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【新课标I版】地区2015届高三数学(理)一轮复习参考试题:概率和统计


概率和统计
2015 2014 2 2013 2 2012 2

1【2014 新课标 I 版(理)5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( A. )

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

【答案】D 2【2013 新课标 I 版(理)3】为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学 生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情 况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ). B.按性别 分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

A.简单随机抽样 【答案】 :C

3【2012 新课标 I 版(理)15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或 元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布 N(1 000,50 ),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使 用寿命超过 1 000 小时的概率为__________.
2

【答案】

3 8

4【2014 新课标 I 版(理)18】 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结 果得如下图频率分布直方图:

(I)求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 x 和样本方差 s (同一组的数据用该组区间

2

的中点值作代表) ;
2 (II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 N ? , ? ,其中 ? 近似为

?

?

样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2 2

(i)利用该正态分布,求 P ?187.8 ? Z ? 212.2? ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位 于区间 ?187.8, 212.2? 的产品件数.利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ? 12.2
2 若 Z ~ N ? , ? 则 P ? ? ? ? ? Z ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

?

?

P ? ? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 。
【答案】 (I)200,150 (II)0.6826 (ii)68.26
2

(I)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33
?2 1 0? 0 . 2? 4
=200

2? 20

0? . 0 8 ?2 3 0

0.02

s2 ? (?30)2 ? 0.02 ? (?20)2 ? 0.09 ? (?10)2 ? 0.22
?0 ? 0.33 ? 102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02 ? 150.
?6 分 (II) (i)由(I)知, Z ~ N (200,150) ,从而 ?

P(187.8 ? Z ? 212.2) =P(200 ?12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826.
??9 分 (ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6, 依题意知 X-B(100,0.682 6),所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26. 12 分 5【2013 新课标 I 版(理)19】(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案 是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从 ??

这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批 产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能 通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 【答案】 (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A 1 。第一次取出的 4 件产品全是优 质品为事件 A2 ,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1 ,第一次取出的 1 件产品为事 件 B2 ,这批产品通过检验为事件题意有 A= ( A 1B 1 与 A2 B2 互斥,所以 1B 1 )与? A 2 B2 ? , 且 A

1 ,且各件产 2

P( A) ? P ? A1B1 ? ? P ? A2 B2 ?
? P( A1 ) P( B1 \ A1 ) ? P( B2 \ A2 )
4 1 1 1 ? ? ? 16 16 16 2 3 ? 64 ?
(2)X 的可能取值为 400、500、800;

P ( X ? 400) ? 1 ?
X P

1 1 4 1 11 ? ? , P ( X ? 500) ? , P ( X ? 800) ? ,则 X 的分布列为 16 4 16 16 16
400 500 800

11 16

1 16

1 4

EX ? 400 ?

11 1 1 ? 500 ? ? 800 ? ? 506.25 16 16 4

6【2012 新课标 I 版(理)18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场 购进若干枝玫瑰花,然 后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,

n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量 n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望 及方差; ②若花店计划 一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 【答案】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为
X P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ?1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝
错误!未指定书签。 . (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)在长度为 3 的线

段上随机取两点,将其分成三条线段,则恰有两条线段的长大于 1 的概率为 A.





2 3

B.

5 9

C.

1 9

D.

1 3

【答案】A 错误!未指定书签。 . (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学(理)试题)如图,设 D

是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y=x 图象下方的点构成的区域.向 D 中随机
2

投一点,则该点落入 E 中的概率为 A.

( C.



1 5

B.

1 4

1 3

D.

1 2

【答案】C 错误!未指定书签。 . (河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考数学(理科)

试题) 已知平面区域

.
2

在区域 D1 内随机选取一点 P , 则点 P 恰好取自区域 D 的概率是 A.
【答案】C 错误!未指定书签。 . (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学(理)试题)已知随





B.

C.

D.

机变量 ? 服从正态分布 N (4, ? 2 ) ,若 P(? ? 8) ? 0.4 ,则 P(? ? 0) ? A.0.3
【答案】B 错误!未指定书签。 . (河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知





B.0.4

C.0.6

D.0.7

随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ 2),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0 .2 【答案】C
错误!未指定书签。 . (河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)在回





归分析中,代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 2 A.总偏差平方和 B.残差平方和 C.回归平方和 D.相关指数 R 【答案】B 、 (河南省安阳市 2014 届高三第一次调研)已知随机变量 x,y 的值如右表所示:如果 y 与 x 线性相关且回归直线方程为 y=bx+





7 ,则实数 b= 2
x y 2 5 3 4 4 6

1 2 1 C.- 10
A.-

1 2 1 D. 10
B.

答案:B 、 (河南省开封市 2014 届高三第一次模拟考试)

答案:C
错误!未指定书签。 . (河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题)2008 年 5

月 12 日,四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震.在随后的几天中,地震专家对汶川地区 发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表: 强度(J) 震级(里氏) 1.6×10 5.0
19

3.2×10 5.2

19

4.5×10 5.3

19

6.4×10 5.4

19

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

注:地震强度是指地震时释放的能量 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以 选用 y=algx+b(其中 a,b 为常 数).利用散 点图可知 a 的 值等于 __________.(取 lg2=0.3)
【答案】

2 3

错误!未指定书签。 . (河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题)若样本数据

1,2,3, x , 6,6 的中位是 4,则 x =____ ___. 【答案】5
错误!未指定书签。 . (河北省张家口市蔚县一中 2014 届高三一轮测试数学试题)某射手在一

次射击中击中 10 环的概率为 0.24,中 9 环的概率为 0.28,中 8 环的概率为 0.19,求这次 射击中射手击中不够 8 环 的概率. 【答案】设一次射击中射击 10 环,9 环、8 环的事件分别为 A、B、C.显然 A、B、C 互斥, 则 A+B+C 为大于等于 8 环的事件而小于 8 环这一事件与(A+B+C)为对立事件,记 击中不 够 8 环 的 事 件 为 D; ∴ P( D) ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? (0.24 ? 0.28 ? 0.18) ? 1 ? 0.71 ? 0.29 .
错误!未指定书签。 . (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)从某校高三上学期

期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成绩得到频率分布直方图如下:

(I)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分; (II)以上述样本的频率作为概率,从该校高三学生中有放回地抽取 3 人,记抽到的学生 成绩不低于 90 分的人数为 X;求 X 的分布列和期望. 【答案】(Ⅰ)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100 +0.0125×20×120+0.0025×20×140=92 (Ⅱ)样本中成绩不低于 90 分的频率为 0.0150×20+0.0125×20+0.0025×20=0.6, 所以从该校高三学生中随机抽取 1 人,分数不低于 90 分的概率为 0.6 由题意,X~B (3,0.6),P (X=k)=C30 .6 0.4 (k=0,1,2,3), 其概率分布列为:
k k
3-k

X P X 的期望为 E (X)=3×0.6=1.8.

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

12 分

错误!未指定书签。 . (河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题)甲,乙

两人进行乒乓球比赛,约定 每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ? 知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时比赛的 局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .
【答案】解:(1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,

1 ) ,且各局胜负相互独立.已 2

5 . 9

第二局比赛结束时比赛停止 学科网,故 解得 (2)依题意知 ξ 的所有可能取值为 2,4,6, 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 ,

,

若该轮结束时比赛还将继续,则甲.乙在该轮中必是各得一分,

此 时 , 该 轮 比 赛 结 果 对 下 轮 比 赛 是 否 停 止 没 有 影 响 , 从 而 有

, 则随机变量 ξ 的分布列为:


错误! 未指定书签。 . (河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学 (理) 试题)为了了解 《中

华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门组织了一次知识竞赛 , 现随机抽取了某校 20 名学生的测试成绩,得到如图所示茎叶图:

(1)若测试成绩不低于 90 分,则称为“优秀成绩”,求从这 20 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“优秀成绩”的概率; (2)以这 20 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数较多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望.
【答案】(1)解:优秀成绩:4 人;设:优秀成绩 人数为 X,至多一人成绩优秀为事件 A,

P( A) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ?

3 2 1 C16 C16 ? C4 52 ? ? 3 3 57 C20 C20

(2)解:由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率 P ?

1 5

? 所有可能的取值为 0,1,2,3 ?
P
0 1
1 4 2 1 C3 ( ) ( ) 5 5

2
1 4 1 2 C3 ( )( ) 5 5

3

4 C30 ( ) 3 5

1 C33 ( )3 5

错误!未指定书签。 . (河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)有一种

密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明 文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第 二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组 成.

密码字符 11 12 13 14 明文字符 E F G H 第二排 密码字符 21 22 23 24 明文字符 M N P Q 第三排 密码字符 1 2 3 4 设随机变量 ξ 表示密码中不同数字的个数. (1)求 P(ξ =2); (2)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 【答案】解:(1)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码 的第 1,2 列分别总是 1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码.
科网 ZXXK][来源:Zxxk.Com]

第一排

明文字符
科网]

[来源:学

A

B

[来

源:Z.xx.k.Com]

C

D

[来源:学

23 1 ∴P(ξ =2)= 3 = 4 8
(2)由题意可知 ξ 的取值为 2,3,4 三种情形. 若 ξ =3,注意表格的第一排总含有数字 1,第二排总含有数字 2,则密码中只可能取数字 1,2,3 或 1,2,4. 3 3 2×(3 -2 ) 19 ∴P(ξ =3)= = 3 4 32 1 2 2 2 A3 A2 +A3 A2 9 1 19 9 若 ξ =4,则 P(ξ =4)= = 或 P(ξ =4)=1- - = , 3 4 32 8 32 32 ∴ξ 的分布列为: ξ 2 3 4 P 错误! 错误! 错误! 1 19 9 101 ∴E(ξ )=2× +3× +4× = 8 32 32 32
错误!未指定书签。 . (河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考数学(理科)试 题)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生

活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,这两族人数占各自小 区总人数的比例如下:

(1)从 A , B , C 三个社区中各选一人,求恰好有 2 人是低碳族的概率;

(2)在 B 小区中随机选择 20 户,从中抽取的 3 户中“非低碳族”数量为 X,求 X 的分布列 和期望 EX.
【答案】解:(1)记这 3 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A

P( A) ?
(2) 在

1 4 1 1 1 2 1 4 2 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 3 2 5 3 2 5 3 15
B 小 区 中 随 机 选 择
3 3? k C4 C10 ,( k ? 0,1, 2,3) 3 C20

20

户 中 ,“ 非 低 碳 族 ” 有

4

户, P ( X ? k ) ?

X P

0

1

2

3

28 57

8 19

8 95

1 285

EX ? 0 ?

28 8 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.6 57 19 95 285

2、 (河南省安阳市 2014 届高三第一次调研) 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学 生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 : 2 : 3, 其中第 2 小组的频 数为 12. (Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数; (Ⅱ) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数 据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很 多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤 的学生人数,求 X 的分布列和数学期望. 答案: 解: (1)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,则由条件可得:

p2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 解得 p1 ? 0.125 , p2 ? 0.25, p3 ? 0.375 ? ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1 12 又因为 p 2 ? 0.25 ? ,故 n ? 48 ????????6 分 n
(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为

p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ?

5 ??????8 分 8 k 5 k 3 3? k 所以 x 服从二项分布, p( x ? k ) ? C3 ( ) ( ) 8 8

? 随机变量 x 的分布列为:

x
p

0

1

2

3

27 135 225 125 512 512 512 512 5 15 27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 则 Ex ? 0 ? (或: Ex ? 3 ? ? )?12 分 8 8 512 512 512 512 8


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