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2014卓越联盟自主招生数学(教师用卷)


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本卷由

绝密★启用前

2014 卓越联盟自主招生数学
评卷人 得分 一、填空题:共 8 题 每题 5 分 共 40 分
1.不等式错误!未找到引用源。的解集为_____________.

【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】提示:错误!未找到引用源。,把原式视作错误!未找到引用源。的三次多项 式分解因式即可.
2.在三棱锥错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。底面错误!未找到引用

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,二面角错误!未找到引用源。 的大小为错误!未找到引用源。,三棱锥错误!未找到引用源。的体积为错误!未找到 引用源。,则直线错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成的角的正弦 值为________. 【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】提示:仔细算算.
3.当实数 m 变化时,不在任何直线错误!未找到引用源。上的所有点错误!未找到引

用源。形成的图形的面积为_____________. 【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】提示:原式视作错误!未找到引用源。的二次方程错误!未找到引用源。,判 别式小于 0 即可.
4.已知函数错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。.设错误!未找到引用源。为实数,若存在实数错误!未找到引 用源。 , 使错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 的取值范围是___________. 【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】提示:仔细算算.
5.已知错误!未找到引用源。,分别在区间错误!未找到引用源。和错误!未找到引

用源。内任取一个数,且取出的两数之和小于 1 的概率为错误!未找到引用源。.则 a 的 值为_______________. 【答案】错误!未找到引用源。.
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本卷由【未 【解析】提示:可转化为“线性规划+几何概型”问题.
6.设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为平面上夹角为错误!未找到引

用源。 (错误!未找到引用源。)的两个单位向量,错误!未找到引用源。为平面上的一 个固定点,错误!未找到引用源。为平面上任意一点,当错误!未找到引用源。时,定 义错误!未找到引用源。为点错误!未找到引用源。的斜坐标.现有两个点错误!未找 到引用源。,错误!未找到引用源。的斜坐标分别为错误!未找到引用源。,错误!未 找到引用源。.则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。两点的距离为 ______________. 【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】提示:显然.
7.若函数错误!未找到引用源。的图象的对称中心与 y 轴距离最小的对称轴为错误!

未找到引用源。,则实数 ? 的值为_____. 【答案】错误!未找到引用源。. 【解析】提示:仔细算算.
8.已知集合错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。.若错误!未找到引用源。中元素的个数不是错误!未找到引用 源。中的元素,错误!未找到引用源。中元素的个数不是错误!未找到引用源。中的元 素,则满足条件的所有不同的集合错误!未找到引用源。的个数为___________. 【答案】44. 【解析】提示:按错误!未找到引用源。中元素个数(错误!未找到引用源。, 1 , 2 ,…)逐 个进行分类讨论.

评卷人

得分 二、解答题:共 4 题 每题 12 分 共 48 分

9.设错误!未找到引用源。,函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.(1)

若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上的 最大值. (2)若错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的值. (1)错误!未找到引用源。; (2)错误!未找到引用源。, (错误!未找到引用源。); 【答案】 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 【解析】错误!未找到引用源。.
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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本卷由

10.已知双曲线错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)

的两条渐进线的斜率之积为错误!未找到引用源。,左右两支上分别由动点错误!未找 到引用源。和错误!未找到引用源。. (1)设直线错误!未找到引用源。的斜率为 1,经过点错误!未找到引用源。,且错误! 未找到引用源。,求实数错误!未找到引用源。的值. (2)设点错误!未找到引用源。关于错误!未找到引用源。轴的对称点为错误!未找到 引用源。.若直线错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。分别与错误!未找到 引用源。轴相交于点错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引 用源。为坐标原点,证明错误!未找到引用源。. 【答案】(1)错误!未找到引用源。;(2)提示:错误!未找到引用源。,再带入错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。即可. 【解析】无
11.已知错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。上的可导函数,对任意的错误!

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

未找到引用源。,有错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. (1)对任意的错误!未找到引用源。,证明:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引 用源。); (2)若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,证明:错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)化简错误!未找到引用源。,可得错误!未找到引用源。对任意正整数 n 成 立,左边在错误!未找到引用源。无穷大时是无穷小,所以错误!未找到引用源。. (2)方法一:假设错误!未找到引用源。是 1,2,3,…,错误!未找到引用源。中满 足错误!未找到引用源。中的最大角标.则 错误!未找到引用源。. 方法二:假设 l 是 1,2,3,…,错误!未找到引用源。中满足错误!未找到引用源。 中的最小角标,则错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。). (3)显然错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和是正数,当且仅当错误! 未找到引用源。,此时错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。,2,…,错误! 未找到引用源。)的符号随意.即错误!未找到引用源。:错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。,…,错误!未找到引用源。,错误!未找到 引用源。.这样的数列共有错误!未找到引用源。个,若错误!未找到引用源。与错误!
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本卷由【未 未找到引用源。符号相反,则进行配对(错误!未找到引用源。,2,…,错误!未找到 引用源。).于是,错误!未找到引用源。中所有元素之和为错误!未找到引用源。. 【解析】(1)即证错误!未找到引用源。,构造函数错误!未找到引用源。,对 g ? x ? 求 导证明错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单增即可. (2)由条件知错误!未找到引用源。是 R 上的单增函数,故错误!未找到引用源。不可 能恒等于零. 如果存在正实数错误!未找到引用源。,及实数错误!未找到引用源。,使错误!未找 到引用源。,则对任意错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 则当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,与条件矛盾. 如果存在正实数错误!未找到引用源。,及实数 x0 ,使错误!未找到引用源。,则对 任意错误!未找到引用源。,存在错误!未找到引用源。,满足错误!未找到引用源。. 则当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,与条件也矛盾. 总之,题目中的条件永远不成立.故由于前提条件是假命题,从而不论结论是什么,都 是真命题.
12.已知实数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用

源。,错误!未找到引用源。,常数错误!未找到引用源。.对任意的错误!未找到引 用源。,有错误!未找到引用源。.设错误!未找到引用源。为所有满足上述条件的数 列错误!未找到引用源。的集合. (1)求错误!未找到引用源。的值; (2)设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,且存 在错误!未找到引用源。,使错误!未找到引用源。.证明:错误!未找到引用源。; (3)设集合错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,求错误!未找到引用源。 中所有正数之和. 【答案】无 【解析】无

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※


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