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基本初等函数(整理)


1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数

1 函数

(? 是常数) 叫做幂函数。

2 幂函数的定义域,要看? 是什么数而定。 但不论? 取什么值,幂函数在(0,+ ? )内总有定义。 3 最常见的幂函数图象如下图所示:[如图]

4 2

-5 -2

5

10

15

-4

-6

-8

4①? >0 时,图像都过(0,0)、(1,1)点,在区间(0,+∞)上是增函数;

注意? >1 与 0<? <1 的图像与性质的区别.

-10

②? <0 时,图像都过(1,1)点,在区间(0,+∞)上是减函数;在第一象限内,图像向

上无限接近 y 轴,向右无限接近 x 轴.

③当 x>1 时,指数大的图像在上方.

1.1.2 指数函数与对数函数

1.指数函数

2.1 函数

(a 是常数且 a>0,a? 1)叫做指数函数,它的定义域是区间(-? ,+? )。

2 因为对于任何实数值 x,总有

,又

,所以指数函数的图形,总在 x 轴的上方,

且通过点(0,1)。

若 a>1,指数函数 是单调增加的。若 0<a<1,指数函数 是单调减少的。

a>1

0<a<1

图 象

(1)定义域:R



(2)值域:(0,+∞)



(3)过点(0,1)

(4)在 R 上增函数

有理指数幂的意义、幂的运算法则:

(4)在 R 上减函数

① am ? an ? am?n ;② (am )n ? amn ;③ (ab)n ? anbn (这时 m,n 是有理数)

1
分数指数幂: a n

m
? n a,a n

? n am , a?n ?

1

?m
,a n

?

1



an

n am

2.对数函数

由此可知

,今后常用关系式



指数函数

的反函数,记作

它的定义域是区间(0,+? )。

(a 是常数且 a>0,? a1),叫做对数函数。

对数函数的图形与指数函数的图形关于直线 y = x 对称(图 1-22)。

的图形总在 y 轴上方,且通过点(1,0)。

若 a>1,对数函数 内函数值为正。

是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+? )

若 0<a<1,对数函数 内函数值为负。[如图]

是单调减少的,在开区间(0,1)内函数值为正,而在区间(1,+? )

对数函数的图象和性质 a>1

图 象

3 2.5
2 1.5
11
0.5

-1

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

11

2

3

4

5

6

7

8

0<a<1

3 2.5
2 1.5
11
0.5

-1

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

11

2

3

4

5

6

7

8

定义域:(0,+∞)

值域:R

性 过点(1,0),即当 x=1 时,y=0

质 x∈(0,1)时 y<0

x∈(0,1)时 y>0

x∈(1,+∞)时 y>0

x∈(1,+∞)时 y<0

在(0,+∞)上是增函数
重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑵log a 1=0,log a a=1

在(0,+∞)上是减函数

a ? N ⑶对数恒等式 loga N 新疆 王新敞 奎屯

(4) log a ab=b 运算法则

若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

(1)loga(MN)=logaM+logaN;

M (2)loga N

=logaM-logaN;

(3) loga M n ? n loga M ;
对数换底公式:

loga

nM

?

1 n loga M

log a N=llooggmmaN (a>0,a≠1,m>0 ,m≠1,N>0) 1.1.3 三角函数与反三角函数

1.三角函数

,奇函数、有界函数、周期函数



,偶函数、有界函数、周期函数



, 周期函数

的一切实数,奇函数、



的一切实数,奇函数、

周期函数 ; ,





正弦函数和余弦函数都是以 2? 为周期的周期函数,它们的定义域都是区间(-? ,+? ),值域 都是必区间[-1,1]。
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以? 为周期的周期函数,它们都是奇函数。[如图]





双曲正弦:

双曲函数与反双曲函数 ,奇函数,单调增函数;

双曲余弦: 单调增;

,偶函数,

时,单调减,

时,

双曲正切: 函数的图形见书 P27~P28。 下面公式成立


,奇函数,单调增函数。







反双曲正弦

反双曲余弦



反双曲正切

函数图形的变换 平移

①由 如:由

的图形,作

的图形。

图形右移,

图形作

的图形。由

的图形作

,图形左移。 的图形。

②由

的图形作

下移。如:由

的图形作

的图形。

,图形上移,

,图形

的图形。

翻转

①由

图形作

如:由

的图形作

的图形。(以 轴为对称轴翻



的图形。

②由

图形作

如:由

的图形作

的图形。(以 轴为对称轴翻



的图形。

迭加与放缩(略)


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