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2017-2018学年人教A版高中数学选修1-2习题:第二章2.2-2.2.1第1课时综合法 Word版含答案


第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 综合法和分析法 2.2.1 第 1 课 时综合法 A 级 基础巩固 一、选择题 1. 在下列函数 f(x)中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)” 的是( ) 1 A.f(x)= x x B.f(x)=(x-1) 2 C.f(x)=e D.f(x)=ln(x+1) 1 1 解析:由题设知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,由 f(x)= ,得 f′(x)=- 2<0,所以 x x f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x 答案:A 1-x 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( 1+x A.b C. 1 B.-b D.- 1 ) 1 b b 解析:f(x)定义域为(-1,1), f(-a)=lg 答案:B 1+a ?1-a?-1=-lg1-a=-f(a)=-b. =lg? ? 1-a 1+a ?1+a? 3.命题“如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n -3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成 立( ) A.不成立 C.不能断定 B.成立 D.与 n 取值有关 2 解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-5 又 a1=S1=2×1 -3×1=-1 适合上式. 2 ∴an=4n-5(n∈N ),则 an-an-1=4(常数) 故数列{an}是等差数列. 答案:B 4.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( A.lg(1+a )>0 C.a +3ab>2b 2 2 2 2 2 * ) B.a +b ≥2(a-b-1) D. < 2 2 a a+1 b b+1 2 2 2 2 解析: 在 B 中, 因为 a +b -2(a-b-1)=(a -2a+1)+(b +2b+1)=(a-1) +(b+1) ≥0,所以 a +b ≥2(a-b-1)恒成立. 答案:B 5.在△ABC 中,已知 sin Acos A=sin Bcos B,则该三角形是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 ) 2 2 解析:由 sin Acos A=sin Bcos B 得 sin 2A=sin 2B, π 所以 2A=2B 或 2A=π -2B,即 A=B 或 A+B= .所以该三角形是等腰或直角三角形. 2 答案:D 二、填空题 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=x -xln x 求导,得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区 间(0,1)上是增函数”,应用了________的证明方法. 解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系,经推理论证得到了结 论,所以应用的是综合法的证明方法. 答案:综合法 7.角 A,B 为△ABC 内角,A>B 是 sin A>sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充 要”或“即不充分又不必要”). 解析:在△ABC 中,A>B?a>b 由正弦定理 = ,从而 sin A>sin B. sin A sin B 因此 A>B?a>b?sin A>sin B,为充要条件. 答案:充要 8.已知 p=a+ 1 2 (a>2),q=2-a +4a-2(a>2),则 p,q 的大小关系为________. a-2 1 1 =(a-2)+ +2≥2 a-2 a-2 (a-2)· 1 +2=4, a-2 a b 解析:因为 p=a+ 又-a +4a-2=2-(a-2) <2 (a>2), 所以 q=2-a +4a-2<4≤p. 答案:p>q 三、解答题 1 1 9.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证: + ≥4. 2 2 2 a b 证明:因为 a>0,b>0 且 a+b=1, 1 1 a+b a+b b a 所以 + = + =2+ + ≥2+2 a b a b a b b a · =4. a b 当且仅当 = ,即 a=b 时,取等号, 1 1 故 + ≥4. b a a b a b 10.设函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0),若函数 y=f(x+1)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对 2 ? 1? 称,求证:函数 y=f?x+ ?为偶函数. ? 2? 证明:∵函数 y=f(x)与 y=f(x+1)的图象关于 y 轴对称. ∴f(x+1)=f(-x) 1 则 y=f(x)的图象关于 x= 对称 2 ∴- b 2a 1 = ,∴a=-b. 2 a ? 1?2 2 则 f(x)=ax -ax+c=a?x- ? +c- 4 ? 2? a ? 1? 2 ∴f?x+ ?=ax +c- 为偶函数. 4 ? 2? B 级 能力提升 1.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负 解析:由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上 的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 答案:A 2.已知 sin x= 5 ?π 3π ? ? π? ,x∈? , ?,则 tan?x- ?=________. 2 ? 4? 5 ?2 ? 解析:∵sin x= 5 ?π 3π ?,∴cos x=- ,x∈? , 2 ? 5 ?2 ? 4 , 5 1 ? π ? tan x-1=-3. ∴tan x=- ,∴tan?x- ?= 4 ? 1+tan x 2 ? 答案:-3 3.

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