图 2?3?6 → 1→ 1 → 1→ 1 【解】 易得AN= AC= b,AM= AB= a, 3 3 2 2 由 N,E,B 三点共线,设存在实数 m, → → → 1 满足AE=mAN+(1-m)AB= mb+(1-m)a. 3 → → → 1 由 C,E,M 三点共线,设存在实数 n 满足:AE=nAM+(1-n)AC= na+(1-n)b. 2 1 1 所以 mb+(1-m)a= na+(1-n)b, 3 2 1 ? ?1-m=2n, 由于 a,b 为基底,所以? 1 ?3m=1-n, ? 3 m= , ? ? 5 解之得? 4 n= , ? ? 5 → 2 1 所以AE= a+ b. 5 5

1.已知平行四边形 ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是( 7/9

)

→ → A.AB,DC → → C.BC,CB

→ → B.AD,BC → → D.AB,DA

→ → 【解析】 由于AB,DA不共线,所以是一组基底. 【答案】 D 2.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1,e2 不共线,则 a+b 与 c=6e1-2e2 的关系 是( ) A.不共线 C.相等 【解析】 ∵a+b=3e1-e2, ∴c=2(a+b), ∴a+b 与 c 共线. 【答案】 B → → → 3.如图 2?3?7,在矩形 ABCD 中,若BC=5e1,DC=3e2,则OC=( ) B.共线 D.不确定

图 2?3?7 1 A. (5e1+3e2) 2 1 C. (3e2-5e1) 2 → 1→ 1 → → 【解析】 OC= AC= (BC+AB) 2 2 1 → → 1 = (BC+DC)= (5e1+3e2). 2 2 【答案】 A 4.在锐角△ABC 中,下列说法正确的是( → → A.AB与BC的夹角是锐角 → → B.AB与AC的夹角是锐角 → → C.AC与BC的夹角是钝角 → → D.AC与CB的夹角是锐角 → → → → → 【解析】 由两向量夹角定义知,AB与BC的夹角是 180°-∠B,AB与AC的夹角是∠A, AC ) 1 B. (5e1-3e2) 2 1 D. (5e2-3e1) 2

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→ → → 与BC的夹角是∠C,AC与CB的夹角是 180°-∠C,只有 B 正确. 【答案】 B 5.已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2, 试用向量 a 和 b 表示 c. 【解】 ∵a,b 不共线, ∴可设 c=xa+yb, 则 xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2) =(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2. 又∵e1,e2 不共线,
? ?3x-2y=7, ∴? ?-2x+y=-4, ?

解得?

? ?x=1, ?y=-2, ?

∴c=a-2b.

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