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湖北省黄冈市2014届高三3月份质量检测数学理试题扫描版


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三、解答题

1 17. (1) 由已知得 m? n ? a cos c ? (c ? 2b) ? 0 2

? ?

?a ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? (c ? 2b) ? 0 2ab 2







b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc, cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? 2bc 2



是公差为 2 的准等差数列当 n 为奇数时, an ? a ? (

n ?1 ? 1) ? 2 ? n ? a ? 1; 当 n 为偶数时, 2

n a n ? 2 ? a ? ( ? 1) ? 2 ? n ? a 2
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1 1 1 1 ? E? ? ( ?1 ? 2 ? 2 ? ... ? 9 ? 9 ? 9 ?10 )a 2 2 2 2 1 1 1 令S ? ?1 ? 2 ? 2 ? ... ? 9 ? 9 2 2 2
利用错位相减法可得

1 1 1 1 ? 2 ? .... ? 8 ? 9 ? 9 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? E? ? ( 1 ? ? 2 ? .... ? 8 ? 9 ? 9 ? 9 ? 10)a ? (1 ? ? 2 ? .... ? 9 )a 2 2 2 2 2 2 2 2 1023 ? a (元) 512 S ? 1?

1023 a 答:该同学参加考试所需费用 ? 期望为 512 元................................12 分
20.(1)由已知得 AB ? 3 5 , AD ? 6,? BD ? 9. 在矩形 ABCD 中,? AE ? BD,? Rt?AOD ~ Rt?BAD, ……………………2 分

?

DO AD ? ,? DO ? 4, BO ? 5. AD BD
41, PO ? 4, BO ? 5,? PO 2 ? BO 2 ? PB 2 , ……………5 分

在 ?POB 中, PB ?

? PO ? OB.又PO ? AE, AE ? OB ? O,? PO ? 平面ABCE. ………………6 分

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21. 设 F (c,0), 直 线 l:x ? y ? c ? 0, 由 坐 标 原 点 O 到 l 的 距 离 为

0?0?c 2 2 ,则 ? , 解得c ? 1. 2 2 2
又e ?

c 3 ? , 所以 a ? 3, b ? 2. ……………………………………5 分 a 3

(2)由(1)知椭圆的方程为 C: ?

x2 3

y2 ? 1 。设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 由题意知 l 的斜率一 2
2 2

定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1, 代入椭圆的方程中整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 , 显 然

? ? 0. 由 韦 达 定 理 有

y1 ? y 2 ? ?

4m 4 , y1 ? y 2 ? ? . 2 2 2m ? 3 2m ? 3

①……………………………7 分 假设存在点 P , 使 OP ? OA ? OB 成立, 则其充要条件为: 点 P 的坐标为 ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , 点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ? 1. 整理得 3 2

2 2 2 x12 ? 3 y12 ? 2 x2 ? 3 y2 ? 4 x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6.

2 x2 ? 3 y 2 ? 6, 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? 3 ? 0 ② 又 A、B 在椭圆上,即 2 x1 ? 3 y1 ? 6,
2 2 2 2

将 x1 x2 ? (my1 ? 1)( my 2 ? 1) ? m y1 y 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 1 及 ① 代 入 ② , 解 得
2

1 m 2 ? . …………11 分 2
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?(


ln x x2 ?1 ) max ? a ? ( ) min x x

h( x ) ?

ln x 1 ? ln x ( x ? 0), h?( x) ? 得h?(e) ? 0, x ? (0, e)时 x x2
x2 ?1 1 1 ? x? ?2 h?( x) ? 0,? h( x) max ? h(e) ? 。 x ? 0时, e x x

h?( x) ? 0, x ? (e ? ?)
x2 ?1 ) min ? 2 x

?(

1 ?1 ? ? ? a ? 2. ? a 取值范围为 ? ,2?. ………………………………9 分 e ?e ?

2b ?2 b ? ln ? a b a 1 ? ( )2 a b 2t ? 2 设 ? t ,? 0 ? a ? b,? t ? 1, 则需证 ln t ? (t ? 1) ,即需证 (1 ? t 2 ) ln t ? 2t ? 2. 2 a 1? t
2ab ? 2a 2 (3)即需证 ln b ? ln a ? a2 ? b2
设 H (t ) ? (1 ? t ) ln t ? (2t ? 2)
2

( t ? 1)

H ?(t ) ? 2t ln t ?

1? t 2 (t ? 1) 2 ? 2 ? 2t ln t ? ? 2t ln t ? 0 t t

? H (t )在(1 ? ?) 上递增,? H (t ) ? H (1) ? 0
? (1 ? t 2 ) ln t ? 2t ? 2
其它证法可参照给分。

?原不等式得证。……………………………………14 分

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