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推荐学习K12高中数学奥赛系列辅导资料 函数奥赛竞赛练习教案


推荐学习 K12 资料 函数奥赛竞赛练习 一、选择题 1.(2000 年北京市中学生数学竞赛)已知函数 y=f(x)有反函数,现将 y=f(2x-1)的图象 向左平移 2 个单位,所得图形表示的函数的反函数是( ) A. y ? ? 3 ? f ?1 (x) 2 B. y ? ? 3 ? f ?1 (x) 2 C. y ? 3 ? f ?1 (x) 2 D. y ? 3 ? f ?1 (x) 2 二、填空题 2.(2001 年全国高中数学联赛)函数 y ? x ? x2 ? 3x ? 2 的值域为_____。 3.(2001 年全国高中数学联赛)不等式| 1 ? 2 |? 3 的解集为___________。 log 1 x 2 2 4 .( 2001 年 北 京 市 中 学生 数 学 竞 赛 ) 函 数 f(x)对 于 任 意 非 负 实 数 x 、 y 都 满 足 f (x ? y 2 ) ? f (x) ? 2[ f ( y)]2 ,且 f(x)≥0,f(1)≠0,则 f (2 ? 3) =______。 三、解答题 5. (2000 年北京市中学生数学竞赛)f(x)是定义在 R 上的函数,对任意的 x∈R,都有 f(x+3) ≤f(x)+3 和 f(x+2) ≥f(x)+2,设 g(x)=f(x)-x, (1)求证 g(x)是周期函数; (2)如果 f(998)=1002,求 f(2000)的值。 6.(2000 年全国高中数学联赛)若函数 f (x) ? ? 1 x2 ? 13 在区间[a,b]上的最小值为 22 2a,最大值为 2b,求区间[a,b]。 7.(第一届“希望杯”全国邀请赛试题)求函数 f (x) ? x4 ? 4x3 ? 17 x2 ? 26 x ? 106 x2 ? 2x ? 7 在区间[-1,1]上的值域。 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 8.(第九届“希望杯”全国邀请赛试题)若实数 x 满足不等式 x4 ? 2x3 ? 7x2 ? 8x ?12 ? 0。试求函数 f (x) ?| x ? 4 | 的最大值。 x 9.(2000 年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛)作函数 y ?| 2 x ? 2 | ?2 x 的图象。 10.(2000 年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛)函数 f (x) ? lg(x ? x2 ?1) 是偶函数 还是奇函数? 11.(第五届北京高中数学知识应用竞赛)中国青年报 2001 年 3 月 19 日报道:中国移动 通信将于 3 月 21 日开始在所属 18 个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费 “套餐”,这个:“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。 具体方案如下: 方案代号 基本月租(元) 免费时间(分钟) 超过免费时间的话费(元/分钟) 1 30 48 0.60 2 98 170 0.60 3 168 330 0.50 4 268 600 0.45 5 388 1000 0.40 6 568 1700 0.35 7 788 2588 0.30 原计费方案的基本月租为 50 元,每通话一分钟付 0.4 元,请问: (1)“套餐”中第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个月内每次通 话用时之和,每次通话用时以分为单位取整计算,如某次通话时间为 3 分 20 秒,按 4 分钟计 通话用时)的函数关系式; (2)取第 4 种收费方式,通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱; (3)据中国移动 2000 年公布的中期业绩,每户通话平均为每月 320 分钟,若一个用户 的通话量恰好是这个平均值,那么选择哪种收费方式更合算,并说明理由。 参考答案 1.A 由于“抽象”没有具体的函数表达式,使题目显得有些难,化难为易的方法因而 也就是化抽象为具体,不妨设 f(x)=x+1(这样符合原题“f(x)有反函数”的规定)。于是以下 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 种种全具体化了。反函数是 f ?1 (x) ? x ?1, f (2x ?1) ? 2x ,向左平移 2 个单位所得图形表 示的函数 f1 ( x) ? 2(x ? 2) ? 2x ? 4 。这个函数的反函数 f1?1 (x) ? x 2 ? 2 ,再与 4 个选择来对 照。 A 项 y ? ? 3 ? f ?1 (x) 是 y ? ? 3 ? x ?1 ? x ? 2 符合, 2 2 2 B 项 y ? ? 3 ? f ?1 (x) 是 y ? ? 3 ? x ? 1 ? ? x ?1不合, 2 2 2 C 项 y ? 3 ? f ?1 (x) 是 y ? 3 ? x ?1 ? x ? 1不合, 2 22 D 项 y ? 3 ? f ?1 (x) 是 y ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 2 不合。故选 A。 2 2 2 2.[1, 3) ? [2,??) 2 y ? x ? x2 ? 3x ? 2 ? x2 ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0 两边平方得 (2 y ? 3)x ? y 2 ? 2 ,从而 y ? 3 且 x ? y 2 ? 2 。 2 2y ?3 由 y ? x ? y ? y 2 ? 2 ? 0 ? y 2 ? 3y ? 2 ? 0 ? 1 ? y ? 3 或 y≥2。 2y ?3 2y ?3 2 任取 y≥2,由 x ? y 2 ? 2 ,易知 x≥2,于是 x2 ? 3x ? 2 ? 0 。 2y ?3 任取1 ? y ? 3 ,同样由 x ? y 2 ? 2 ,易知 x≤1。 2 2y ?3 于是 x2 ? 3x ? 2 ? 0 。 因此,所求函数的值域为[1,

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