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天津市静海县第一中学2016-2017学年高一9月学业能力调研数学试题Word版含解析


一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A ? {1, 2,3}, B ? {y | y ? 2x ?1, x ? A},则 AI B =( )

A. {1,3}

B. {1,2}

C. {2,3}

D.{1,2,3}
【答案】A

考点:集合运算.

? ? 2.已知集合 A ?

x | 2x ? x2

?0

, B ? ??x | ?

x?2 x ?1

?

0?? ?

,则

(CR B)

I

A?(



A. (??,0] U[2, ??)

B. [0,1]

C. (??,0] U(2, ??)

D. (??,1] U[2, ??)

【答案】C 【解析】

? ? 试题分析: A ?

x | 2x ? x2 ? 0

?

?x

|

x

?

0, 或x

?

2?



B

?

? ?

x

?

|

x?2 x ?1

?

0?? ?

=?x

1

?

x

?

2? ,

?RB ? ?x | x ?1,或x ? 2? ,所以 (CRB) I A ? (??,0] U(2, ??) .故选 C.

考点:集合运算. 1
3.不等式 2≥x-1的解集为( ) 3
A.(-2,1) 3
C.(1,2) 【答案】D

3 B.(-∞,1)∪(2,+∞)
3 D.(-∞,1)∪[2,+∞)

【解析】
试题分析:原不等式可化为 3 ? 2x ? 0 ,等价于 (x ?1)(2x ? 3) ? 0, 且x ? 0 ,解得 x ?1
x ? 1,或x ? 3 .故选 D. 2
考点:不等式的解法. 【方法点睛】解分式不等式的策略:化为整式不等式(注意转化的等价性),符号法则,数轴 标根法.数轴标根法的解题步骤:(1)首项系数化为“正”;(2)移项通分,不等号右侧化为
“ 0 ”;(3)因式分解,化为几个一次因式积的形式(十字相乘法、求根公式法、无法分解( ?
法,配方法));(4)数轴标根.本题考查分式不等式的解法,可将其化为一元二不等式来解, 属于基础题.
? ? ? ? 4.已知集合 A ? x ? R x ? 2 , B ? x ? R x2 ? x ? 2 ? 0 且 R 为实数集,则下列结论正确

的是 ()

A. A? B ? R

B. A? B ? ?

C. A ? (CR B)

D. A ? (CR B)
【答案】C

考点:集合的运算.

5.设函数

f

(x)

?

??1 ?

? ??

x2

x ?

2, x?

x 2,x

≤1,则
? 1,

f

? ? ?

f

1 (2)

? ? ?

的值为(

A. 8 9

B. ? 27 16

D.18


C. 15 16

【答案】C

【解析】

试题分析:

f

(2) ? 4 ,所以

f

? ? ?

f

1 (2)

? ? ?

?

f

(1) ?1? (1)2

4

4

? 15 16

.故选 C.

考点:分段函数.

6.已知集合 M

?

??x ?

x

?

k 2

?

1 4

,

k

?

Z

? ? ?

,

N

?

? ?

x

?

x

?

k 4

?

1 2

,

k

?

Z

? ? ?

,

x0

?M

,则

x0



N



关系是

( )(R 为实数集)

A . x0 ? N
D.不能确定 【答案】A 【解析】

B . x0 ? N

C . x0 ? (CR N )

试题分析:

M

?

? ?

x

?

x

?

k 2

?

1 4

?

2k ?1, k 4

?

Z

? ?

中的元素为所有奇数的四分之一,而

?

N

?

??x ?

x

?

k 4

?

1 2

?

k

? 4

2

,k

?

Z

? ?

中的元素为所有整数的四分之一,所以

?

M

?

N

.故选

A.

考点:集合的含义.

7.函数

f

(x)

?

3 4?x ax2 ? 4ax

?3

的定义域为 (??, ??)

,则实数 a

的取值范围是(

A. (??, ??)
D.[0, 3] 4
【答案】B

B. [0, 3) 4


C. ( 3 , ??) 4

考点:1、函数的定义域,2、不等式恒成立.

【方法点睛】已知函数解析式求函数的定义域:如果只给出函数解析式(不注明定义域),其 定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等 式或不等式组求得函数的定义域.主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被 开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数

函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数

y

?

tan

x, ??x ?

x

?

k?

?

? 2

,k

?

Z

? ?

?

等.本题考查函数的定义域及其求法,考查了分类讨论的数学思想方法,属于中档题.

? ? ? ? 8.设集合 S ? x x ? 2 ? 3 ,T ? x a ? x ? a ? 8 , S T ? R ,则 a 的取值范围是( )

A. ?3 ? a ? ?1

B. ?3 ? a ? ?1

C. a ? ?3或 a ? ?1
【答案】A 【解析】

D. a ? ?3 或 a ? ?1

? ? ? ? 试题分析:因为 S ? x x ? 2 ? 3 ? x x ? ?1,或x ? 5 ,T ? ?x a ? x ? a ? 8?, S T ? R ,

所以

?a ??a

? ?

?1, 8?

5,

所以

?3

?

a

?

?1

.故选

A.

考点:1、集合运算;2、绝对值不等式.

【方法点睛】x 的几何意义是实数 x 在数轴上对应的点离开原点 0 的距离,所以 x ? a(a ? 0)

? ? ? ? 的解集是 x ?a ? x ? a ;不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是 x x ? ?a,或x ? a .把不等式

x ? a(a ? 0) 与 x ? a(a ? 0) 中 的 x 替 换 成 a x? b, 就 可 以 得 到 ax ? b ? c(c ? 0) 与

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法.本题考查含有绝对值的不等式的解法和集合的运算,
属于基础题. 第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每空 4 分,满分 28 分.)
? ? 9.集合 M ? x x2 ? 3x ? a2 ? 2 ? 0, a ? R 的子集的个数为________.
【答案】 4

考点:集合间的基本关系.

10.(1) ?3x2 ? x ?1 ? 0 的解集是

;(2) x2 ? 2x ?1 ? 0 的解集是



【答案】(1) (1? 13 ,1? 13 )

6

6

【解析】

(2)?1?

试题分析:(1)不等式 ?3x2 ? x ?1 ? 0 ,可化为 3x2 ? x ?1 ? 0 ,解得 1? 13 ? x ? 1? 13 .

6

6

所以不等式的解集为 (1? 13 ,1? 13 ) ;(2)不等式 x2 ? 2x ?1 ? 0 ,可化为 (x ?1)2 ? 0 ,

6

6

解得 x ?1,所以不等式的解集为?1? .所以答案应填: (1? 13 ,1? 13 ) ;?1? .

6

6

考点:一元二次不等式的解法.

11.若关于 x 的一元二次方程 ?a ? 2? x2 ? 2ax ? a ?1 ? 0 没有实数解,求 ax ? 3 ? 0 的解集

___________.

【答案】

??x ?

x

?

?

3?

a

? ?

【解析】

试题分析:由题意可知 ?=( ? 2a)2 ? 4(a ? 2)(a ?1) ? a ? 2 ? 0 ,所以 a ? ?2 ,所以解

ax

?3?

0得

x

?

?

3 a

.所以答案应填: ??x ?

x

?

?

3 a

? ? ?



考点:1、一元二次方程;2、不等式的解法.

? ? ? ? 12.已知集合 M ? x| 2 x2 ? 3 x? 2 ? 0 ,集合 N ? x ax?1 ,若 N

________.
【答案】 0, ?2, 1 2

M, 那 么 a 的 值 是

考点:集合间的基本关系.

13.不等式组

??? x

? ??

x

?

? x

2??x ?5? ?a? ? 0

?

0

与不等式

?

x

?

2?

?

x

?

5?

?

0

同解,则

a

的取值范围是____.

【答案】 a ? 2

【解析】

试题分析:不等式 ? x ? 2?? x ?5? ? 0 的解集为?x 2 ? x ? 5? ,不等式 x(x ? a) ? 0 的解,当

a ? 0 时, x ? a 或 x ? 0 ,当 a ? 0 时, x ? R ,当 a ? 0 时, x ? a 或 x ? 0 ,所以不等式



??? x

? ??

x

?

? x

2??x ?5? ?a? ? 0

?

0

的解,当

a

?

5

时,

不等式组无解,当 2 ? a ? 5时,不等式组的解为

a ? x ? 5,当 a ? 2 时,不等式组的解为 2 ? x ? 5 ,综上, a 的取值范围是 a ? 2 .所以答案

应填: a ? 2 .

考点:一元二次不等式的解法.

【方法点睛】解一元二次不等式的策略:(1)如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等

式的性质转化为二次项系数为正的形式;(2)求出相应一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的

判别式 ? 及根;(3)根据不等式写出解集.解决本题的关键是使不等式 x(x ? a) ? 0 的解集为

? x ? 2?? x ?5? ? 0 的解集的子集即可,考查一元二次不等式的解法及分类讨论的数学思想,

属于中档题. 14.有以下判断:

① f ?x? ?

x x



g

?

x?

?

? 1, x ? 0 ???1, x ? 0

表示同一函数;

②函数 y ? f (x) 的图象与直线 x ?1 的交点最多有 1 个;

③ f (x) ? x2 ? 2x ?1与 g(t) ? t2 ? 2t ?1是同一函数;

④若 f (x) ? x ?1 ? x ,则 f ( f (1)) ? 0 . 2
其中正确判断的序号是________.
【答案】②③

考点:函数的概念及其构成要素. 【思路点睛】通过求函数的定义域和对应法则即可判断两个函数是否为同一函数,从而判断
出①③的正误,根据函数的定义便可判断②正确,而 f (x) ? x ?1 ? x 是分段函数,先计算

f (1) ? 0 ,由里往外计算 f ( f (1)) ? 1,从而可判断出④错误.本题考查判断两个函数是否

2

2

为同一函数的方法,定义域和对应法则决定一个函数,以及函数的定义,求分段函数值,属 于基础题.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
? ? ? ? 15.设 A ? x 2x2 ? ax ? 2 ? 0 , B ? x x2 ? 3x ? 2a ? 0 ,且 A? B ? ?2?.

(1)求 a 的值及集合 A,B;

(2)设全集U ? A? B ,求 (CU A) ? (CU B) ;

(3)写出 (CU A) ? (CU B) 的所有真子集.

【答案】(1)

a

?

?5



? ? ?

1 2

,

2?? ?

,??5,

2?

;(2)

???5, ?

1 2

? ? ?

;(3)

?



? ? ?

1 2

? ? ?

,??5?



???5, ?

1 2

? ? ?



试题解析: (1)由 A∩B={2},得 2 是方程 2x2+ax+2=0 和 x2+3x+2a=0 的公共解,∴2a+10=0,则

a=-5,此时

A=

? ? ?

1 2

,

2

? ?

?

,B={-5,2}.

(2)由并集的概念,得

U=A∪B=

???5, ?

1 2

,

2?? ?

.

由补集的概念易得?UA=

??5?

,?UB=

? ? ?

1 2

? ? ?

.

所以?UA∪?UB=

???5,

1

? ?

.

? 2?

(3)?UA∪?UB

的所有子集即集合

???5, ?

1 2

? ? ?

的所有子集:

?



? ? ?

1 2

? ? ?



??5?



? ? ?

?5,

1 2

? ? ?

.

考点:集合运算.
16.解下列关于 x 的不等式.

(1) (x ? 4)( x ? 5)2 (2 ? x)3 ? 0 ;

(2) 4x2 ?10x ? 3 ? 3 ;

(3)

x2 3x2

? 4x ?1 ? 7x ? 2

?

1.

? ? 【答案】(1)

x

x

?

?5或 ? 5 ?

x

?

?4或x

?

2

;(2)

? ?

x

?

? 1 ? x ? 0或 5 ? x ? 3

2

2

? ?

;(3)

?

(??, 1) ? (1 ,1) ? (2,??) . 32

试题解析:

(1) (x ? 4)( x ? 5)2 (2 ? x)3 ? 0

原不等式等价于

(x ? 4)(x ? 5)2 (x ? 2)3 ? 0

?

?x ? 5 ? 0 ??(x ? 4)(x

?

2)

?

0

?

?x ??x

? ?

?5 ?4或x

?

2

? ? ∴原不等式解集为 x x ? ?5或 ? 5 ? x ? ?4或x ? 2

(2)解不等式 4x2 ?10x ? 3 ? 3 .

去掉绝对值号得 ? 3 ? 4x2 ?10x ? 3 ? 3 ,

∴原不等式等价于不等式组

??? 3 ? 4x2 ?10x

? ??4x

2

?10x

?

3

?

? 3

3

?

??4x2

? ??4

x

2

?10x ?10x

? ?

0 6

?

0

?

?2x(2x ? 5) ? 0 ??2(x ? 3)(2x ?1)

?

0

?

???x ? ????

?
1 2

0或x ? 5 2
? x ? 3.

,

∴原不等式的解集为

? ?

x

?

? 1 ? x ? 0或 5 ? x ? 3

2

2

? ?



?

(3)

x2 3x2

? 4x ?1 ? 7x ? 2

?

1

原不等式等价于 (2x ?1)( x ?1) ? 0 ? (2x ?1)(x ?1)(3x ?1) ? (x ? 2) ? 0 (3x ?1)( x ? 2)

∴原不等式解集为 (??, 1) ? (1 ,1) ? (2,??) . 32
考点:不等式的解法. 【方法点睛】解分式不等式的策略:化为整式不等式(注意转化的等价性),符号法则,数轴 标根法.数轴标根法的解题步骤:(1)首项系数化为“正”;(2)移项通分,不等号右侧化为
“ 0 ”;(3)因式分解,化为几个一次因式积的形式(十字相乘法、求根公式法、无法分解( ?

法,配方法));(4)数轴标根.本题考查含有绝对值的不等式、分式不等式的解法,属于基 础题.
17.解关于 x 的不等式 ax2 ? (3a ?1)x ? 3 ? 0 .

【答案】当 a ? 0 时,原不等式的解集为{x | x ? 3},当 a ? 0 时,原不等式的解集为

{x | 1 ? x ? 3},当 a ? 1 时,原不等式的解集为{x | x ? 1 或 x ? 3},当 0 ? a ? 1 时,不等

a

3

a

3

式的解集为{x | x ? 3或 x ? 1},当 a ? 1 时,不等式的解集为 R .

a

3

试题解析:

(1)当 a ? 0 时,不等式为 ?x ? 3 ? 0 ,∴ x ? 3 ;

(2)当 a ? 0 时,不等式可化为 (x ? 3)(ax ?1) ? 0 ,

①当 a ? 0 时, 1 ? 3 ,不等式的解集为{x | 1 ? x ? 3},

a

a

②当 a ? 0 时,

当 1 ? 3 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为{x | x ? 1 或 x ? 3},

a

3

a

当 1 ? 3,即 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为{x | x ? 3 或 x ? 1},

a

3

a

当 1 ? 3 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 R .

a

3

综上,当 a ? 0 时,原不等式的解集为{x | x ? 3},

当 a ? 0 时,原不等式的解集为{x | 1 ? x ? 3}, a

当 a ? 1 时,原不等式的解集为{x | x ? 1 或 x ? 3},

3

a

当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为{x | x ? 3 或 x ? 1},

3

a

当 a ? 1 时,不等式的解集为 R . 3

考点:不等式的解法.

18.(1)关于 x 的不等式 mx2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围;
? ? ? ? (2)对于集合 A ? x x2 ? 2ax ? 4a ? 3 ? 0 , B ? x x2 ? 2 2x ? a2 ? a ? 2 ? 0 是否存在实数 a ,
使A B??? 若存在,求出 a 的取值,若不存在,试说明理由
【答案】(1) 0 ? m ?1;(2)1 ? a ? 3 .

试题解析:
(1)①当 m ? 0 时, 8 ? 0 ?m ? 0 成立; ?m ? 0
②当 m ? 0 ,则 ??? ? 36m2 ? 4m(m ? 8) ? 32m(m ?1) ? 0 ?0 ? m ?1 由①②可知, 0 ? m ?1 (2) A B ? ?

∴ A ? B ? ? ,即二次方程: x2 ? 2ax ? 4a ? 3 ? 0 与 x2 ? 2 2x ? a2 ? a ? 2 ? 0 均无实数解,

????1=4a2 ? 4(4a ? 3) ? 0 ?1 ? a ? 3, ??2 ? 8 ? 4(a2 ? a ? 2) ? 0
故当1 ? a ? 3 时, A B ? ?

考点:不等式的解法.

19.(1)求函数 f (x) ?

x2

?

x

?1

?

x2

1 ? 2x

?1

的定义域;

x ? 2 ?1

(2)求函数 f (x) ?

的定义域;

(x ? 3)(x ?1)

(3)已知函数 y ? f (x ?1) 定义域是 ??1,3?,则 y ? f ?2x ? 1?的定义域.

? ? 【答案】(1)

??? x ??

x

?

?1? 2

5 ,或x ? 1? 2

5

?? ?

;(2)

??

x x ? 1,或x ? 3

;(3)

????

3 2

,

1 2

? ??

.

试题解析:

(1)要使函数 f (x) ?

x2

?

x

?1

?

x2

1 ? 2x

?1

有意义,必须

?? x 2

? ??

x2

? x ?1 ? 0, 解得 x
? 2x ?1 ? 0,

?

?1? 2

5

, 或x

?

1? 2

5



所以函数定义域为

?? ?

x

??

x

?

?1? 2

5

, 或x

?

1? 2

5

?? ?



??

x ? 2 ?1

(2) 要使 函数 f (x) ?

有意义,必须

(x ? 3)(x ?1)

?????(xx??23)?(x1??10),? 0,解得 x ? 1,或x ? 3
? ? 所以函数定义域为 x x ? 1,或x ? 3 .

(3) ?1 ? x ? 3,??2 ? x ?1 ? 2,

故 f (x) 的定义域为[?2, 2] ,

所以令 ?2 ? 2x ?1? 2 ,解得 ? 3 ? x ? 1 , 22

故y

?

f ?2x ? 1?的定义域是 ????

3 2

,

1 2

? ??



考点:函数的定义域. 【方法点睛】(1)已知函数解析式求函数的定义域:如果只给出函数解析式(不注明定义域), 其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不

等式或不等式组求得函数的定义域;(2)常用代入法求抽象函数的定义域:已知 y ? f (x) 的

定 义 域 为 ?m, n? , 求 y ? f ?g(x)? 的 定 义 域 , 可 由 m ? g(x) ? n 解 出 x 的 范 围 , 即 为

y ? f ?g(x)?的定义域.本题主要考查函数定义域的求法,列不等式(组)解之即可,属于基
础题. 提高题(共 15 分)
? ? ? ? 20.若集合 A ? x x2 ? 2x ? 8 ? 0 , B ? x x2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 .
(1)若 m ? 3 ,全集U ? R ,试求 A ? CU B ; (2)若 A? B ? ?,求实数 m 的取值范围; (3)若 A? B ? B ,求实数 m 的取值范围.
? ? ? ? 【答案】(1) x ?2 ? x ? 1 ;(2) m m ? ?4,或m ? 6 ;(3)?m 0 ? m ? 2? .

试题解析:
? ? A ? x x2 ? 2x ?8 ? 0 ? ?x ?2 ? x ? 4? , B ? ?x m ? 2 ? x ? m ? 2? .

? ? ? ? (1)若 m ? 3 ,则 B ? x 1 ? x ? 5 ,所以 ?UB ? x x ? 1,或x ? 5 ,所以

A (?UB) ? ?x ?2 ? x ?1?.

(2)若 A? B ? ?,则 m ? 2 ? ?2 ,或 m ? 2 ? 4 ,解得 m ? ?4 ,或 m ? 6 ,所以实数 m 的
? ? 取值范围为 m m ? ?4,或m ? 6 .

(3)若 A? B ? B ,则 B ? A ,

所以

??2 ? m ? 2, ??m ? 2 ? 4,

解得 0 ? m ? 2 .

? ? 所以实数 m 的取值范围为 m 0 ? m ? 2 .

考点:集合运算.


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