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吉林省长春市九台区师范高级中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题


红红火火 恍恍惚 惚和

九台师范高中、实验高中 2018-2019 学年度第一学期期中考试 高二数学试题
考生注意: 1.将答案写在答题卡上。交卷时,只交答题卡。 2.本试题考试时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
2 1、命题 p :“ ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 2x0 ”的否定 ? p 为( 2 A. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 2x0 2 C. ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 2x0
2 B. ?x ? R , x ? 1 ? 2 x 2 D. ?x ? R , x ? 1 ? 2 x



2、下列命题中正确的是( A.若 a ? b ,则 ac ? bc

) B. 若 ab ? 0 , a ? b ,则

C. 若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d 3、在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 5 , sin A ?

1 1 ? a b a b D.若 a ? b , c ? d ,则 ? c d


1 ,则 sin B 等于( 3
D.

A. 1

B.

1 5

C.

5 3

5 9
,则其公差 ( )

4、已知

是等差数列,

,其前 10 项和

A.

B.

C.

D. )

2 5、若 x ? x ? 2 ? 0 是 ?2 ? x ? a 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是(

A. a ? 2

B. a ? 2

C. 0 ? a ? 2

D. 0 ? a ? 2 )

6、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S13 ? 104 , a6 ? 5 ,则数列 ?an ? 的公差为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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7、公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log 2 a10 ? ( ) A. 5 B. 6 C. 4 D. 7

8、已知等差数列



的前 项和分别为

,则





A.

B.

C.

D.

x2 y 2 3 9. 设椭圆 C : 2 + 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长为 2 7 ,离心率为 . 则椭圆 C 的方程为 4 a b
( A. )

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 7

C.

x2 y 2 ? ?1 64 28


D.

x2 y 2 ? ?1 64 36

10、满足 A ? 60 , a ? 2 3, b ? 4 的△ ABC 的个数是( A. 0 B. 2
2

C. 1
2

D. 3 )

11、已知不等式(a ﹣1)x ﹣(a﹣1)x﹣1<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围( A. ( C. ( ) ] B. ( D. ( )∪[1,+∞) )∪(1,+∞)

12、已知 F1,F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, a 2 b2

是以 F1F2 为直径的圆与该椭 )

圆 C 的一个交点,且 ?PF 1 F2 ? 2?PF 2F 1, A. 2 ? 3 B.

则这个椭圆 C 的离心率为(

3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

2? 3 2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、己知数列{an}的前 n 项和满足 Sn=2 -1,则 an=______.
n+1

x? y ?0 14、若 x, y 满足 {x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值是________. y?0
15、已知两个正实数 x,y 使 x+y=4,则使不等式

1 4 ? ≥m 恒成立的实数 m 的取值范围是 x y
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____________. 16、已知双曲线经过点 ? 2,3? ,其一条渐近线方程为 y ? 3x ,则该双曲线的标准方程为 __. 三、解答题:(本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17(满分 10 分) 已知命题 p:x -8x-20≤0,命题 q: (x-1-m) (x-1+m)≤0(m>0) ;若 q 是 p 的充分而不必要 条件,求实数 m 的取值范围.
2

18 ( 满分 12 分) 某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75? 的方向上,距离为 12 6 海里,在 A 处看灯塔 C 在 货轮的北偏西 30? 的方向上,距离为 8 3 海里,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在南偏东 60? 方向上,求: (1)AD 的距离; (2)CD 的距离。

19 ( 满分 12 分) 已知椭圆与双曲线 的焦点相同,且它们的离心率之和等于 .

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过椭圆内一点 M(1,1)作一条弦 AB,使该弦被点 M 平分,求弦 AB 所在直线方程. 20 ( 满分 12 分) 已知中心在坐标原点的椭圆,经过点 A(2,3) ,点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程; (2)P 是(1)中所求椭圆上的动点,求 PF 中点 Q 的轨迹方程.

21 ( 满分 12 分)
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已知

是公差不为 0 的等差数列,满足 的通项公式;

,且 、 、 成等比数列.

(1)求数列

(2)设

,求数列

的前 项和 ;

22( 满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求证:数列 ?an ?1 ? 为等比数列; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn .

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高二数学参考答案 一、单项选择 1、 【答案】B 2、 【答案】B 3、 【答案】D 4、 【答案】A 5、 【答案】A 6、 【答案】A 7、 【答案】C 8、 【答案】D 9、 【答案】B 10、 【答案】C 11、 【答案】C 12、 【答案】B 二、填空题 13、 【答案】an= { 14、 【答案】 3 ; 15、 【答案】 ? ??, ? 4

3, n ? 1 2n , n ? 2

? ?

9? ?

16、 【答案】 x ?
2

y2 ?1 3

三、解答题 17、 【答案】 (-∞,3]. 2 试题解析:命题 p:x -8x-20≤0,解得:-2≤x≤10.-----------------------------2 命题 q: (x-1-m) (x-1+m)≤0(m>0) ,解得:1-m≤x≤1+m.--------------------5 若 q 是 p 的充分而不必要条件,∴ {1 ? m ? 10 ,解得 m≤3.----------------------9 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,3].-------------------------------------------10 18、 【答案】 (1)24 海里; (2)8√3 海里。 解: (Ⅰ)在△ABD 中,由已知得∠ADB=60°,B=45°
?2?1? m

AB sin B ? 由正弦定理得 AD= sin ?ADE

12 6 ? 3 2
2

2 2 ? 24
---------------------------------6
2 2

(Ⅱ)在△ADC 中,由余弦定理得 CD =AD +AC -2AD?ACcos30°,解得 CD=8 3 .所以 A 处与 D 处之间的距离为 24nmile,灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3 nmile.---------12
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19、 【答案】 解: (Ⅰ)双曲线

的焦点为(0,4) , (0,﹣4) ,

离心率为 =2, --------------------------------------------------------2

则椭圆的方程为

+

=1(a>b>0) ,

且离心率 e= =

﹣2= ,-----------------------------------------------4 =3,

由于 c=4,则 a=5,b=

则椭圆方程为

+

=1;------------------------------------------------6

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=2,y1+y2=2,

+

=1,

+

=1,

两式相减可得,

+

=0,---------------8

即有 kAB=

=﹣



则直线 AB 所在方程为 y﹣1=﹣ 由于 M 在椭圆内,则弦 AB 存在.

(x﹣1) ,--------------------------------10

则所求直线 AB 的方程为 25x+9y﹣34=0.-----------------------------------12 20、 【答案】解: (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 ,

若点 F(2,0)为其右焦点,则其左焦点为 F'(﹣2,0) ,--------------------2 从而有 解得
2 2 2

, ,
2

又 a =b +c ,所以 b =12,-------------------------------------------------5 故椭圆 C 的方程为 .-------------------------------------------6

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(2)设 P(x0,y0) ,Q(x,y) ∵Q 为 PF 的中点,

∴ ----------------------------------------------8 由P是 上的动点



,------------------------------------------------10

即 Q 点的轨迹方程是

.----------------------------------12

21、 【答案】(1)

;(2)

.

详解: (1)由题可知, ------

可得

解得 ,-------------------------------6

(2)

------------------------9

.-------------12 22、 【答案】解: (Ⅰ) an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,

? 数列 ?an ?1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列;
(Ⅱ) Sn ? (n ? 1) ? 2
n ?1

?

n2 ? n ?2. 2

试题分析: (Ⅰ)递推公式是 an?1 ? 2an ? 1 型时,通常等式两边同时加 的等比数列,

常数项 ,构成新 a n的系数-1

(Ⅱ)?nan ? n ? 2n ? n 求和时采用分组求和的方法,其中 n ? 2n 是差比数列,采用错位想减

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法。 解: (Ⅰ) an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,

? 数列 ?an ?1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列; ------------------------5
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得: an ? 2n ? 1,?nan ? n ? 2n ? n ,-------------------7

? Sn ? (2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n ) ?

n2 ? n n2 ? n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? ? 2 .-------12 2 2

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推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 推荐 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