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高中数学必修二1.2.1


§ 1.2

点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质

一、填空题 1.下列命题: ①书桌面是平面; ②8 个平面重叠起来,要比 6 个平面重叠起来厚; ③有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m; ④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念. 其中正确命题的个数为________. 2. 若点 M 在直线 b 上, b 在平面 β 内, 则 M、 b、 β 之间的关系用符号可记作____________. 3.已知平面 α 与平面 β、γ 都相交,则这三个平面可能的交线有________条. 4.已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是__________(填 序号). ①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β; ②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN; ③A∈α,A∈β?α∩β=A; ④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合. 5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号) ①两条直线; ②一点和一直线; ③一个三角形; ④三个点. 6. 空间有四个点, 如果其中任意三个点不共线, 则经过其中三个点的平面有__________ 个. 7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.

(1)AD/∈α,a?α________. (2)α∩β=a,PD/∈α 且 PD/∈β________. (3)a?α,a∩α=A________. (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________. 8.已知 α∩β=m,a?α,b?β,a∩b=A,则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表示 为________. 9.下列四个命题: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点; ②经过空间任意三点有且只有一个平面; ③过两平行直线有且只有一个平面; ④在空间两两相交的三条直线必共面. 其中正确命题的序号是________. 二、解答题 10.如图,直角梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平面外 一点,画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线,并说明理由.

11.如图所示,四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别 与平面 α 相交于 E,F,G,H,求证:E,F,G,H 必在同一直线上.

能力提升 12.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明三条直线必相 交于一点.

13.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、 BD 交于点 M,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点. 求证:(1)C1、O、M 三点共线; (2)E、C、D1、F 四点共面; (3)CE、D1F、DA 三线共点.

1.1 解析 由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余 的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确. 2.M∈b?β 3.1,2 或 3 4.③ 解析 ∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β. 由公理可知 α∩β 为经过 A 的一条直线而不是 A. 故 α∩β=A 的写法错误. 5.③ 6.1 或 4 解析 四点共面时有 1 个平面,四点不共面时有 4 个平面. 7.(1)C (2)D (3)A (4)B 8.A∈m 解析 因为 α∩β=m,A∈a?α,所以 A∈α, 同理 A∈β,故 A 在 α 与 β 的交线 m 上. 9.③ 10.解 很明显,点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点,即点 S 在交线上,由于 AB>CD,则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示.

∵E∈AC,AC?平面 SAC, ∴E∈平面 SAC. 同理,可证 E∈平面 SBD. ∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上,连结 SE, 直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线. 11. 证明 因为 AB∥CD, 所以 AB, CD 确定平面 AC, AD∩α=H, 因为 H∈平面 AC, H∈α,由公理 3 可知,H 必在平面 AC 与平面 α 的交线上.同理 F、G、E 都在平面 AC 与 平面 α 的交线上,因此 E,F,G,H 必在同一直线上. 12.证明

∵l1?β,l2?β,l1 ? l2, ∴l1∩l2 交于一点,记交点为 P. ∵P∈l1?β,P∈l2?γ, ∴P∈β∩γ=l3, ∴l1,l2,l3 交于一点. 13.证明 (1)∵C1、O、M∈平面 BDC1, 又 C1、O、M∈平面 A1ACC1,由公理 3 知,点 C1、O、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上, ∴C1、O、M 三点共线. (2)∵E,F 分别是 AB,A1A 的中点, ∴EF∥A1B. ∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F 四点共面. (3)由(2)可知:四点 E、C、D1、F 共面.

1 又∵EF= A1B. 2 ∴D1F,CE 为相交直线,记交点为 P. 则 P∈D1F?平面 ADD1A1, P∈CE?平面 ADCB. ∴P∈平面 ADD1A1∩平面 ADCB=AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点.


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