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高中数学第二章平面向量2_3_3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4


2.3.3

向量数量积的坐标运算与度量公式

预习课本 P112~114,思考并完成以下问题 (1)平面向量数量积的坐标表示是什么?

(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直?

[新知初探] 1.向量数量积及向量垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2) (1)数量积 a·b=a1b1+a2b2. (2)若 a,b 为非零向量,a⊥b ?a1b1+a2b2=0. [点睛] 记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”. 2.三个重要公式 (1)向量的长度公式:已知 a=(a1,a2),则|a|= a1+a2. (2)两点间的距离公式:A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |=
2 2

x2-x1
2 1

2



y2-y1

2

.

(3)向量的夹角公式:a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 cos〈a,b〉= [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和.( ) )

a1b1+a2b2 . 2 2 a +a2 b2 1+b2

(2)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a⊥b?a1b1+a2b2=0.(

(3)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ <0, 则两向量的夹角 θ 一定是钝角. ( 答案:(1)× (2)× (3)× 2.已知 a=(-3,4),b=(5,2),则 a·b 的值是( A.23 答案:D 3.已知向量 a=(x-5,3),b=(2,x),且 a⊥b,则由 x 的值构成的集合是( ) B.7 C.-23 D.-7 )

)

A.{2,3} 答案:C

B.{-1,6} C.{2}

D.{6}

4.已知 a=(1, 3),b=(-2,0),则|a+b|=________. 答案:2

平面向量数量积的坐标运算

[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( A.-1 C.1 B.0 D.2

)

(2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB =(1, -2), AD =(2,1),则 AD · AC =( A.5 C.3 [解析] (1)a=(1,-1),b=(-1,2), ∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. (2)由 AC = AB + AD =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得 AD · AC =(2,1)·(3, -1)=5. [答案] (1)C (2)A ) B.4 D.2

数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算, 前提是牢记有关的运算法则和运算性质. 解题时通常有两条途 径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式 展开,再依据已知计算.

[活学活用] 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10.

(1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b·c)·a. 解:(1)因为 a 与 b 同向,又 b=(1,2), 所以 a=λ b=(λ ,2λ ). 又 a·b=10,所以 1·λ +2·2λ =10,解得 λ =2>0. 因为 λ =2 符合 a 与 b 同向的条件,所以 a=(2,4). (2)因为 b·c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b·c)·a=0·a=0. 向量的模的问题 [典例] (1)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c, 则|a+b|=( A. 5 C.2 5 ) B. 10 D.10

(2)已知点 A(1,-2),若向量 AB 与 a=(2,3)同向,| AB |=2 13,则点 B 的坐标是 ________. [解析] (1)由?
? ?a⊥c, ?b∥c ? ? ?2x-4=0, ?? ?2y+4=0 ?

??

? ?x=2, ?y=-2. ?

∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1). ∴|a+b|= 10. (2)由题意可设 AB =λ a(λ >0), ∴ AB =(2λ ,3λ ).又| AB |=2 13, ∴(2λ ) +(3λ ) =(2 13) ,解得 λ =2 或-2(舍去). ∴ AB =(4,6).又 A(1,-2),∴B(5,4). [答案] (1)B (2)(5,4)
2 2 2

求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a| =a ,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算:
2 2

若 a=(x,y),则 a·a=a =|a| =x +y ,于是有|a|= x +y .

2

2

2

2

2

2

[活学活用] 1.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),向量 b=( 3,0),则|2a-b|的最大值为________. 解析:2a-b=(2cos θ - 3,2sin θ ), |2a-b|=
2

θ - 3

2


2

θ

2

= 4cos θ -4 3cos θ +3+4sin θ = 7-4 3cos θ , 当且仅当 cos θ =-1 时,|2a-b|取最大值 2+ 3. 答案:2+ 3

2.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a·b)b,则|c|=________. 解析: ∵a=(2,4), b=(-1,2), ∴a·b=2×(-1)+4×2=6, ∴c=a-(a·b)b=(2,4) -6(-1,2)=(2,4)-(-6,12)=(8,-8), ∴|c|= 8 + - 答案:8 2
2 2

=8 2.

向量的夹角和垂直问题

[典例] (1)已知 a=(3,2),b=(-1,2),(a+λ b)⊥b,则实数 λ =________. π (2)已知 a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c 与 d 的夹角为 ,则实数 4

k 的值为________.
[解析] (1)∵a=(3,2),b=(-1,2), ∴a+λ b=(3-λ ,2+2λ ). 又∵(a+λ b)⊥b, ∴(a+λ b)·b=0, 即(3-λ )×(-1)+2×(2+2λ )=0, 1 解得 λ =- . 5

(2)c=a+kb=(2-k,1-k),d=a+b=(1,0), 由 cos π 2 = 得 4 2 -k -k
2

+ + -k

-k
2

· 1 +0

2

2



2 , 2

3 2 2 ∴(2-k) =(k-1) ,∴k= . 2 1 [答案] (1)- 5 3 (2) 2

解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 a·b 以及|a||b|, 再由 cos θ

a·b a1b1+a2b2 = 求出 cos θ ,也可由坐标表示 cos θ = 2 直接求出 cos θ .由三角 2 2 |a||b| a1+a2 b2 1+b2
函数值 cos θ 求角 θ 时,应注意角 θ 的取值范围是 0≤θ ≤π .

a·b (2)由于 0≤θ ≤π ,利用 cos θ = 来判断角 θ 时,要注意 cos θ <0 有两种情 |a||b|
况:一是 θ 是钝角,二是 θ =π ;cos θ >0 也有两种情况:一是 θ 为锐角,二是 θ =0.

[活学活用] 已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小. 解:(1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0,∴y=-3, ∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设 m,n 的夹角为 θ ,

m·n 则 cos θ = = |m||n|
= 2 =- . 2 25 2 -25

-3×7+ - -
2

+ -

2

7 +1

2

2

3π ∵θ ∈[0,π ],∴θ = , 4

3π 即 m,n 的夹角为 . 4

求解平面向量的数量积

[典例]

已知点 A,B,C 满足| AB |=3,| BC |=4,| CA |=5,求 AB · BC +

BC · CA + CA · AB 的值.
[解] [法一 定义法] π 3 4 如图,根据题意可得△ABC 为直角三角形,且 B= ,cos A= ,cos C= , 2 5 5 ∴ AB · BC + BC · CA + CA · AB = BC · CA + CA · AB =4×5cos(π -C)+5×3cos(π -A) =-20cos C-15cos A 4 3 =-20× -15× 5 5 =-25.

[法二 坐标法] 如图,建立平面直角坐标系, 则 A(3,0),B(0,0),C(0,4). ∴ AB =(-3,0), BC =(0,4),CA =(3,-4). ∴ AB · BC =-3×0+0×4=0,

BC · CA =0×3+4×(-4)=-16,
CA · AB =3×(-3)+(-4)×0=-9.
∴ AB · BC + BC · CA + CA · AB =0-16-9=-25. [法三 转化法] ∵| AB |=3,| BC |=4,| AC |=5,

∴AB⊥BC,∴ AB · BC =0, ∴ AB · BC + BC · CA + CA · AB = CA ·( AB + BC ) = CA · AC =-| AC | =-25.
2

求平面向量数量积常用的三个方法 (1)定义法:利用定义式 a·b=|a||b|cos θ 求解; (2)坐标法:利用坐标式 a·b=a1b1+a2b2 解题; (3)转化法:求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公 式进行化简,然后进行计算.

[活学活用] 如果正方形 OABC 的边长为 1,点 D,E 分别为 AB,BC 的中点,那么 cos∠DOE 的值为 ________. 解析:法一:以 O 为坐标原点,OA,OC 所在的直线分别为 x 轴,y

? 1? 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得 OD =?1, ?, ? 2?
1 ? OE =? ?2,1?. ? ? 1 1 1× + ×1 2 2 4 故 cos∠DOE= = = . 5 5 5 | OD |·| OE | × 2 2

OD · OE

1 法二:∵ OD = OA + AD = OA + OC , 2

OE = OC + CE = OC + OA ,
∴| OD |= 5 5 ,| OE |= , 2 2 1 2 1 2

1 2

OD · OE = OA 2+ OC 2=1, OD · OE 4 ∴cos∠DOE= = . | OD || OE | 5

4 答案: 5

层级一 学业水平达标 1.已知向量 a=(0,-2 3),b=(1, 3),则向量 a 在 b 方向上的投影为( A. 3 C.- 3 解析:选 D 向量 a 在 b 方向上的投影为 B.3 D.-3 )

a·b -6 = =-3.选 D. |b| 2
)

2.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 解析:选 B 由 a⊥b 得 a·b=0, ∴x×1+1×(-2)=0,即 x=2, ∴a+b=(3,-1), ∴|a+b|= 3 + -
2 2

B. 10 D.10

= 10. )

3.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则 k=( A.-12 C.6 B.-6 D.12

解析:选 D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由 a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2 -k)=0,∴10+2-k=0,解得 k=12. 4. a, b 为平面向量, 已知 a=(4,3), 2a+b=(3,18), 则 a, b 夹角的余弦值等于( A. C. 8 65 16 65 B.- 8 65 )

16 D.- 65 解

? ?8+x=3, 解析:选 C 设 b=(x,y),则 2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以? ?6+y=18, ?

得?

?x=-5, ? ? ?y=12,

a·b 16 故 b=(-5,12),所以 cos〈a,b〉= = . |a||b| 65

5.已知 A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形

)

解析: 选 A 由题设知 AB =(8, -4), AC =(2,4),BC =(-6,8), ∴ AB · AC =2×8+(-4)×4=0,即 AB ⊥ AC . ∴∠BAC=90°, 故△ABC 是直角三角形. 6.设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________. 解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即 3(m+1)+3m=0,解得 m 1 =- ,则 a=(1,-1),故|a|= 2. 2 答案: 2 7. 已知向量 a=(1, 3), 2a+b=(-1, 3), a 与 2a+b 的夹角为 θ , 则 θ =________. 解析:∵a=(1, 3),2a+b=(-1, 3), ∴|a|=2,|2a+b|=2,a·(2a+b)=2, ∴cos θ = π ∴θ = . 3 π 答案: 3 8.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a·b= 3,则向量 b 的 坐标为________. 1 ? ?x=2, 解得? 3 y= , ? ? 2

a

a+b 1 = , |a||2a+b| 2

解析:设 b=(x,y)(y≠0),则依题意有?

? x +y =1,
2 2

? 3x+y= 3,

故b

3? ?1 =? , ?. ?2 2 ? 3? ?1 答案:? , ? ?2 2 ? 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.

(1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解:(1)若 a⊥b, 则 a·b=(1,x)·(2x+3,-x) =1×(2x+3)+x(-x)=0, 即 x -2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),
2

a-b=(-2,0),|a-b|=2.
当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),

a-b=(2,-4),|a-b|= 4+16=2 5.
综上,|a-b|=2 或 2 5. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). (1)求 AB · AC 及| AB + AC |; (2)设实数 t 满足( AB -t OC )⊥ OC ,求 t 的值. 解:(1)∵ AB =(-3,-1), AC =(1,-5), ∴ AB · AC =-3×1+(-1)×(-5)=2. ∵ AB + AC =(-2,-6), ∴| AB + AC |= 4+36=2 10. (2)∵ AB -t OC =(-3-2t,-1+t), OC =(2,-1),且( AB -t OC )⊥ OC , ∴( AB -t OC )· OC =0, ∴(-3-2t)×2+(-1+t)·(-1)=0, ∴t=-1. 层级二 应试能力达标

?1 1? 1.设向量 a=(1,0),b=? , ?,则下列结论中正确的是( ?2 2?
A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 B.a·b= D.a∥b 2 2

)

解析:选 C 由题意知|a|= 1 +0 =1,|b|= 1 1 1 2 = ,(a-b)·b=a·b-|b| = - =0, 2 2 2 故 a-b 与 b 垂直.

2

2

?1?2+?1?2= 2,a·b=1×1+0×1 ?2? ?2? 2 2 2 ? ? ? ?

2.已知向量 OA =(2,2), OB =(4,1),在 x 轴上有一点 P,使 AP · BP 有最小值, 则点 P 的坐标是( A.(-3,0) C.(3,0) ) B.(2,0) D.(4,0)

解析:选 C 设 P(x,0),则 AP =(x-2,-2), BP =(x-4,-1),
2 2 ∴ AP · BP =(x-2)(x-4)+2=x -6x+10=(x-3) +1,

故当 x=3 时, AP · BP 最小,此时点 P 的坐标为(3,0). 3.若 a=(x,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角是钝角,则实数 x 的取值范围是( 10? ? A.?-∞, ? 3? ? C.? 10? ? B.?-∞, ? 3? ? D.? )

?10,+∞? ? ?3 ?

?10,+∞? ? ?3 ?

10 6 解析:选 C x 应满足(x,2)·(-3,5)<0 且 a,b 不共线,解得 x> ,且 x≠- ,∴ 3 5

x> .
4.已知 OA =(-3,1), OB =(0,5),且 AC ∥ OB , BC ⊥ AB (O 为坐标原点), 则点 C 的坐标是( 29? ? A.?-3,- ? 4? ? ) 29? ? B.?-3, ? 4? ? 29? ? D.?3,- ? 4? ?

10 3

? 29? C.?3, ? 4? ?

解析:选 B 设 C(x,y),则 OC =(x,y). 又 OA =(-3,1), ∴ AC = OC - OA =(x+3,y-1). ∵ AC ∥ OB , ∴5(x+3)-0·(y-1)=0,

∴x=-3. ∵ OB =(0,5), ∴ BC = OC - OB =(x,y-5), AB = OB - OA =(3,4). 29 ∵ BC ⊥ AB ,∴3x+4(y-5)=0,∴y= , 4 29? ? ∴C 点的坐标是?-3, ?. 4? ? 5.平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹 角,则 m=________. 解析:因为向量 a=(1,2),b=(4,2),所以 c=ma+b=(m+4,2m+2),所以 a·c=m +4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20. 因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,所以 5m+8 8m+20 = , 5 2 5 解得 m=2. 答案:2 6.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE · CB 的值为______;

c·a c·b a·c b·c = ,即 = ,所以 |c|·|a| |c|·|b| |a| |b|

DE · DC 的最大值为______.
解析:以 D 为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示. 则 D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 设 E(1,a)(0≤a≤1). 所以 DE · CB =(1,a)·(1,0)=1,

DE · DC =(1,a)·(0,1)=a≤1,
故 DE · DC 的最大值为 1. 答案:1 1

7.已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2
2 2

解:(1)设 c=(x,y),∵|c|=2 5,∴ x +y =2 5,

∴x +y =20. 由 c∥a 和|c|=2 5,
?1·y-2·x=0, ? 可得? 2 2 ?x +y =20, ?

2

2

解得?

? ?x=2, ?y=4, ?

或?

? ?x=-2, ?y=-4. ?

故 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即 2a +3a·b-2b =0, 5 5 ∴2×5+3a·b-2× =0,整理得 a·b=- , 4 2
2 2

a·b ∴cos θ = =-1. |a||b|
又 θ ∈[0,π ],∴θ =π .

2 8.已知 OA =(4,0), OB =(2,2 3), OC =(1-λ ) OA +λ OB (λ ≠λ ).

(1)求 OA · OB 及 OA 在 OB 上的射影的数量; (2)证明 A,B,C 三点共线,且当 AB = BC 时,求 λ 的值; (3)求| OC |的最小值. 解:(1) OA · OB =8,设 OA 与 OB 的夹角为 θ ,

OA · OB 8 1 则 cos θ = = = , | OA || OB | 4×4 2
1 ∴ OA 在 OB 上的射影的数量为| OA |cos θ =4× =2. 2 (2) AB = OB - OA = ( - 2,2 3 ) , BC = OC - OB = (1 - λ )· OA - (1 - λ ) OB =(λ -1) AB ,所以 A,B,C 三点共线. 当 AB = BC 时,λ -1=1,所以 λ =2.
2 2 2 (3)| OC | =(1-λ ) OA +2λ (1-λ ) OA · OB +λ OB

2

2

1?2 ? 2 =16λ -16λ +16=16?λ - ? +12, 2? ? 1 ∴当 λ = 时,| OC |取到最小值,为 2 3. 2


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