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高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-9函数模型及其应用教师用书


【2019 最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基 本初等函数 I2-9 函数模型及其应用教师用书

1.几类函数模型

函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型

函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) f(x)=kx+b (k,b 为常数且 k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

2.三种函数模型的性质

函数 性质

y=ax (a>1)

y=logax (a>1)

y=xn (n>0)

在(0,+∞) 上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

随 x 的增大逐渐表 图象的变化
现为与 y 轴平行

随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行

随 n 值变化而各有不同

值的比较

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

【知识拓展】

1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数

形如 f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:

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(1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,] 上单调递减. (2)当 x>0 时,x=时取最小值 2, 当 x<0 时,x=-时取最大值-2. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压 降价,若按九折出售,则每件还能获利.( √ ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在 x0,使 ax0< <logax0.( × ) x0n (4)在(0,+∞)上,随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并 远远大于 y=xa(a>0)的增长速度.( √ ) (5)“指数爆炸”是指数型函数 y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长 速度越来越快的形象比喻.( × ) 1.(教材改编)已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y= alog3(x+1),设这种动物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们发展到( ) A.100 只 B.200 只 C.300 只 D.400 只 答案 B 解析 由题意知 100=alog3(2+1), ∴a=100.∴y=100log3(x+1), 当 x=8 时,y=100log39=200. 2.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度
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h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为( )

答案 B

解析 根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为 B.

3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p,第二年的

增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A.

B. +

+ -1 2

C.

D.-1

答案 D

解析 设年平均增长率为 x,则(1+x)2=(1+p)(1+q),

∴x=-1.

4.(2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并

且每生产一单位产品,成本增加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数

Q 的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润 L(Q)的最大值是________万元.

答案 2 500

解析 L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000=-Q2+30Q-2 000=-(Q-

300)2+2 500.

当 Q=300 时,L(Q)的最大值为 2 500 万元.

题型一 用函数图象刻画变化过程

例 1 (1)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一

段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象

是( )

(2)(2016·临安中学模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,

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我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测, 这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种方案 的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输 效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) 答案 (1)C (2)B 解析 (1)小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越 近,故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排 除 D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除 B.故选 C. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜 率应该逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选 B. 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型, 再结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变 量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排 除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲 地到乙地用了 20 分钟,在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返 回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其 所用的时间 x 的函数图象为( ) 答案 D 解析 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,应
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随时间增大而增大,故排除 A,C;又因为小王在乙地休息 10 分钟, 故排除 B,故选 D. 题型二 已知函数模型的实际问题 例 2 (1)某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费 (元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最 大为________kg. (2)一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地 匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后 发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只 有开始时的八分之一. 答案 (1)19 (2)16 解析 (1)由图象可求得一次函数的解析式为 y=30x-570,令 30x- 570=0,解得 x=19. (2)当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae-8b=a, ∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即 y=ae-bt= a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则 t=24, ∴再经过 16 min. 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.
(2015·四川)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度
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x(单位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,

k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃

的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时.

答案 24

解析 由题意得∴e22k==,∴e11k=,∴x 当=33 时,y=e33k+b

=(e11k)3·eb=3·eb=×192=24.

题型三 构造函数模型的实际问题

命题点 1 构造二次函数模型

例 3 (2016·富阳中学模拟)某城市对一种售价为每件 160 元的商品

征收附加税,税率为 R%(即每销售 100 元征税 R 元),若年销售量为(30

-R)万件,要使附加税不少于 128 万元,则 R 的取值范围是( )

A.[4,8]

B.[6,10]

C.[4%,8%]

D.[6%,10%]

答案 A

解 析 根 据 题 意 得 , 要 使 附 加 税 不 少 于 128 万 元 , 需 (30 -

R)×160×R%≥128 , 整理 得 R2- 12R+ 32≤0,解 得 4≤R≤8 , 即

R∈[4,8].

命题点 2 构造指数函数、对数函数模型

例 4 光线通过一块玻璃,强度要损失 10%.设光线原来的强度为 k,

通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y.

(1)写出 y 关于 x 的函数解析式;

(2)至少通过多少块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下?

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(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 解 (1)光线通过 1 块玻璃后,强度 y=(1-10%)k=0.9k; 光线通过 2 块玻璃后,强度 y=(1-10%)·0.9k=0.92k; 光线通过 3 块玻璃后,强度 y=(1-10%)·0.92k=0.93k; …… 光线通过 x 块玻璃后,强度 y=0.9xk. 故 y 关于 x 的函数解析式为 y=0.9xk(x∈N*). (2)由题意,得 0.9xk<, 即 0.9x<,两边取对数,得 xlg 0.9<lg. 因为 lg 0.9<0,所以 x>. 又===≈13.14, 且 x∈N*,所以 xmin=14. 故至少通过 14 块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下. 引申探究 通过 20 块这样的玻璃后,光线强度约为多少? 解 ∵y=0.9xk, ∴当 x=20 时,y=0.920k≈0.12k, 故通过 20 块这样的玻璃后,光线强度约为 0.12k. 命题点 3 构造分段函数模型 例 5 某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按 每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,
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另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6

元,则此次出租车行驶了________ km.

答案 9

解析 设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,

则 y=???98, +0<x≤3,-
??8+2.15×5+

+1,3<x≤8, - +1,x>8,

由 y=22.6,解得 x=9.

思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件

和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函

数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.

(1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到

0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减

少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员

血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,此人至少经过________

小时才能开车.(精确到 1 小时)

(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修

费为 20 000 元,每天需要房租、水电等费用 100 元,受经营信誉度、

销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x 的关

系是 R(x)=则总利润最大时,该门面经营的天数是________.

答案 (1)5 (2)300

解析 (1)设经过 x 小时才能开车.

由题意得 0.3(1-25%)x≤0.09,

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∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.∴x 最小为 5.

(2)由题意,总利润

y=???400x-12x2-100x-



??60 000-



当 0≤x≤400 时,y=-(x-300)2+25 000,

所以当 x=300 时,ymax=25 000,

当 x>400 时,y=60 000-100x<20 000.

综上,当该门面经营 300 时,总利润最大为 25 000 元.

2.函数应用问题

典例 (14 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本

为 40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万美元.设公司一年内共

生产该款手机 x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为 R(x)万美元,

且 R(x)=?????470x04-00-6x, 40x02<0x0≤0,4x0,>40.

(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式;

(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最

大?并求出最大利润.

思维点拨 根据题意,要利用分段函数求最大利润.列出解析式后,

比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.

规范解答

解 (1)当 0<x≤40 时,W=xR(x)-(16x+40)

=-6x2+384x-40,

[3 分]

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当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)

=--16x+7 360.

所以 W=

[6 分]

(2)①当 0<x≤40 时,W=-6(x-32)2+6 104,

所以 Wmax=W(32)=6 104;

[8 分]

②当 x>40 时,W=--16x+7 360,

由于+16x≥2 =1 600,

当且仅当=16x,

即 x=50∈(40,+∞)时,取等号,

所以 W 取最大值为 5 760.

[12 分]

综合①②知,

当 x=32 时,W 取得最大值 6 104 万美元.

[14

分]

解函数应用题的一般程序

第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;

第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的

数学模型;

第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论;

第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义;

第五步:(反思)对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结

果对实际问题的合理性.

1.在某个物理实验中,测得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表:

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x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00

则对 x,y 最适合的拟合函数是( )

A.y=2x

B.y=x2-1

C.y=2x-2

D.y=log2x

答案 D

解析 根据 x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除 A;

根据 x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除 B、C;

将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意.

2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越

来越快,后 3 年年产量保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C

与时间 t(年)的函数关系图象正确的是( )

答案 A

解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有 A,

C 图象符合要求,而后 3 年年产量保持不变,故选 A.

3.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获

利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是( )

A.118 元

B.105 元

C.106 元

D.108 元

答案 D

解析 设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%·a,解得

a=108.

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4.(2016·宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:

每位职工每月用水不超过 10 m3 的,按每立方米 m 元收费;用水超过

10 m3 的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m 元,则该职工

这个月实际用水为( )

A.13 m3

B.14 m3

C.18 m3

D.26 m3

答案 A

解析 设该职工用水 x m3 时,缴纳的水费为 y 元,由题意得 y=

??



?

??10m+ -



则 10m+(x-10)·2m=16m,

解得 x=13.

5.(2016·北京××区统考)设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生

产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员

工中分流 x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品 B 的生产.分流

后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础

上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人

数是( )

A.15

B.16

C.17

D.18

答案 B

解析 由题意,分流前每年创造的产值为 100t(万元),分流 x 人后,

每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

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则由???0<x<100,x∈N*,

??







解得 0<x≤.

因为 x∈N*,所以 x 的最大值为 16.

6.(2017·奉化检测)某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的

汽车,在 A 地的销售利润(单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x2,在 B 地

的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆),若

该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是

()

A.10.5 万元

B.11 万元

C.43 万元

D.43.025 万元

答案 C

解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆,则在 B 地销售该品牌的

汽车(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2

+2.1x+32=-0.1(x-)2+0.1×+32.

因为 x∈[0,16]且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大值

43 万元.

7.(2016·杭州模拟)某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病

毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y

表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖为

________个.

答案 2ln 2 1 024

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解析



t=0.5

时,y=2,∴2=,

1k
e2

∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,

当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024.

8.(2016·金华模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积

最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为________m.

答案 20

解析 设内接矩形另一边长为 y,

则由相似三角形性质可得=,

解得 y=40-x,

所以面积 S=x(40-x)=-x2+40x

=-(x-20)2+400(0<x<40),

当 x=20 时,Smax=400.

9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的

专家发现,该种鸟类的飞行速度 v(单位:m/s)与其耗氧量 Q 之间的关

系为 v=a+blog3(其中 a、b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时

候其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速度为

1 m/s.

(1)求出 a、b 的值;

(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至

少要多少个单位?

解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗

氧量为 30 个单位,故有 a+blog3=0,

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即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s,故 a+blog3=

1,整理得 a+2b=1.

解方程组得???a=-1,
??b=1.
(2)由(1)知,v=-1+log3.所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则有

v≥2,即-1+log3≥2,即 log3≥3,解得 Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量

至少要 270 个单位.

10.经市场调查,某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间

t(天)的函数,且销售量近似地满足 f(t)=-2t+200 (1≤t≤50,

t∈N).前 30 天价格为 g(t)=t+30(1≤t≤30,t∈N),后 20 天价格

为 g(t)=45 (31≤t≤50,t∈N).

(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系;

(2)求日销售额 S 的最大值.

解 (1)依题意得

S=??? -2t+
?? -2t+

???21t+30???









即 S=???-t2+40t+
??-90t+







(2)①当 1≤t≤30,t∈N 时,S=-(t-20)2+6 400,

∴当 t=20 时,S 取得最大值为 6 400.

②当 31≤t≤50,t∈N 时,

S=-90t+9 000 为递减函数,

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∴当 t=31 时,S 取得最大值为 6 210.

综合知,当 t=20 时,日销售额 S 有最大值 6 400.

*11.(2016·东阳模拟)某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一

场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为 x 元时,销售量可达到

15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,

将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价

格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例

系数为 10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货

价格,问:

(1)每套丛书售价定为 100 元时,书商能获得的总利润是多少万元?

(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?

解 (1)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15-0.1×100=5(万

套),此时每套供货价格为 30+=32(元),书商所获得的总利润为

5×(100-32)=340(万元).

(2)每套丛书售价定为 x 元时,由???15-0.1x>0,
??x>0,
解得 0<x<150.

依题意,单套丛书利润 P=x-(30+)=x--30,

所以 P=-[(150-x)+]+120.

因为 0<x<150,所以 150-x>0,

则(150-x)+≥2

- ·15100-0 x

=2×10=20,

当且仅当 150-x=,

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即 x=140 时等号成立, 此时,Pmax=-20+120=100. 所元以.每套丛书售价定为 140 元时,单套丛书的利润最大,最大值为 100
网络改变世界 教学目标: 1.能够并乐于进行网络交往,享受健康的带来趣2.在生活中更好地利用网络 3.网络的作用,警惕中陷阱 自主学习: 1.互联网给我们的生活带来了哪些便利?2络 对社会的影响? 3.网络中有哪些陷阱?4怎样预防谣言 合作探究:材料一:小明和父母说,他希望家里有电脑能上网的爸“络不是什么好东西都 假的,骗人而且孩子小没什么自控能力很容易玩游戏上瘾我不赞成买电脑网。”妈说:“络使增长见识获得更多及时信息还用来校学习培养主性再了以后越普他懂会怎和别交流适应社呢?看好 赞成。” 问题一:小明的父母说有道理么? 问题二:你怎么看待上网这件事? 问题三:你知道网络的那些作用? 当堂反馈: 1.近日,菏泽市曹县人民法院对利用信息网络实施诽谤案进行宣判以罪处被告李某有期徒刑二年。据悉这是山东省首例虚假发帖恶意他的件此看正确()A.网络上的言论自由可以不受限制B我国公民享有是真实 的 C.行使权利和自由不能超出法律允许的范围D公民在网络上发表言论 2.随着Wi-F网络和移动支付的普及,每到一地必连已经成了许多智能手机用户习惯。不过在015央视3晚 会上,几位工程师利用伪造Wi-F技术窃看了台下观众的网内容邮箱及密码“准确” 被盗取并在大屏幕上向家展示,让许多人对公共场所Wi-F的安全性产生了担忧。这启我们() A.免费Wi-F风险大,远离网络避伤害B手机支付要减少财产安全永无忧 C.免费Wi-F好处多,省钱实用速度快 D.免费Wi-F要慎用,保护隐私很重 3.在互联网时代,①网络给了我们自由飞翔的翅膀②交往快捷便利是无可比拟 网络为我们展开了一个全新的、无限广阔交往空间。积极作用体现在() ③网络是一个平等开放的台④交往无限制 A.①②③B④CD 4.当你上网见到类似“点击这里,轻松赚取10万”加人X一个月3只付元贏利之的诱广告时正确判断和选择是() A.信息无价,机会难得要及时抓住遇 B.要冷静分析上述信息,区真伪以免当受骗C.看到这些信息时,马上公安机关报案 D.大胆尝试,积极合 作,也许能赚到钱 5.在互联网时代,我们进入了一个全新的、广阔 交往空间。我们可以利用网络() ①刷微博,关注好友动 态②上网店买日用品 ③关注国家消息,心大 事④发布虚假消息 A.①②③B④CD6.网络是一把双刃剑。作为个普通的民,我们应该() ①为了避免伤害,拒绝上网 ②自觉抵御网络上的不良诱惑 ③利用网络优势,努力学习 ④遵守法律和道德,文明上网 A.①②③B④CD7.2015年月,福建泉州警方破获了一起 网络虚假信息诈骗案,犯罪嫌疑人张某利用聊天工具发布超低 价出售全新正品iphone6手机的虚假信息,以各种名目骗取网友汇款共计人民币1875元被判处有期徒刑4年个月并罚金万责令退赔诈所得赃。 (1)该案例反映了网络交往中存在的什么问题? (2)上述问题对我们进行网络交往有什么警示?
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