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2.3 直线的参数方程1 课件 (新人教A版必修4-4)


1、参数方程的概念:
探究P21
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 (不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:

y 500

(1)沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动; 对于一般的抛物线,怎样 (2)沿oy反方向作自由落体运动。 建立相应的参数方程呢? 解:物资出舱后,设在时刻 t,水平位移为x, 垂直高度为y,所以

思考:

o

x

? x ? 100t , ? 2 ( g=9.8m/s ) ? 1 2 y ? 500 ? gt . ? ? 2

抛物线的参数方程
设M (x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点, 以射线OM为终边的角记作?。

y

M(x,y)

?

o x y H 因为点M (x,y)在?的终边上,根据三角函数定义可得 ? tan ? . x
2p ? x= , 2 ? ? tan ? 解出x,y得到抛物线(不包括顶点)的参数方程: (? 为参数) ? ? y ? 2p . 1 ? tan? ? 如果设t= ,t ?(-?,0)?(0,+?),则有 tan? ?x=2pt2 , (t为参数) ? 思考:参数t的几何意义是什么? y ? 2pt . ? 当t ? 0时,参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0)。

又设抛物线普通方程为y2 =2px.

?x=2pt2 , 所以, (t为参数,t ? R)表示整条抛物线。 ? ? y ? 2pt.

抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
?x=2pt2 , (t为参数,t ? R) ? ? y ? 2pt.

y

M(x,y)

?
o H x

1 其中参数t= (? ? 0),当? =0时,t=0. tan? 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y

思考:P21
怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程?

一、课题引入
在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何 条件是什么?

根据直线的几何条件,你认为用哪个几何条 件来建立参数方程比较好?
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线

根据直线的这个几何条件,你认为应当怎样 选择参数?

二、新课讲授
设 e是与直线l平行且方向向上( l的倾斜角不为 0 ) 或向右(l的倾斜角为0 )的单位方向向量(单 位长度 与坐标轴的单位长度相 同)
设直线 l的倾斜角为 ?,定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )

(1)如何利用倾斜角 ?写出直线l的单位方向向量 e ?

( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标?
(1) e ? (cos? , sin? )
(2) M 0 M ? ( x, y ) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 )
又 ? M 0 M // e ? 存在惟一实数 t ? R,使得 M0 M ? t e

注:( 1 )直线的参数方程中哪 些是变量?哪些是常量 ? ( 2 )参数t的取值范围是什么? ( 3 )该参数方程形式上有 什么特点?

? x ? 3 ? t sin200 B) ( 1 ) 直 线? ( t为 参 数 ) 的 倾 斜 角 是 ( 0 ? y ? t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
? 2 x ? 1 ? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t 0的 一 个 参 数 方 程 是? 。 2 ?

(2 )直线 x ? y ?1 ?

直线的参数方程中参数 t的几何意义是: t 表示参数t对应的点M 到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时,t取正数;当M 0 M与e异向时, t取负数;当点 M与M 0 重合时,t ? 0.

三、例题讲解
?x ? y ?1 ? 0 2 解:由 得: x ? x ?1 ? 0 (*) ? 如果在学习直线的参数方程之前 ,你会怎样 2 y ? x ? 求解本题呢? ?由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?1 ,x1 ? x2 ? ?1
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 5 ? 10
由(*)解 得 : x1 ? ?1? 5 ?1? 5 ,x2 ? 2 2

3? 5 3? 5 ? y1 ? ,y2 ? 2 2
记 直 线 与 抛 物 线 的 交坐 点标A(

?1? 5 3? 5 ?1? 5 3? 5 , ),B( , ) 2 2 2 2

则 MA ? MB ? ( ?1 ?

?1? 5 2 3? 5 2 ?1? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

( 1 )如何写出直线 l的参数方程?



( 2 )如何求出交点 A,B所对应的参数 t1,t 2 ?


( 3 ) AB 、 MA ? MB 与t1,t 2有什么关系?

( 1 ) M 1 M 2 ? t1 ? t 2

t1 ? t 2 ( 2 )t? 2

四、课堂小结
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推导 及其简单应用, 学习后要把握以下几个 知识点:

( 1 )直线的参数方程与普 通方程 y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 )的联系;

( 2 )直线的参数方程与向 量知识的联系;

( 3 )参数t的几何意义;
( 4 )应用:用参数 t表示点的坐标、直线上 两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的 长,与中点对应的参数 t.

四、课堂练习

P41习题2.3 ? ?1、 3


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