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2014-2015学年度高二第一学期期中考试


2014-2015 学年度高二第一学期期中考试 数学(理)试卷
分值:150 分 时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 不等式

x?2 ? 0 的解集是( x ?1

) C. (??, ?1)

A. (??, ?1)

(?1, 2]

B. (?1, 2]

[2, ??)

D. [?1, 2] )

2. 用火柴棒摆“金鱼”,按照下面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(

① A. 6n ? 2 B. 8n ? 2 3. 在 ?ABC 中,已知 a ? A. 30 ?

② C. 8n ? 2

③ D. 6 n ? 2 )

2 , b ? 2 , B ? 45? ,则角 A ? (
C. 60 ? 或 120?

B. 60 ?

D. 30 ? 或 150? )

数列?bn ? 是等差数列, 且 a7 ? b7 , 则 b5 ? b9 ? ( 4. 已知等比数列?an ? 中有 a3a11 ? 4a7 , A.2 B.4 C.8 D.16

1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( 5.当 x ? 1 时,不等式 x ? ) x ?1 A. ? ??, 2? B. ? 2, ? ? ? C. ?3, ? ? ? D. ? ??, 3?
? 6. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1, an?1 ? 3Sn (n ? N ) ,则 S 6 ? (

)

A. 4 4

B. 4 5

6 C. ? (4 ? 1)

1 3

5 D. ? (4 ? 1)

1 3

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 7. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值 ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 ? 的最小值为 ( ) a b 25 8 11 A. B. C. D. 4 6 3 3 8. 锐角三角形 ?ABC 中,若 A ? 2 B , a , b 分别是角 A, B 所对边,则下列叙述正确的是
为 12 ,则 ( ) ① sin 3B ? sin C A. ①② ② tan

3B C tan ? 1 2 2



?
6

?B?

?
4

④ D.①④

a ? [ 2, 3] b

B. ①②③

C.③④

1

9. 设数列 ?an ? (n ? N * ) 是各项为正数的等比数列, q 是其公比, K n 是其前 n 项的积,且

K5 ? K6 , K6 ? K7 ? K8 ,则下列结论错误的是(
A. 0 ? q ? 1 C. K9 ? K5 B. a7 ? 1

)

D. K 6 与 K 7 均为 K n 的最大值

10. 在 ?ABC 中, A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 等差数列,则( )

1 1 1 依次成 , , tan A tanB tanC

A. a, b, c 依次成等差数列 C. a 2 , b 2 , c 2 依次成等差数列

B. a , b , c 依次成等比数列 D. a 2 , b 2 , c 2 依次成等比数列

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11. 在 R 上 定 义 运 算 是 .
0

a c x 3 2 0 成立,则 x 的集合 ? ad ? bc , 若 ? b d ?x x 1 2

12. 如图所示,从皖西学院上方气球 A 测得正前方的淠河的两岸 B, C 的俯角分别为 60 ,

30 0 ,此时气球的高度是 45m ,则河流的宽度 BC 等于________ m

* 2 2 13. 设函数 f n ( x) ? x ? (n ? n) x (其中 n ? N ) , 区间 I n ? x f n ( x ) ? 0 .把区间 I n 的长

?

?

度记作数列 ?an ? , 令 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , 则 S2014 ? 长度定义为 ? ? ? ) 。

. (注: 区间 (? , ? ) 的

2

14. 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式分别是 an ? a ? (n ?1)d , bn ? a ? (n ?1)d ,若

? a1 ? a3 ? b4 ? 6 ? ,则 a22 ? b22 的最小值为 ?b3 ? ?8 ?a ? b ? 4 ? 6 5

.

15. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ? 的各项按如下规律排列:

1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , 有如下运算和结论: 5 5 5 5 n n n 3 ① a23 ? ; 8 31 ② S11 ? ; 6 ③数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , 是等比数列;
④数列 a1 , a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ? a10 , ⑤若存在正整数 k ,使 Sk ? 10, Sk ?1 ? 10 ,则 ak ?

1 1 2 1 2 3 , , , , , , 2 3 3 4 4 4

的前 n 项和为 Tn ?

n2 ? n ; 4

5 . 7

写出所有你认为是正确运算结果或结论的序号 . 三、解答题: (本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . (1)若 a 、 b 、 c 成等差数列.证明: sin A ? sin C ? 2sin( A ? C ) ; (2)若 a 、 b 、 c 成等比数列.求 cos B 的最小值. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a4 ? 14 ,前 10 项和 S10 ? 185 . (1)求通项公式 an ; (2)将 ?an ? 中的第 2 项,第 4 项,?,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的
n

前 n 项和 Tn .

?x ? 0 ? 18. (本小题满分 12 分) 设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的 ? y ? ? nx ? 3n ?
整点(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为 an (n ? N ) 。
*

(1)求 a1 , a2 的值及 an 的表达式;
3

(2)令 bn ? an .2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 19. (本小题满分 12 分) 已知 a , b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,

(1)求证:

a 2 b2 (a ? b)2 ,并指出等号成立的条件; ? ? x y x? y
2 9 1 ? , x ? (0, ) 的最小值,并指出取最小值时 x 的 x 1? 2x 2

(2)利用以上结论求函数 f ( x) ? 值.

20. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 的边长分别为 a 、b 、c ,S 为 ?ABC 的面积。 (1)若 4S ? a ? b ? c ,求角 C ;
2 2 2

(2)若 4 3S ? a ? b ? c ,试判断 ?ABC 的形状.
2 2 2

21.(本小题满分 14 分) 定义:若递减数列 ?an ? 满足 an?2 ? an?1 ? an (n ? N ? , n ? 3) ,则称 对于缓减数列 ?an ? , 如果函数 y ? ?an ? 为缓减数列,

f ( x) 能使数列 ? f (an )? 仍为缓减数列,

则 称 f ( x ) 为 ?an ? 的 一 个 保 “ 缓 减 ” 函 数 。 已 知 数 列 ?an ? , a1 ? a ?1 ? 0 , 且

an?1 ? kan ? k ?1(k ? 0) , bn ? an ? 1
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 是缓减数列,求 k 的取值范围; (3)若 a ? 1000, k ?

4 , 且函数 y ? lg x 是数列 ?bn ? 的一个保 “缓减” 函数, 问数列 ?bn ? 最 5

多有多少项?( lg 2 ? 0.3 )

4


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