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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练5(含解析)北师大版必修4


双基限时练(五)
一、选择题 1.下列说法不正确的是( )

单位圆与周期性

A. 只有个别的 x 值或只差个别的 x 满足 f(x+T)=f(x)或不满足都不能说 T 是 y=f(x) 的周期 B.所有周期函数都存在最小正周期 C.周期函数的周期不止一个,若 T 是周期,则 kT(k∈N )一定也是周期 D.周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域一定无上界或者无下界 解析 A 正确.只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x)或不满足都不能 π π π ?π π ? ?π π ? 说 T 是 y=f(x)的周期, 例如: sin? + ?=sin , 但是 sin? + ?≠sin .就是说 不 4 3 2 ?4 2? ?3 2? π ? π? 能对 x 在定域内的每一个值都有 sin?x+ ?=sinx,因此 不是 y=sinx 的周期.B 不正 2? 2 ? 确.并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数 f(x)=C(C 为常数)x∈R,当
*

x 为定义域内的任何值时, 函数值都是 C, 即对于函数 f(x)的定义域内的每一个值 x 都有 f(x
+T)=C,因此 f(x)是周期函数,由于 T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小 者,所以 f(x)没有最小正周期.C 正确.D 正确.在周期函数 y=f(x)中,T 是周期,若 x 是定义域内的一个值,则 x+kT 也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集, 而且定义域一定无上界或者无下界.故选 B. 答案 B 2.已知 f(x)为 R 上的周期函数,且周期 T=3,若 f(1)=1,则 f(2014)的值为( A.1 C.3 解析 f(2014)=f(3×671+1)=f(1)=1. 答案 A 3.若角 α 的终边上有一点 P?- A. - 3 2 B.-1 D.670 )

? ?

3 1? , ?,则 sin(α -4π )的值为( 2 2? B. D. 3 2 1 2

)

1 C. - 2 解析 由于 α 的终边上有一点 P?-

? ?

3 1? , ?, 2 2?

1

∴|OP|=

1 3?2 ?1?2 ? ?- ? +?2? =1,∴sinα =2. ? ? ? 2?

1 又 sin(α -4π )=sinα = . 2 答案 D π? ? 4.已知 f(x)=cos?π x+ ?,x∈Z,则 f(x)的值域为( 3? ?
? 1 1? A.?- , ? ? 2 2? ? ? 1 1 ? 3 3? C.?- , ,- , ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?

)

B.?-
? ?

? ?

? 3 3? , ? 2 2 ? ?

? ?1 ? 3? D.? , ? 2? ?2 ? ?

解析 ∵x∈Z,当 x=2n(n∈Z)时,

f(x)=cos?2nπ + ?= , 3
4 ? 1 ? 当 x=2n+1 时,f(x)=cos?2nπ + π ?=- , 3 2 ? ? 1 1 故 f(x)的值域为{- , },答案为 A. 2 2 答案 A 5.设 f(x)(x∈R)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(1)=-1,则 f(11)的值 是( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2

? ?

π? 1 ? 2

解析 由 f(x)为奇函数,得 f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1).又 f(x)的周期为 3, 故 f(11)=f(3×4-1)=f(-1)=1.故选 B. 答案 B 6.已知 f(x)在 R 上为奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( A.0 B.-1 C.1 D.2 )

解析 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x)为周期函数.

T=4,又 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
∴f(6)=f(2)=-f(0)=0. 答案 A 7.sin2580°=( A. - C. 1 2 3 2 ) 1 B. - 2 D. 3 2

2

解析 sin2580°=sin(7×360°+60°)=sin60°= 答案 D 二、填空题 9 ? 11 ? 8.cos π +sin?- π ?=________. 4 ? 6 ? π? π? ? ? 解析 原式=cos?2π + ?+sin?-2π + ? 4? 6? ? ? π π 2 1 1+ 2 =cos +sin = + = . 4 6 2 2 2 答案 1+ 2 2

3 . 2

9.若偶函数 y=f(x)是以 4 为周期的函数,且 f(x)在区间[-6,-4]上是减函数,则

f(x)在[0,2]上的单调性是__________.
解析 ∵周期 T=4 且 f(x)在[-6,-4]上递减,∴f(x)在[-2,0]上也是减函数.又 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,2]上为增函数. 答案 递增 10.满足 sinx= 3 的 x 的集合为________. 2

π 2 答案 {x|x=2kπ + ,或 x=2kπ + π ,k∈Z} 3 3 三、解答题 11.求下列各式的值.

? 31 ? (1)cos?- π ?; ? 4 ?
49 ? 11 ? (2)cos π +sin?- π ?. 6 ? 6 ? 解 π? π 2 ? 31 ? ? (1)cos?- π ?=cos?-8π + ?=cos = . 4? 4 2 ? 4 ? ?

π? π? π π 1+ 3 ? ? (2)原式=cos?8π + ?+sin?-2π + ?=cos +sin = . 6? 6? 6 6 2 ? ? 12. 已知函数 f(x)满足 f(1)=2, 且 f(x+1)=- 求 f(5)的值. 解 ∵f(x+1)=- 1 1 ,∴f(x+2)=- f?x? f?x+1? 1

f?x?

(f(x)≠0)对任意 x∈R 恒成立,

3

∴f(x+2)=- -

1 =f(x). 1 f?x?

∴f(x)的周期为 2. ∴f(5)=f(1)=2. π? ?n 13.设 f(n)=cos? π + ?,n∈Z.求 f(1)+f(2)+…+f(2010)的值. 4? ?2 π? 2 ? 解 当 n=4k(k∈Z)时,f(n)=cos?2kπ + ?= ; 4 2 ? ? 当 n=4k+1(k∈Z)时, π π? 2 ? f(n)=cos?2kπ + + ?=- ;

?

2

4?

2

当 n=4k+2(k∈Z)时,

f(n)=cos?2kπ +π + ?=- 4

? ?

π?

?

2 ; 2

当 n=4k+3(k∈Z)时, 3 π? 2 ? f(n)=cos?2kπ + π + ?= ,

?

2

4?

2

∴f(4k)+f(4k+1)+f(4k+2)+f(4k+3)=0. - 2 ? 2? 故 f(1)+f(2)+…+f(2010)=f(1)+f(2)= +?- ?=- 2. 2 ? 2?

4


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