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山东省临沂市临沭县2013届高三下学期摸底考试数学(文)试题


高三数学试题(文)
参考公式:

V ?
三棱锥的体积公式

1 sh 3 ,其中 s 表示三棱锥的底面面积, h 表示三棱锥的高.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 在复平面内,复数 i(1 ? i) ( i 是虚数单位)对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限 )

N ? ? M =( U 2.设全集是 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? 1, 2,3}, N ? {4,5,6}, 则
A.{2} B.{2,4,5,6} C.{1,2,3,4,6} D.{4,6}

? 2 x x ? ( ??, 2] f ( x) ? ? ?log 2 x x ? (2, ??) , 则满足 f ( x) ? 4 的 x 的值是 ( 3. 设函数
A. 2 B. 16 C. 2 或 16 D. ?2 或 16

)

4.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为( A. 6 3 B.8 C. 8 3 D.12



? 3 ? 1 1 a ? (sin x, ),   (    cos x ), b? ,      ? ? 4 3 2 5. 设向量 且 a // b ,则锐角 x 为
( )

? A. 6

? B. 4

? C. 3

5 ? D. 12
) 开始 k=0 S= 10 否

6.某程序框图如图所示,该程序运行输出的 k 的值是 ( A.4 B.5 C.6 D.7

7. 已知等差数列

{an } 中, a3 , a15 是方程 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 的两根, 则


a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 等于(
A. 18 C. 15 B. ?18 D. 12

S> 0 ? 是 S = S-2k
·1·

输出 k 结束

k=k+ 1

8. 如果实数

x, y 满足:

?x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ?

,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为(



A.2

5 B. 2

C. 3

7 D. 2

9. 两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于
?

a km , 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20? , 灯塔 B
) km

在观察站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( A. a B.

2a
2

C. 2 a
2

D.

3a


10.直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 和圆 x ? y ? 2 y ? 0 的关系是( A.相离 B.相交 C.相交或相切 D.相切

y?
11.函数

lg | x | x 的图象大致是(



a ? 1, f ( x) ? x2 ? a x  当 x ? (?1, 1)          时均有 12. 已知 a ? 0 且 ,
( )

f ( x) ?

1   2 , 则实数 a 的取值范围是

1 (0 , ] ? [2, ?) ? 2 A. 1 [   ? (1, 2] ,1)   C. 2

1 [   ? (1, 4] , 1)   B. 4 1 (0,  ] ? [4, ?? )   4 D.

·2·

数 学 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 注意事项: 第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或中性笔直接答在试题卷中,答卷前将密封线内的项目填写好. 三 题号 得分 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.等差数列 二 17 18 19 20 21 22 总分 复核人

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若
. 进 则

a2 ? 1, a3 ? 3, 则 S4=

14.对某校 400 名学生的体重(单位: kg ) 行统计,得到如图所示的频率分布直方图, 学 生 体 重 在 为 60 kg 以 上 的 人 数 .

?(a ? 3) x ? 5, x ? 1 ? f ( x ) ? ? 2a ? x , x ?1 ? 15.已知函数 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是

.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与 b 16. 已知点 F1、F2 分别是椭圆 a
椭圆交于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

? ? ? ? a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1. 已知向量
(1)求 f ( x ) 的最小正周期;

x ?[ , ] 6 2 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值. (2)当

?

?

·3·

18. (本小题满分 12 分) 双胞胎姐弟玩数字游戏,先由姐姐任想一个数字记为 a ,再由弟弟猜姐姐刚才想的数字,把 弟弟想的数字记为 b ,且 a, b ? {1, 2,3, 4,5,6}. (1)求姐弟两人想的数字之差为 3 的概率; (2)若姐弟两人想的数字相同或相差 1,则称“双胞胎姐弟有心灵感应” ,求“双胞胎姐弟有心 灵感应”的概率.

19.(本小题满分 12 分)
x a S 已知点(1,2)是函数 f ( x ) = a ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象上一点,数列{ n }的前 n 项和 n = f (n) ? 1 .

(1)求数列{ (2)若

an }的通项公式;

bn ? nan ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .

·4·

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. P (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积. F

A

E

D
C

B

21. (本小题满分 13 分)

x2 y2 6 ? 2 2 b =1( a ? b ? 0 )的离心率为 3 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . 已知椭圆 C: a
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设不与坐标轴平行的直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 2 ,求△ AOB 面积的最大值.

·5·

22. (本小题满分 13 分)

f ( x) ?
已知函数

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d 3 ,设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 ,

f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
(1)求 f ( x ) ; (2)设

g ( x) ? x f ?(x) ,求函数 g ( x) 在 [0, m] (其中 m ? 0 )上的最大值;

? (3)设 h(x) ? ln f ( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数 t 的取
值范围.

·6·

高三数学(文)(参考答案) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 B 11 D 12 C

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.

8

; 14. 100;

15. (0, 2] ;

16.

3 3 ;

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ?1 ……………………………1 分
2

? 3sin 2x ? cos 2x
? 2sin(2 x ? ) 6 .

…………………………………………2 分

?

……………………………………………4 分 …………………………………6 分

? f ( x) 的最小正周期是 ? .

?? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ? (2)由 f ( x) ? 1, 得

…………………………8 分

? ? ? ? 7? ? 5? x ?[ , ] 2x ? ?[ , ] 2x ? ? 6 2 ,∴ 6 2 6 6 6 ∵ ∴
x?


……10 分

?
3
……………………………………………………12 分

18(本小题满分 12 分) 解: (1)所有基本事件为: (1,1)(2,2)(2,3)(4,4)(5,5)(6,6) , , , , , (1,2)(2,1)(1,3)(3,1)(1,4)(4,1)(1,5)(5,1)(1,6)(6,1) , , , , , , , , , (1,3)(3,1)(2,4)(4,2)(3,5)(5,3)(4,6)(6,4) , , , , , , , , (1,4)(4,1)(2,5)(5,2)(3,6)(6,3) , , , , , ,
·7·

(1,5)(5,1)(2,6)(6,2) , , , , (1,6)(6,1) , ,共计 36 个. ???………………………???2 分 记“两人想的数字之差为 3”为事件 A, ???……………???3 分 事件 A 包含的基本事件为: (1,4)(4,1)(2,5)(5,2)(3,6)(6,3) , , , , , ,共计 6 个. ????4 分

? P ( A) ?

6 1 ? . 36 6
????………………??6 分

1 . ∴两人想的数字之差为 3 的概率为 6

(2)记“两人想的数字相同或相差 1”为事件 B, ??……????7 分 事件 B 包含的基本事件为: (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6) , , , , , (1,2)(2,1)(1,3)(3,1)(1,4)(4,1) , , , , , , (1,5)(5,1)(1,6)(6,1) , , , ,共计 16 个. ???……???10 分

? P( B) ?

16 4 ? . 39 9
???……………???12 分

4 . ∴“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率为 9

19. (本小题满分 12 分) 解:(1)把点(1,2)代入函数 f(x)=ax 得 a=2, 所以数列{an}的前 n 项和为 Sn=f(n)-1=2n-1. ????????2 分 当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,???????????5 分 对 n=1 时也适合.∴an=2n-1. ????????????????6 分 (2)由于 bn=n an,所以 bn=n· 2n-1. ?????7 分 Tn=1· 20+2· 21+3· 22+…+n· 2n-1,① 2Tn=1· 21+2· 22+3· 23+…+(n-1)· 2n-1+n· 2n②?????9 分 由①-②得:-Tn=20+21+22+…+2n-1-n· 2n,???????10 分 所以 Tn=(n-1)2n+1. ???????????????????12 分 20.(本小题满分 12 分) 证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG 1 P // 2 CD ∴ 为△CDP 的中位线 ∴ FG FG ∵ 四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点 1 // ∴ AB 2 CD ∴ FG
F G

//

AE ?????2 分
·8·
B

E

A C

D

∴ 四边形 AEGF 是平行四边形

∴ AF∥ EG 又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE ∴ AF∥ 平面 PCE ………………………4 分 (2)∵PA⊥ 底面 ABCD ∴ PA⊥ AD,PA⊥ CD,又 AD⊥ CD,PA ? AD=A ∴ CD⊥ 平面 ADP 又 AF ? 平面 ADP ∴ CD⊥ AF 直角三角形 PAD 中,∠ PDA=45° ∴ PAD 为等腰直角三角形 △ ∴ PA=AD=2 ∵ 是 PD 的中点 F ∴ AF⊥ PD,又 CD ? PD=D ∴ AF⊥ 平面 PCD ???????????????????????6 分 ∵ AF∥ EG ∴ EG⊥ 平面 PCD 又 EG ? 平面 PCE 平面 PCE⊥ 平面 PCD ………………………?????????…… 8 分 (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE PA 是三棱锥 P-BCE 的高,…………………??????????…… 9 分 Rt△BCE 中,BE=1,BC=2,…………………??????????……10 分 ∴ 三棱锥 C-BEP 的体积

1 1 1 1 1 2 S?BCE ? PA ? ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1? 2 ? 2 ? 3 2 3 2 3 ?… 12 分 VC-BEP=VP-BCE= 3
21(本小题满分 12 分)

?c 6 , ? ? 3 ?a ? a ? 3, 解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ?
x2 ? y2 ? 1 ∴ b ? 1 ,∴ 所求椭圆方程为 3 .………………………???…… 5 分
(2)设

A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .

3 ?坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2

m

? 1? k

2

?

3 3 m2 ? (k 2 ? 1) 2 ,得 4 .………………?…?…???…… 6 分
·9·

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,
2 2 2

3(m 2 ? 1) ?6km ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 3k ? 1 , 3k 2 ? 1 .…?…???…???…???… 8 分

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2 ?…??????????…9 分
12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? ?4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k .…?…… 11 分
9k 2 ?
当且仅当 所以,

1 3 k ?? 2 k ,即 3 时等号成立.


AB max ? 2

1 3 3 S ? ? AB max ? ? 2 2 2 .…?????… 13 分 所以, △ AOB 面积的最大值
22. (本小题满分 14 分)
2 ? ? ? 解: (1) f ( x) ? x ? 2bx ? c , ? f (2 ? x) ? f ( x) ,

? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 .???………?2 分 ? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ?3 .

f ( x) ?


1 3 x ? x2 ? x ? 3 3 . ??????……………………?????5 分
2 2

? (2) f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ?1) ,
? x 2 ? x, x ? 1, ? g ( x) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ? 2 ? x ? x , x ? 1. ????6 分 ?
2

y

2 1
?1

O

1

1? 2 2

2 x

·10·

x2 ? x ?
其图像如图所示.当

1 1? 2 x? 4 时, 2 ,根据图像得:

0?m?
(ⅰ)当

1 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m 2 ;…?7 分

1 1 1? 2 ?m? 2 时, g ( x) 最大值为 4 ;…?8 分 (ⅱ)当 2

m?
(ⅲ)当

1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m 2 ? m .?9 分

(3)方法一:

h( x) ? ln( x ?1)2 ? 2ln x ?1



h( x ?1 ? t ) ? 2ln x ? t



h(2x ? 2) ? 2ln 2x ?1



? 当 x ? [0, 1] 时, 2x ?1 ? 2x ?1 , ? 不等式 2ln x ? t ? 2ln 2x ?1 恒成立等价于 x ? t ? 2x ? 1 且 x ? t 恒成立,……11 分


x ? t ? 2x ? 1

恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3x ? 1 恒成立,

当 x ? [0, 1] 时, 3x ? 1? [1, 4] , ? x ? 1? [?2, ?1] ,

? ?1 ? t ? 1
又 x ? [0, 1] 且 x ? t

? 实数 t 的取值范围是 ( ?1,0) ???????????13 分
方法二: (数形结合法) 作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像, 像为线段 AB (如图) , 其图

y

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 , ? 要使不等式 x ? t ? 2x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,
必须 ?1 ? t ? 1, ?????????????11 分

4B 3 2 A 1
? 2 ?1O

1

2 3 4 x

又? 当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,
·11·

因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 .??????13 分
2 {x x ? 1} 方法三:? h( x) ? ln( x ? 1) , h( x) 的定义域是 ,

? 要使 h( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立, ? x ? [0, 1] ,?t ?[0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1 .①
由 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 得 ( x ? t ) ? (2 x ? 1) ,
2 2

即 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立,???????11 分
2 2

令 ? ( x) ? 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t , ? ( x) 的对称轴为
2 2

x??

2?t 3 ,

2?t ? ? 2?t ? 2?t ? 1, ? 0, ?0 ? ? ? 1, ?? ?? 3 ? 3 ? ? 3 ?? ? (4 ? 2t )2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ?? (1) ? 0 ?? (0) ? 0 则有 ? 或? 或?
解得 ?1 ? t ? 1. ②

综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 .???????13 分

·12·


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