双基限时练(五)
一、选择题 1．下列说法不正确的是( )

单位圆与周期性

A． 只有个别的 x 值或只差个别的 x 满足 f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说 T 是 y＝f(x) 的周期 B．所有周期函数都存在最小正周期 C．周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(k∈N )一定也是周期 D．周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界 解析 A 正确．只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能 π π π ?π π ? ?π π ? 说 T 是 y＝f(x)的周期， 例如： sin? ＋ ?＝sin ， 但是 sin? ＋ ?≠sin .就是说 不 4 3 2 ?4 2? ?3 2? π ? π? 能对 x 在定域内的每一个值都有 sin?x＋ ?＝sinx，因此 不是 y＝sinx 的周期．B 不正 2? 2 ? 确．并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数 f(x)＝C(C 为常数)x∈R，当
*

x 为定义域内的任何值时， 函数值都是 C， 即对于函数 f(x)的定义域内的每一个值 x 都有 f(x
＋T)＝C，因此 f(x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小 者，所以 f(x)没有最小正周期．C 正确．D 正确．在周期函数 y＝f(x)中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x＋kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集， 而且定义域一定无上界或者无下界．故选 B. 答案 B 2．已知 f(x)为 R 上的周期函数，且周期 T＝3，若 f(1)＝1，则 f(2014)的值为( A．1 C．3 解析 f(2014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1. 答案 A 3．若角 α 的终边上有一点 P?－ A. － 3 2 B．－1 D．670 )

? ?

3 1? ， ?，则 sin(α －4π )的值为( 2 2? B. D. 3 2 1 2

)

1 C. － 2 解析 由于 α 的终边上有一点 P?－

? ?

3 1? ， ?， 2 2?

1

∴|OP|＝

1 3?2 ?1?2 ? ?－ ? ＋?2? ＝1，∴sinα ＝2. ? ? ? 2?

1 又 sin(α －4π )＝sinα ＝ . 2 答案 D π? ? 4．已知 f(x)＝cos?π x＋ ?，x∈Z，则 f(x)的值域为( 3? ?
? 1 1? A.?－ ， ? ? 2 2? ? ? 1 1 ? 3 3? C.?－ ， ，－ ， ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?

)

B.?－
? ?

? ?

? 3 3? ， ? 2 2 ? ?

? ?1 ? 3? D.? ， ? 2? ?2 ? ?

解析 ∵x∈Z，当 x＝2n(n∈Z)时，

f(x)＝cos?2nπ ＋ ?＝ ， 3
4 ? 1 ? 当 x＝2n＋1 时，f(x)＝cos?2nπ ＋ π ?＝－ ， 3 2 ? ? 1 1 故 f(x)的值域为{－ ， }，答案为 A. 2 2 答案 A 5．设 f(x)(x∈R)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f(1)＝－1，则 f(11)的值 是( ) A．－1 B．1 C．2 D．－2

? ?

π? 1 ? 2

解析 由 f(x)为奇函数，得 f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)．又 f(x)的周期为 3， 故 f(11)＝f(3×4－1)＝f(－1)＝1.故选 B. 答案 B 6．已知 f(x)在 R 上为奇函数，且满足 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(6)的值为( A．0 B．－1 C．1 D．2 )

解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)为周期函数．

T＝4，又 f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0. 答案 A 7．sin2580°＝( A. － C. 1 2 3 2 ) 1 B. － 2 D. 3 2

2

解析 sin2580°＝sin(7×360°＋60°)＝sin60°＝ 答案 D 二、填空题 9 ? 11 ? 8．cos π ＋sin?－ π ?＝________. 4 ? 6 ? π? π? ? ? 解析 原式＝cos?2π ＋ ?＋sin?－2π ＋ ? 4? 6? ? ? π π 2 1 1＋ 2 ＝cos ＋sin ＝ ＋ ＝ . 4 6 2 2 2 答案 1＋ 2 2

3 . 2

9．若偶函数 y＝f(x)是以 4 为周期的函数，且 f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则

f(x)在[0,2]上的单调性是__________．
解析 ∵周期 T＝4 且 f(x)在[－6，－4]上递减，∴f(x)在[－2,0]上也是减函数．又 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,2]上为增函数． 答案 递增 10．满足 sinx＝ 3 的 x 的集合为________． 2

π 2 答案 {x|x＝2kπ ＋ ，或 x＝2kπ ＋ π ，k∈Z} 3 3 三、解答题 11．求下列各式的值．

? 31 ? (1)cos?－ π ?； ? 4 ?
49 ? 11 ? (2)cos π ＋sin?－ π ?. 6 ? 6 ? 解 π? π 2 ? 31 ? ? (1)cos?－ π ?＝cos?－8π ＋ ?＝cos ＝ . 4? 4 2 ? 4 ? ?

π? π? π π 1＋ 3 ? ? (2)原式＝cos?8π ＋ ?＋sin?－2π ＋ ?＝cos ＋sin ＝ . 6? 6? 6 6 2 ? ? 12． 已知函数 f(x)满足 f(1)＝2， 且 f(x＋1)＝－ 求 f(5)的值． 解 ∵f(x＋1)＝－ 1 1 ，∴f(x＋2)＝－ f?x? f?x＋1? 1

f?x?

(f(x)≠0)对任意 x∈R 恒成立，

3

∴f(x＋2)＝－ －

1 ＝f(x)． 1 f?x?

∴f(x)的周期为 2. ∴f(5)＝f(1)＝2. π? ?n 13．设 f(n)＝cos? π ＋ ?，n∈Z.求 f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)的值． 4? ?2 π? 2 ? 解 当 n＝4k(k∈Z)时，f(n)＝cos?2kπ ＋ ?＝ ； 4 2 ? ? 当 n＝4k＋1(k∈Z)时， π π? 2 ? f(n)＝cos?2kπ ＋ ＋ ?＝－ ；

?

2

4?

2

当 n＝4k＋2(k∈Z)时，

f(n)＝cos?2kπ ＋π ＋ ?＝－ 4

? ?

π?

?

2 ； 2

当 n＝4k＋3(k∈Z)时， 3 π? 2 ? f(n)＝cos?2kπ ＋ π ＋ ?＝ ，

?

2

4?

2

∴f(4k)＋f(4k＋1)＋f(4k＋2)＋f(4k＋3)＝0. － 2 ? 2? 故 f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＝ ＋?－ ?＝－ 2. 2 ? 2?

4