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数学:2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)


教学目的: 1.理解二面角及其平面角的概念,能 确认图形中的已知角是否为二面角的 平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法, 会求简单的二面角的平面角: 3.掌握两个平面互相垂直的概念,能 用定义和定理判定面面垂直。

创设情景,揭示课题

问题1:平面几何中“角”是怎样定 义的?
问题2:在立体几何中,“异面直线所成 的角”、“直线和平面所成的角”又是 怎样定义的?它们有什么共同的特征?
问题:在生产实践中,有许多问题要涉及到两 个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问 题的一些例子吗?

这样的角有何特点,该如何表示呢?

研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 观察思考:展示一张纸面,并对折让学生观察其 形状,然后引导学生将它与角进行类比,归纳出 二面角的概念及记法与表示. ? 从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫二面角。 l 这条直线叫二面角的棱,这 ? 两个半平面叫做二面角的面。

研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 棱为AB,面分别为α ,β 的二面角记作二面角α - AB-β 。有时为了方便, 也可在α ,β 内(棱以外的 半平面部分)分别取点P, Q,将这个二面角记作二面 角P-AB-Q。如果棱记作l, 那么这个二面角记作二面角 α ―l―β 或P―l―Q。

2、二面角的度量 提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位 置关系,如我们常说“把门开大一些”,是指二 面角大一些,那我们应如何度量二面角的大小呢? 师生活动:在预先准备好的二面角的模型的棱上 取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线,通 过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二 面角的平面角。 在二面角α ―l―β 的棱l上任 取一点O,以点O为垂足,在半平 面α 和β 内分别作垂直于棱l的射 线OA和OB,则射线OA和OB构成的 ∠AOB叫做二面角的平面角。

注意:
(1)在表示二面角的平面角时,要求 “OA⊥L” ,“OB⊥L”; (2)∠AOB的大小与点O在L上位置无关; (3)二面角的平面角是多少度,就说这个二面 角是多少度,平面角是直角时叫直二面角。 ? ? (4)二面角的平面角的范围是: [0 ,180 ]

3、两个平面互相垂直 观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直的画法及其表示: 两个平面互相垂直通过画成:直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直,记 作:α ⊥β 。

4、两个平面垂直的判定 判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有下面 的判定定理.

两个平面垂直的判定定理:如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线,那么这 两个平面互相垂直.
注:这个定理简称
“线面垂直,则面面垂直”
O α β l

下面我们来证明这个定理

求证:α ⊥β . 分析:要证明两个平面互相垂 直,只有根据两个平面互相垂 直的定义,证明由它们组成的 二面角是直二面角,因此必须 作出它的一个平面角,并证明 这个平面角是直角.如何作平 面角呢?根据平面角的定义, 可以作BE⊥CD,使∠ABE为二面 角α -CD-β 的平面角.

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么 这两个平面互相垂直. 求证:α ⊥β . 证明:设a∩β =CD,则B∈CD. ∴AB⊥CD. β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD, 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角,又AB⊥BE,即二面角α CD-β 是直二面角. ∴α ⊥β .
C

α

A
B D

E

特别注意:两个平面垂直的判定定理,不 仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且 是找出垂直于一个平面的另一个平面的依 据.如:建筑工人在砌墙时,常用一端系 有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直,实际上,就是依据这个原理.另 外,这个定理说明要证明面面垂直,实质 上是转化为线面垂直来证明.

课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线,则α⊥β.( ) × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的 × 两条直线,则α⊥β.( ) 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 √ 两条 相交直线, 则α⊥β.( ) √ 4.若m⊥α,m β,则α⊥β.( ) 5.二面角指的是( B ) A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时,两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。

应用举例,强化所学
例1:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平
面,C是圆周一不同于A,B的任意一点,求证:平面 P PAC⊥平面PBC 证明:设⊙O所在平面为α , 由已知条件,有 C PA⊥α ,BC在α 内, 所以,PA⊥BC, A O 因为,点C是不同于A,B的任意 一点,AB为⊙O的直径, 所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线, 所以,BC⊥平面PAC, 探究:你还能发现哪些面互 又因为BC在平面PBC内, 相垂直? 所以,平面PAC⊥平面PBC。

B

运用反馈,深化巩固 1.指导完成课本P.69的探究问题 2.指导完成课本P.69的练习 小结归纳,整体认识 1.比较角与二面角之间的关系 2.二面角的度量; 3.两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线 与平面垂直的判定定理有何关系? 课后巩固,拓展思维

课后作业:P.73习题2.3 A组1,2,3,4.
想一想:怎样求二面角?

附:角与二面角之间的关系

角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边

二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面 ?

图形

顶点

O?


A
B




a

?

B

构成 射线
表示法

射线

半平面 棱 半平面

?AOB

? a ? 或 二面角 ? AB ?


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