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2015-2016学年高中数学 第1章 第4课时 诱导公式(一)、三角函数线课件 新人教A版必修4


目标导航 1.会用三角函数线表示一个角的三角函数.(重点) 2.会应用公式一把任意角的三角函数值转化为[0,2π]范围内的角的 三角函数值.(重点)

1 新知识· 预习探究 知识点一 公式一 阅读教材 P14,完成下列问题. sin(α+2kπ)= sinα cos(α+2kπ)= cosα tan(α+2kπ)= tanα 其中 k∈Z. 终边相同的角的同一三角函数的值 相等.

【思考】 根据公式一, 终边相同的角的同一三角函数的值相等, 反过来,同一三角函数值相等时,角是否一定为终边相同的角呢? 1 【提示】不一定.如 sin30° =sin150° = . 2

【练习 1】 求值:sin810° +cos360° -tan1 125° =________.

解析:sin810° +cos360° -tan1 125° =sin(90° +2×360° )+cos(0° +360° )-tan(45° +3×360° ) =sin90° +cos0° -tan45° =1+1-1=1. 答案:1

知识点二 三角函数线 阅读教材 P15 最后两自然段~P17,完成下列问题. 下面图中有向线段 MP,OM,AT 分别表示 sinα、cosα 和 tanα.

(1)

(2)

(3)

(4)

【练习 2】 如图所示,P 是角 α 的终边与单位圆的交点,PM ⊥x 轴于 M,AT 和 A′T′均是单位圆的切线,则角 α 的( )

A.正弦线是 PM,正切线是 A′T′ B.正弦线是 MP,正切线是 A′T′ C.正弦线是 MP,正切线是 AT D.正弦线是 PM,正切线是 AT

解析:α 为第三象限角,故 MP=sinα,OM=cosα,AT=tanα. 答案:C

2 新视点· 名师博客 三角函数线的应用 三角函数线的应用的实质是数形结合思想的应用,作三角函数 线的前提是作单位圆. (1)比较三角函数值的大小 分三步:①角的位置标注清楚;②比较三角函数线的有向线段 的长度;③确定有向线段的正负.

(2)解三角不等式 解形如 f(α)≤m 或 f(α)≥m(|m|≤1)的三角不等式时, 在直角坐标 系及单位圆中, 标出满足 f(α)=m 的两个角的终边(若 f(α)=sinα, 则 角的终边是直线 y=m 与单位圆的两个交点与原点的连线;若 f(α) =cosα,则角的终边是直线 x=m 与单位圆的两个交点与原点的连 线;若 f(α)=tanα,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正 切值相同),根据三角函数值的大小,找出 α 在 0~2π 内的取值,再 加上 k·2π(k∈Z). (3)几何法证明三角不等式 三角函数线是三角函数的几何特征,利用单位圆中的三角函数 线作出直观的图形,往往使有些不等式的证明一目了然,突出数形 结合的优势.

3 新课堂· 互动探究 考点一 诱导公式(一)的应用 例 1 计算下列各式的值: (1)sin(-1395° )cos1110° +cos(-1020° )sin750° ; ? 11π? 12π ? ? (2)sin - +cos ·tan4π. 6 ? 5 ?

分析:将相关角表示为 α+2kπ 或 α+k· 360° (k∈Z)的形式,进 而转化为 α∈[0,2π)或 α∈[0° , 360° ), 利用特殊角的三角函数值求解. 解析: (1)原式=sin(-4×360° +45° )cos(3×360° +30° )+cos(- 3×360° +60° )sin(2×360° +30° ) =sin45° cos30° +cos60° sin30° 2 3 1 1 6 1 1+ 6 = × + × = + = . 2 2 2 2 4 4 4 ? ? π? 2π? (2)原式=sin?-2π+6?+cos?2π+ 5 ?·tan(4π+0) ? ? ? ? π 2π 1 =sin +cos ×0= . 6 5 2 点评: 利用公式一可将负角或大于 2π 的角的三角函数化为 0~ 2π 之间的角的同名三角函数,实现了“负化正,大化小”.

变式探究 1 求下列各式的值. ? 15 ? 25 (1)cos π+tan?- 4 π?; 3 ? ? (2)sin810° +tan765° -cos360° .
? ? π? π? 解析:(1)原式=cos?8π+ ?+tan?-4π+ ? 3? 4? ? ?

π π 1 3 =cos +tan = +1= ; 3 4 2 2 (2) 原式= sin(2×360° + 90° ) + tan(2×360° + 45° ) - cos(360° + 0° )=1+1-1=1.

考点二 利用三角函数线比较大小 2π 4π 2π 例 2 分别作出 和 的正弦线、 余弦线和正切线, 并比较 sin 与 3 5 3 4π 2π 4π 2π 4π sin ,cos 与 cos ,tan 与 tan 的大小. 5 3 5 3 5

分析:作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边;比较三 角函数值的大小时需依据三角函数线的长度和正负. 解析:在直角坐标系中作单位圆如图,以 Ox 轴正方向为始边 2π 作 的终边与单位圆交于 P 点,作 PM⊥Ox 轴,垂足为 M.由单位 3 圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 轴的垂线与 OP 的反向延长线交于 T 2π 2π 2π 点,则 sin =MP,cos =OM,tan =AT. 3 3 3 4π 同理,可作出 的正弦线、余弦线和正切线, 5 4π 4π 4π sin =M′P′,cos =OM′,tan =AT′. 5 5 5

由图形可知,MP>M′P′,符号相同, 2π 4π 则 sin >sin ; 3 5 2π 4π OM>OM′,符号相同,则 cos >cos ; 3 5 AT<AT′,符号相同, 2π 4π 则 tan <tan . 3 5 点评:比较三角函数值的大小时,一般分三步: (1)角的位置要“对号入座”; (2)比较三角函数线的有向线段的长度; (3)确定有向线段的正负.

π π 变式探究 2 设 <α< ,试比较角 α 的正弦线、余弦线和正 4 2 π 3π 切线的长度.如果 <α< ,上述长度关系又如何? 2 4

π π 解析:如图,当 <α< 时,角 α 的正弦线为 MP,余弦线为 4 2 OM,正切线为 AT,显然在长度上,AT>MP>OM;

π 3π 当 <α< 时,角 α 的正弦线为 M′P′,余弦线为 OM′, 2 4 正切线为 AT′,显然在长度上,|AT′|>|M′P′|>|OM′|.又因为 AT′,OM′为负的,M′P′为正的,∴M′P′>OM′>AT′.

考点三 利用三角函数线解三角不等式 例 3 利用单位圆中的三角函数线, 分别确定角 θ 的取值范围. 3 1 3 (1)sinθ≥ ;(2)- ≤cosθ< . 2 2 2

分析:作出三角函数在边界的正弦、余弦线,然后观察角在什 么范围内变化,再根据范围区域写出 θ 的取值范围. 解析:(1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围,即 2kπ π 2π + ≤θ≤2kπ+ ,k∈Z. 3 3 2 (2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围, 即 2kπ- π≤θ 3 π π 2 <2kπ- 或 2kπ+ <θ≤2kπ+ π, 6 6 3 k∈Z.

(1)

(2)

点评:用三角函数线求解简单的三角不等式的注意事项: (1)熟悉角 θ 的正弦线、余弦线、正切线; (2)先找到“正值”区间,即 0~2π 间满足条件的角 θ 的范围, 然后再加上周期; (3)注意区间是开区间还是闭区间.

变式探究 3 利用单位圆中的三角函数线分别确定角 x 的取值 范围. 1 3 3 (1)cosx≥ ;(2)- <sinx< . 2 2 2

1 解析:(1)如图.∵cosx≥ , 2

? π π? ∴x∈?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z). 3 3? ?

(2)如图.

3 3 ∵- <sinx< . 2 2 ? π π? ? 2π 4π? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?∪?2kπ+ 3 ,2kπ+ 3 ? ? ? ? ? ? π π? (k∈Z).即 x∈?kπ-3,kπ+3?(k∈Z). ? ?

4 新思维· 随堂自测 25π 1.sin 的值为( ) 6 1 A. 2 1 C.- 2

3 B. 2 3 D.- 2

答案:A

π 2.已知 α= +2kπ(k∈Z),则 cos2α 的值为( 6 3 1 A. B. 2 2 1 3 C.- D.- 2 2

)

答案:B

3.已知 α(0<α<2π)的正弦线和余弦线相等,且符号相同,那么 α 的值为( ) 3π π 5π 7π A. 或 B. 或 4 4 4 4 π 5π π 7π C. 或 D. 或 4 4 4 4

答案:C

4.sin240° 的值为( ) 3 1 A. B. 2 2 1 3 C.- D.- 2 2

3 解析:sin240=sin(180° +60° )=-sin60° =- ,故选 D. 2 答案:D

5.把 sin1、cos1、tan1 按从小到大顺序排列为________.

解析:如右图,作出 1 rad 的正弦线 MP、余弦线 OM 和正切线 AT.比较大小可知:OM<MP<AT.所以 sin1、cos1、tan1 从小到大 排列顺序为 cos1、sin1、tan1. 答案:cos1、sin1、tan1

5 辨错解· 走出误区 易错点:利用三角函数线解题时,忽略正切线的起点而致错 4π 4π 【典例】 比较 sin 与 tan 的大小. 7 7

4π 【错解】 在直角坐标系中作出角 的正弦线与正切线,如图 7 所示,

4π 4π 由图易知 sin <tan . 7 7 【错因分析】 上述解法在画正切函数线时,将起点画在了点 (-1,0),事实上无论角在什么象限,角对应的正切线都是以点(1,0) 为起点的.

4π 【正解】 的正弦线与正切线的正确作法如图所示, 7 4π 4π 由图易知,sin >0,tan <0, 7 7 4π 4π ∴sin >tan . 7 7 【反思】 一定要灵活掌握各种三角函数线的正确作法,特别 要注意正切函数线的作法.


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