四川成都五校 2017-2018 高二数学上学期 期中联考试题（文科含答案）
成都市“五校联考”高 2015 级第三学期期中试题 数学 （文科） （全卷满分：90 分完成时间：100 分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共 50 分） 一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的） 1.如图所示,正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1,则点 B1 的坐标是() A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0) 2．双曲线的渐近线方程是() (A)(B)(C)(D) 3.与直线 l：3x－5y＋4＝0 关于 x 轴对称的直线的方程为 () A.5x－3y＋4＝0B.3x＋5y＋4＝0C.3x－5y－4＝0D.5x＋ 3y＋4＝0 4．若实数 x，y 满足不等式组 x＋3y－3≥0，2x－y－ 3≤0，x－y＋1≥0，则目标函数 z＝x＋y 的最大值为()
A．715B.157C．1D.9 5．设点 A （2，－3） ，B （－3，－2） ，直线 l 过点 P （1,1） 且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值范围是（） A．k≥34 或 k≤－4B．－4≤k≤34C．－34≤k≤4D．以 上都不对 6.已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如 果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点 Q 的轨迹 是() A．双曲线的一支 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 7．如果椭圆的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直 线方程是（） A.x＋2y－3＝0B.2x－y－3＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y＋3 ＝0 8．已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心， 则入射光线的斜率为 A．B．C．D． 9．已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭[圆和双 曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 10．已知下列选项，其中错误的是（） ①过圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 外一点 M(3,1)，且与圆相 切的直线方程为 3x－4y－5＝0；
②方程 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)表示椭圆方程； ③平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值 等于 8 的点的轨迹是双曲线； ④方程 x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 A.①②③④B.①②③C.③④D.②④ 11．已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O， 并且经过点 M（2，y0）．若点 M 到该抛物线焦点的距离 为 3，则|OM|=（） A．B．C．4D． 12.已知点 P(m,n)在椭圆+=1 上,则直线 mx+ny+1=0 与圆 x2+y2=的位置关系为() A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 第 II 卷（非选择题,共 100 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把 答案填在题中横线上） 13．若三点 P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线， 则 x=． 14．不论 k 为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k ﹣11）=0 恒通过一个定点，这个定点的坐标是． 15．已知直线 l 经过点 P，且被圆截得的弦长为 8，则直 线 l 的方程是________________． 16．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点到
抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 已知直线 l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0． (Ⅰ)若 l1⊥l2，求 m 的值． (Ⅱ)若 l1∥l2,且他们的距离为，求 m，n 的值． 18.（本小题满分 12 分） 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实 验，计划搭载若干件新产品 A、B，该所要根据该产品的 研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益 来决定具体搭载安排，有关数据如下表： 每件产品 A 每件产品 B 研制成本、搭载 费用之和（万元）2030 计划最大资金额 300 万元 产品重量（千克）105 最大搭载重量 110 千克 预计收益（万元）8060 分别用 x,y 表示搭载新产品 A,B 的件数.总收益用 Z 表示 (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相 应的平面区域； (Ⅱ)问分别搭载新产品 A、B 各多少件，才能使总预计收
益达到最大？并求出此最大收益. 19.（本小题满分 12 分） 已知圆心在直线 y=4x 上，且与直线 l：x+y-2=0 相切于点 P（1，1） (Ⅰ)求圆的方程 （II）直线 kx-y+3=0 与该圆相交于 A、B 两点，若点 M 在圆上，且有向量(O 为坐标原点)，求实数 k。 20. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C：过点 A （1,-2） 。 （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使 得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等 于？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且 a2=2b． (Ⅰ)求椭圆的方程； （II）直线 l：x﹣y+m=0 与椭圆交于 A，B 两点，是否存 在实数 m，使线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上，若存在， 求出 m 的值；若不存在，说明理由． 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且该椭圆的离 心率与双曲线的离心率互为倒数。 (Ⅰ)求椭圆的方程；
（II） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为， 点在线段的垂直平分线上，且,求的值. 成都市”五校联考”高 2015 级第三学期期中试题 数学(文科)答案 一、选择题 1.C2.B3.B4.D5.A6.C7.A8.C9.D10.A11.B12.D 二、填空题 13.314.（2，3）15.x＋4＝0 或 4x＋3y＋25＝016. 三、解答题 17.解：. .……………………5 分 ., ,……………………10 分 18.解析：(Ⅰ)解：由已知满足的数学关系式为，且，， 该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分. ……………………6 分 （Ⅱ）解：设最大收益为万元，则目标函数. 作出直线并平移，由图象知， 当直线经过 M 点时，能取到最大值， 由解得且满足， 即是最优解，所以（万元）， 答：搭载 A 产品 9 件，B 产品 4 件，能使总预计收益达到
最大值，最大预计收益为 960 万元． ……………………12 分 19.解：（1）设圆的方程为 因为直线相切，圆心到直线的距离，且圆心与切点连线 与直线 l 垂直 可得 a=0，r=，所以圆的方程为：…………………6 分 (2)直线与圆联立：，得：， Δ =,解得.设 A()B()，, M()代入圆方程： ，求得 k=……………………………………12 分 20.解：（Ⅰ）将（1,-2）代入，所以. 故所求的抛物线 C 的方程为，其准线方程 为.…………………4 分 （Ⅱ） 假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y=－2x+t， 由，得 y2＋2y－2t=0.………………6 分 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得 Δ =4+8t，解得 t≥－1/2.……………8 分 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d=，可得，解得 t=±1.……10 分 因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合 题意的直线 l 存在，其方程为 2x+y-1=0. …………………12 分
21.解：（1）由题意得 e==，a2=2b，a2﹣b2=c2， 解得 a=，b=c=1 故椭圆的方程为 x2+=1；………………5 分 （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 的中点为 M （x0，y0）． 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得， 即 3x2+2mx+m2﹣2=0，………………6 分 △=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，即 m2＜3，， 所以 x0==，y0=x0+m=，………………8 分 即 M（，）．又因为 M 点在圆 x2+y2=5 上， 可得（）)2+（）2=5， 解得 m=±3 与 m2＜3 矛盾．………………11 分 故实数 m 不存在．………………12 分 22.解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以………………1 分 双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率， 故椭圆的………………3 分 所以椭圆方程为：………………4 分 （2）由（1）知，且直线的斜率必存在，设斜率为， 则直线方程为：，设点的坐标为， 联立方程，方程消去整理得： ………………5 分
两点坐标满足上述方程，由韦达定理得， 所以， 所以，的坐标为，………………6 分 线段的中点为,则点坐标为………………7 分 以下分两种情况： ①当时，点的坐标为,线段的垂直平分线为轴，于是 ………………8 分 ②当时，线段的垂直平分线方程为 ，令，解得 由………………9 分 ………………10 分 整理得：………………11 分 综上所述，或………………12 分