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思考与例题讲解:研究性课题:多面体欧拉公式的发现(一)第九课时


思考与例题讲解:研究性课题:多面体欧拉公式的发现(一)第九课时 一、在教学欧拉公式时应注意些什么? (1)本节课“多面体欧拉公式的发现” ,采用了“研究性课题”的学习形式,其目的在 于体现新大纲的特点,教学中,教师应充分利用其教学价值.这个课题的重要性不在于定理 本身及它的应用,而在于定理的发现及证明.因此,研究的过程也是体验数学大师是如何运 用数学思想方法的过程. (2)研究这个课题时,应先从一些常见的多面体出发,对它们的顶点、棱、面的数目 列出表格,让学生观察发现其中的规律后,再举更多的例子验证.进而猜想并验证结论. (3)教学中,应适当介绍数学家等的业绩,增加学生对数学史的了解,学习数学家的 献身科学、勇于探索的科学研究精神,激发学生对数学,对科学的热爱和对理想的追求. (4)由于这是一个研究性的课题,学生是研究的主体,所以,在活动中可以让学生充 分展开自由的想象,热烈的讨论,相互进行数学交流,教师在进行适当引导的同时,应小心 地呵护学生思维的闪光点,通过这个过程的活动进一步培养学生的创新意识. 二、欧拉公式的证明 欧拉公式 V+F-E=2,人们已给出多种证法,本节课中给出的是比较直观且不涉及其他 更深知识的一种证法, 适合我们的知识状况的一种证明方法, 这种拉橡皮膜的方法体现了拓 扑变换的特点.下面,介绍另两种思维方法供参考. 证法一: (1)假想一凸多面体的面用薄橡皮做成,内部是空的,现破掉一个面,把其余 的面展平并保持原表面的多边形的边数不变,成为一个平面网络,这时 V、E 不变,只是 F 少 1,于是即证在网络中 V-E+F=1. (2)在网络中的多边形边数若大于 3,由于每增加一条对角线,则 E、F 各加上 1,V -E+F 不变,于是尽可能增加对角线,使网络成为全由三角形组成的网络. (3)边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边,去掉这边,则 V 不变,E、F 各减少 1;若有两边不与其他三角形共边,去掉这两边,则 F、V 各减少 1,E 减少 2,这样 逐步可把“周围”的三角形一一去掉(如图).

(4)最后剩下一个三角形,显然满足 V-E+F=1,从而在凸多面体中,V-E+F=2. 证法二:设 F 个面分别为 n1,n2,…,nF 边形,则所有面角总和 ∑a=(n1-2)π +(n2-2)π +…+(nF-2)π =(n1+n2+…+nF)π -2Fπ =2Eπ -2Fπ ① 如上面展成平面网络后,设去掉的一个面为 n 边形,可得到一个由 n 边形围成的网络, 内部有 V-n 个点. 则∑a=(n-2)π +(n-2)π +(V-n)2π =(n-2)2π +(V-n)2π ② 由①、②易得我们所得到的式子. 三、欧拉公式的简单应用举例 [例 1]正二十面体的棱长为 a,连结相对顶点的对角线为 b,求它的体积. 解: 连结正二十面体的中心与各顶点的线段, 将正二十面体分成二十个相等的正三棱锥, 这个正三棱锥的侧棱长为

3 b ,底面半径为 a,由侧棱长、 高、 底面半径所组成的直角三角形, 3 2

b 3 求出高 h= ( ) 2 ? ( ) 2 2 3 1 3 2 b 3 2 5 2 ∴V 正二十面体=20V 正三棱锥=20× ? a ? ( )2 ? ( a) ? a 3b 2 ? 4a 2 3 4 2 3 6
[例 2]简单多面体每个面都是五边形,且每个顶点处有 3 条棱,求这个简单多面体的 面数、棱数、顶点数. 解:设面数为 F,顶点数为 V,棱数为 E. ∵每个面上有 5 条边,每两边合为一条棱 ∴E=

5F , 2 3V 5 ,V= F. 2 3

又∵每个顶点处有 3 条棱,每 2 个顶点间只有 1 条棱. ∴E=

又由欧拉公式 V+F-E=2 得

5 5F F+F- =2 3 2
∴F=12,V=20,E=30.


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