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2014-2015第一学期东城区高三数学期末数学统练理科带答案


东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
(1)已知集合 A ? {0,1} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A (A) {0,1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限
2

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

B?

(B) {0,1, 2} (D) {x | 0 ? x ? 2}

i 对应的点位于 1+ i
(B)第二象限 (D)第四象限

(3)设 a ? R ,则“ a ? a ”是“ a ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? 4 ,则 S11 等于 (A) 12 (C) 22 (B) 18 (D) 44
输入 开始

n

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k
k ? n?
否 输出 S 是

(5)当 n ? 4 时,执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 (A) 6 (B) 8 (C) 14 (D) 30

S
结束

?log 1 x, x ? 0, 1 ? 3 (6)已知函数 f ( x ) ? ? 若 f (a ) ? ,则实数 a 的取值范围是 2 x ? ? 2 , x ? 0,
(A) (?1,0) (C) (?1, 0)

( 3, ??)
( 3 , ??) 3

(B) (?1, 3) (D) ( ?1,

3 ) 3

1

(7) 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标为分别为 (0, 0, 2) ,(2, 2, 0) ,(0, 2, 0) ,(2, 2, 2) .画 该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为投影面,则得到正视图可以为

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上.若存在圆 C 上的点 Q ,使得 ,则 x0 的取值范围是 ?OPQ ? 45 ( O 为坐标原点) (A) [0,1] (B) [0,

8 ] 5

(C) [ ?

1 ,1] 2

(D) [ ?

1 8 , ] 2 5

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到其准线的距离为 1 ,则该抛物线的方程为 .

? x ? y ? 1 ? 0, ? (10)若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 3x ? y 的最大值为_______. ? x ? 3, ?
(11)在△ ABC 中, a ? 3 , b ? 13 , B ? 60 ,则 c ? _______. (12)已知向量 a , b 不共线,若( ? a ? b )∥( a ? 2b ) ,则实数 ? ? _______. (13)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数.若 f (1) ? 1 , 则 f (8) ? f (9) ? . ;△ ABC 的面积为

(14)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形,

PD ? AD ? 2 , M , N 分别为线段 AC 上的点.若 ?MBN ? 30? ,则三棱锥
M ? PNB 体积的最小值为
.
P

D M A N B

C

2

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 最大值和最小值.
y
1

? ) 部分图象如图所示. 2

? ? 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的图象, 求函数 g ( x) 在区间 [0, ] 上的 6 2

?? 3

o
?1

?? 12

x

(16) (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列,满足 a2 ? 3 , a5 ? 6 ,数列 {bn ? 2an } 是公比为 3 等比数列,且 b2 ? 2a2 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(17) (本小题共 14 分) 如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2 BC ? 2 , M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC ,并求

PD 的值. PC
C

A M P

D B

3

(18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ln x ?

2 2 , g ( x) ? ?2a ln x ? ,其中 a ? R . x x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 x ? [ , e ] ,使得不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求 a 的取值范围.
2

1 e

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, 过 P 作斜率为 为定值.

3 . 2

1 B 两点, 的直线 l 交椭圆 C 于 A , 求证: | PA |2 ? | PB |2 2

(20) (本小题共 13 分) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) ,定义“ T 变换” : T 将数列 A 变换成数列 B : b1 , b2 , b3 ,其中 ,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当 bi ?| ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) ,且 b3 ? | a3 ? a1 | .继续对数列 B 进行“ T 变换” 得到的数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问数列 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的各数列; 若不能,说明理由; (Ⅱ) 设数列 A : a1, a2 , a3 , 对数列 A 进行 “ T 变换” , 得到数列 B : b, 2, a (a ? b) , 若数列 B 的各项之和为 2014 , 求 a , b 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值,并说明理 由.

4

东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)D (2)A (6)D (3)B (7)A (4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) y 2 ? 2 x (12) ? (10) 11 (13) 1 (11) 4 , 3 3 (14)

1 2

4(2 ? 3) 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 ? ? 2 . 因为 | ? |?

T 2? ?? ? ? ? ? ,T ? ? . 4 3 12 4

????2 分

当x ?

2? 2? ? ? ) ? ?1 , 时, f ( x) ? ?1 ,可得 sin(2 ? 3 3
????5 分

? ? ,所以 ? ? . 2 6

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ?

? ). 6

??????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 6

? 个单位长度得到 6

? ? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 的图象,所以 g ( x) ? sin(2 x ? ) . ??10 分 6 6 6 6
因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ? (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由 a2 ? 3 , a5 ? 6 得 6 ? 3 ? 3d .解得 d ? 1 .

? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 3 6 2

? ? 1 ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .?13 分 6 6 2

所以 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 3 ? (n ? 2) ? n ? 1 . 所以数列 {an } 的通项公式为: an ? n ? 1, n ? N .
*

由于 {bn ? 2an } 是公比为 3 等比数列,且 b2 ? 2a2 ? 9 , 所以 bn ? 2an ? (b2 ? 2a2 ) ? 3n?2 ? 3n . 从而 bn ? 2an ? 3n ? (2n ? 2) ? 3n , n ? N* .??6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2an ? 3n ? (2n ? 2) ? 3n .数列 {2n ? 2} 的前 n 项和为 n(n ? 3) ,

5

数列 {3n } 的前 n 项和为 (17) (共 14 分)

3 n 3 (3 ? 1) . 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 3n ? (3n ? 1) .?13 分 2 2
AB ? A ,

解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC .因为 BC ? AB , PA 所以 BC ? 平面 PAB .所以 AM ? BC .因为 PA ? AB , M 为 PB 的中点, 所以 AM ? PB .又 PB

BC ? B

所以 AM ? 平面 PBC .???????5 分

(Ⅱ)如图,在平面 ABC 内,作 AZ ∥ BC ,则 AP, AB, AZ 两两互相垂直, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .

z
C

D
A B
P
M

y

x
则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0, 2,0), C (0, 2,1) , M (1,1, 0) .

AP ? (2,0,0) , AC ? (0, 2,1) , AM ? (1,1,0) .
设平面 APC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 .所以 n ? (0,1, ?2) . 由(Ⅰ)可知 AM ? (1,1,0) 为平面 BPC 的法向量,设 n, AM 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 因为二面角 A ? PC ? B 为锐角,所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 (Ⅲ)设 D (u, v, w) 是线段 PC 上一点,且 PD ? ? PC(0 ? ? ? 1) . 即 (u ? 2, v, w) ? ? (?2, 2,1) . 所以 BD ? (2 ? 2?, 2? ? 2, ? ) . 因为 (18) (共 14 分) 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ? 所以 u ? 2 ? 2?, v ? 2?, w ? ? . 由 BD ? AC ? 0 ,得 ? ?

? ?n ? AP ? 0, ? ?n ? AC ? 0,

,即 ?

? x ? 0, ?2 y ? z ? 0.

10 . 10

10 .????10 分 10

4 . 5

4 PD 4 ? [0,1] ,所以在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC .此时, ? ? ? .?14 分 5 PC 5

(ax ? 1)( x ? 2) .??????2 分 x2

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f '(1) ? ?1 , f (1) ? 0 .

6

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .??5 分 (Ⅱ) f '( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) , x ? (0, ??) . x2 (ax ? 1)( x ? 2) 1 1 ? 0 ,得 x1 ? 2 , x2 ? ? 2 . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a
1 a 1 a

当0 ? a ?

所以在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . 当a ? 当a ?

1 a

1 a

( x ? 2) 2 1 f '( x ) ? 时, .故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2 x2
(ax ? 1)( x ? 2) 1 1 1 ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 2 ? . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a a
1 a

所以在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) .?10 分 (Ⅲ)由题意存在 x ? [ , e ] ,使不等式 ax ? (2a ? 1) ln x ?
2

1 a

1 a

1 a

1 e

2 2 ? ?2a ln x ? 成立, x x

即存在 x ? [ , e ] ,使 a ?
2

1 e

ln x ln x 1 2 成立,只需 a 大于或等于 在区间 [ , e ] 的最小值. x x e
在区间 ( , e) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为增函数;

令 h( x ) ?

ln x 1 ? ln x , h '( x) ? . x x2

1 e

在区间 (e,e2 ) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为减函数. 所以 h( x) 在 [ , e ] 的最小值为 h ( ) 与 h(e 2 ) 中的较小者. 所以 h( x) 在 [ , e ] 的最小值为 h( ) ? ?e .所以 a ? ? e .
2

1 e

2

1 e

1 2 h( ) ? ?e , h(e 2 ) ? 2 , e e

1 e

1 e

所以 a 的取值范围为 [?e, ??) . (19) (共 13 分) 解(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

????14 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? x2 3 ?c C a ? 2 ? y 2 ? 1.????5 分 由题意知 ? ? ,解得 .所以椭圆 的标准方程为 4 2 ?a ?b ? 1 ?
(Ⅱ)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ?

1 ( x ? m) . 2

7

1 ? y ? ( x ? m), ? ? 2 由? 2 消 y 得 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*) . ? x ? y 2 ? 1, ? ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根,

m2 ? 4 所以 x2 ? x2 ? m , x1 x 2 ? . 2
2 2 所以 | PA | 2 ? | PB | 2 ? ( x1 ? m) 2 ? y1 ? ( x2 ? m) 2 ? y2

1 1 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 4 4

5 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4
5 2 ? [ x12 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] 4

5 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4
5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) . 4
所以 | PA | 2 ? | PB | 2 为定值. (20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)数列 A : 2, 6, 4 不能结束. 各数列依次为 4, 2, 2 ; 2,0, 2 ; 2, 2,0 ; 0, 2, 2 ; 2,0, 2 ;?? 从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形. ?4 分 ????????????13 分

(Ⅱ)因为 a ? b ,所以 a 是数列 B 中最大项.所以有 a1 ? a2 ? a3 或 a3 ? a2 ? a1 .

?b ? a1 ? a2 ? 当 a1 ? a2 ? a3 时,可得 ? 2 ? a2 ? a3 ,因为数列 B 的各项和为 2014 ,所以 a ? b ? 2 ? 2014 . ?a ? a ? a 1 3 ?
又 a ? b ? 2 ,得 a ? 1007 , b ? 1005 .另一情况相同. ????8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,数列 B : b, 2, b ? 2 经过 6 次“ T 变换”后可得: b ? 12, 2, b ? 10 , 得到形如“ b' , 2, b' ? 2 ”的数列,其中最大项减少 12 . 因为 1007 ? 12 ? 83 ? 11 , 所以数列 B 经过 6 ? 83 ? 498 次变换后变为: 9, 2,11 . 继续变换得: 7,9, 2 ; 2,7,5 ; 5, 2, 3 ; 3,1, 2 ; 2,1,1 ; 1, 0,1 ;

1,1, 0 ; 0,1,1 ; 1, 0,1 ;??;以下重复出现.
故经过 498 ? 6 ? 504 次变换后,使得数列各项之和最小. 即 k 的最小值为 504 . ????13 分

8


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