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高中数学:2.2 空间向量及其运算 教案(北师大版选修2-1)




题:空间向量及其运算(一)

教学目的: 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算 2.用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 教学重点:空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律 教学难点:用向量解决立几问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节,空间向量及其运算共有 4 个知识点:空间向量及其线性运算、共线向量与共面向 量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点,有了第一大节空间平行 概念的基础, 我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的 主要目的是,解决一些立体几何问题,所以例习题的编排也主要是立体几何问题 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、 面平行和面、 面平行概念,这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行,学生要时刻牢记,现在研 究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移, 两个不平行向量确定的平面已 不是一个平面, 而是互相平行的平行平面集, 要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运 算律这样做,一方面复习了平面向量、学习了空间向量,另一方面可加深学生的空间观念 当我们把平面向量推广到空间向量后, 很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间: 共 线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理 推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式, 我们就可以很方便地使用向量工具解 决空间的共线和共面问题 在学习共线和共面向量定理后,我们学习空间最重要的基础定理:空间向量基本定理, 这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了,整个空间被 3 个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x,y,z)建立起一一对应关系本 节的最后一个知识点是, 两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是 让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度, 内积的几个运算性质教材中没有证明 学生基础好的学校可在教师的指导下,由学生自己证明 教学过程: 一、复习引入: 1 向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向? (2)向量的表示:几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y) ?(3)向量的 长度:即向量的大小,记作| a |? (4)特殊的向量:零向量 a = 0 ? | a |=0

??? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?单位向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 ?
(5)相等的向量:大小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ?

?

?

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

?用心

爱心

专心

(6)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量记作 a ∥ b 由于向量可以 进行任意的平移(即自由向量), 平行向量总可以平移到同一直线上, 故平行向量也称为共线 向量? 2 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示 和性质 ?

?

?

?
运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 几何方法 坐标方法 运算性质

a?b ?b?a
1 平行四边形法则 2 三角形法则

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC
a ? b ? a ? (?b)

三角形法则

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

??? ? ??? ? AB ? ? BA

??? ??? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB

向 量 的 乘 法

? (?a) ? (?? )a
1 ? a 是一个向量,满足: 2 ? >0 时, ? a 与 a 同向; ? <0 时, ? a 与 a 异向; ? =0 时, ? a =0

?a ? (?x, ?y)

(? ? ? )a ? ?a ? ?a

? (a ? b) ? ?a ? ?b
a ∥ b ? a ? ?b
a?b ? b?a

向 量 的 数 量 积

a ? b 是一个数 1 a ? 0 或 b ? 0 时, a ? b =0 2 a ? 0 且 b ? 0 时,

(?a) ? b ? a ? (?b) ? ? (a ? b)

a?b ? x1 x2 ? y1 y2

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

a ? b ?| a || b | cos(a, b)

a 2 ?| a |2 | a |? x 2 ? y 2
| a ? b |?| a || b |

3 重要定理、公式: (1)平面向量基本定理?

? ? e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一
对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 (2)两个向量平行的充要条件?

?

?

?

? ? ? ? a ∥ b ? a =λ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ?
?用心 爱心 专心

(3)两个向量垂直的充要条件?

? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ?
(4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 ? 所成的比为λ ,即 P P =λ PP ,则? 2 1

??? ?

????

??? ? 1 ???? 1 ???? OP = OP (线段的定比分点的向量公式)? OP + 2 1 1? ? 1? ?
? ?x ? ? ? ?y ? ? ? x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式)? y1 ? ?y 2 . 1? ?

当λ =1 时,得中点公式:?

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 , ??? 1 ???? ???? ? ? OP = ( OP + OP )或 ? 2 1 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
(5)平移公式 设 点 P( x, y) 按 向 量 a ? (h, k ) 平 移 后 得 到 点 P?( x?, y ?) , 则 OP? = OP + a 或

?

????

??? ?

?

? x? ? x ? h, ? , 曲 线 y ? f (x) 按 向 量 a ? (h, k ) 平 移 后 所 得 的 曲 线 的 函 数 解 析 式 为 : ? ? y ? ? y ? k.
y ? k ? f ( x ? h)
(6)正、余弦定理? 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

二、讲解新课: 1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
?用心 爱心 专心

2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如图)

b C b O a a B b A

??? ??? ??? ? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ??? ??? ??? ? ? ? ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

??? ? ? OP ? ?a(? ? R)
D' A' B' C'

? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

a
D

? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

C

?

?

?

?

A

B

3.平行六面体: ? 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体,并 记作:ABCD- A ?B ?C ?D ? 它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱 三、讲解范例: 例 1 已知平行六面体 ABCD- A ?B ?C ?D ? 化简下列向量表达式,标出化简结果的向量. ⑴ AB ? BC ; ⑶ AB ? AD ? 解:如图: ⑴ AB ? BC ? AC ; ⑵ AB ? AD ? AA? = AC ? AA? ? AC? ; ⑶设 M 是线段 CC ? 的中点,则 AB ? AD ?

??? ??? ? ?

⑵ AB ? AD ? AA? ;
A'

??? ???? ???? ?

D' B' G C

C'

??? ???? ?

? ? 1 ???? 1 ??? ???? ???? CC ? ; ⑷ ( AB ? AD ? AA?) 2 3

M

??? ??? ? ?

??? ?

D

? ??? ???? ???? ??? ???? ?

???? ?

A

B

? ? ? 1 ???? ???? ???? ???? CC ? ? AC ? CM ? AM ; 2 ? ? 1 ??? ???? ???? 1 ???? ???? ⑷设 G 是线段 AC ? 的三等份点,则 ( AB ? AD ? AA?) ? AC ? ? AG 3 3 ??? ???? ???? ???? ? ? ? 向量 AC, AC?, AM , AG 如图所示:
例 2 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列 各表达式,并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ; (2) AB ? 解:如图,

??? ???? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

? ? ???? 1 ??? ???? ? 1 ??? ??? ( BD ? BC ) ; (3) AG ? ( AB ? AC ) . 2 2

A

(1) AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ;
B
?用心 爱心 专心

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

????

D M C G

? ? ??? 1 ??? 1 ??? ? ? ? 1 ??? ??? ( BD ? BC ) ? AB ? BC ? BD 2 2 2 ??? ???? ???? ???? ? ? ? ? AB ? BM ? MG ? AG ; ???? 1 ??? ???? ???? ???? ???? ? ? ? (3) AG ? ( AB ? AC ) ? AG ? AM ? MG . 2
(2) AB ? 四、课堂练习: 1.如图,在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AD 与 BC 的中点,

??? ?

? 1 ??? ???? ( AB ? DC ) . 2 ??? ??? ???? ??? 1 ???? ???? 1 ??? ? ? ? ? 证明: EF ? ED ? DC ? CF ? AD ? DC ? CB A 2 2 ? ? ???? 1 ??? ? 1 ??? ??? E ? ( AB ? BD) ? DC ? CB 2 2 ? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? AB ? DC ? (CB ? BD) D B 2 2 F ? ? C 1 ??? ???? 1 ??? ? AB ? DC ? CD 2 2 ??? ???? ? 1 ? ( AB ? DC ) 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知 2x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ,把向量 x, y 用向量 a, b , c 表示 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解:∵ 2x ? 3 y ? ?3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ x ? ?3a ? 2b ? c , y ? a ? b ? 2c D' ??? ? ? 3.如图,在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,设 AB ? a , ???? ? ???? ? B' A' AD ? b , AA? ? c , E , F 分别是 AD?, BD 中点, ???? ??? ? ? ? ? ? E (1)用向量 a, b , c 表示 D?B, EF ; ??? ???? ??? ????? ???? ? ? ? (2)化简: AB ? BB? ? BC ? C?D? ? 2D?E ; ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? C D 解: (1) D?B ? D?A? ? A?B? ? B?B ? ?b ? a ? c F ??? ??? ??? ??? 1 ???? ? 1 ??? ? ? ? ? ? B A EF ? EA ? AB ? BF ? D?A ? a ? BD 2 2 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? (?b ? c ) ? a ? (?a ? b ) ? (a ? c ) 2 2 2
求证: EF ? 五、小结 :空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法;平行六面体的概念; 向量加法、减法和数乘运算 A 六、课后作业:如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的 ???? 1 ??? ???? ???? ? 重心求证: AG ? ( AB ? AC ? AD) 3 七、板书设计(略) 八、课后记: B C G D

??? ?

C'

?用心

爱心

专心


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