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山东省招远一中2018_2019学年高二数学上学期10月月考试题201901020332


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山东省招远一中 2018-2019 学年高二数学上学期 10 月月考试题
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、单选题 1.在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,S10=90,a5=8,则 a4=( A. 16 C. 8 B. 12 D. 6 ) )

2.在等比数列{an}中,若 an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( A. 16 C. 36 B. 81 D. 27 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于( )

3.数列{an}的通项公式 an=ncos A. 1 006 C. 503 B. 2 012 D. 0

4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列中,前 6 项均为正数,从第 7 项起为负数,则公 差 d 为( A. -2 C. -4 5.已知 A. ) B. -3 D. -5 , ( B. ) ,则在数列{ }的前 50 项中最小项和最大项分别是( C. D. )

6. 已知 ( A. 1 ) B. 2

四个实数成等差数列, -4, , , , -1 五个实数成等比数列, 则

C. -1

D. ±1

7.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 a4-2 +3a8=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b3b8b10= ( A. 1 B. 8 ) C. 4 D. 2
1

8.已知 和为 A. 或5

是首项为 1 的等比数列, 是

的前 n 项和,且

,则数列

的前 5 项

B.

或5

C.

D. )

9.等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( A. n(n+1) 10.在等差数列 A. 9 B. 12 B. n(n-1) C. D. ,则 的值为( )

前 项和为 ,若 C. 16 D. 17

11.在各项均为正数 列 A.

的对比数列中,公比

,若

, )

,数

的前 项和为 ,则当 B. C. 或 D.

取得最大值时, 的值为(

12.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a1 007+a1 008>0,a1 007·a1 008<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立 的最大自然数 n 是 ( A. 2 012 ) C. 2 014 D. 2 015

B. 2 013

2

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 13.在等差数列{an}中, 14.下面有四个结论: ①若数列 ②若数列 的前 项和为 是常数列,数列 中,若公差 ( 为常数),则 为等差数列; 是等比数列; ,那么 的值是_________.

是等比数列,则数列 ,则此数列是递减数列;

③在等差数列

④在等比数列中,各项与公比都不能为 . 其中正确的结论为__________(只填序号即可). 15.数列 中,若 ,则 ______ . , 则

16 . 等 比 数 列

的 各 项 均 为 正 数 , 且 _____.

三、解答题 17.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a2 ? 9 , S5 ? 40 . ( 1 )求 ?an ? 的通项公式. ( 2 )求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 取到最大值时 n 的值并求出 Sn 的最大值. 18.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2 ? an ? n ? 1,2,3, (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 ?bn ? 的通项公式. 19.设正项等比数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设数列 的前 项和为 ,且满足 , .

?.

的通项公式; ,求 的前 项和 .

3

20.正项等差数列 列 的前三项. ,

中,已知



,且





构成等比数

(1)求数列 (2)求数列

的通项公式;

的前 项和 . 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 (单位:辆) , , ,第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的

21.根据预测,某地第 其中

累计投放量与累计损失量的差. (1)求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量; (2) 已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量 (单位: 辆) . 设

在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量? 22.设 是正数组成的数列,其前 项和为 ,并且对于所有的 的前 项. 的通项公式(写出推证过程) . , 是数列 的前 项和,求使得 对所有 都成立的最小正整 ,都有 .

( )写出数列 ( )求数列 ( )设 数 的值.

4

高二数学参考答案 1.D 【解析】 【分析】 根据已知得到关于 a1,d 的方程组,解方程组得 a1,d,即得 a4 的值. 【详解】 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,



解得

∴a4=a1+3d=0+3×2=6. 故答案为:D 【点睛】 (1)本题主要考查等差数列的前 n 项和和通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算 能力.(2) 等差数列的前 项和公式: 式 2.D 【解析】 【分析】 根据已知条件得到关于 【详解】 设等比数列{an}的公比为 q 且 q>0, 的方程组,解方程组即得 ,即得 a4+a5 的值. ,已知 时,用公式 一般已知 时,用公

由已知得 所以 a1= ,

? q =9? q=3,

2

所以 a4+a5= ×3 + ×3 = 故答案为:D 【点睛】

3

4

=27.

(1)本题主要考查等比数列的通项,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)

5

等比数列的通项公式: 3.A 【解析】 【分析】

.

先计算出 a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,再利用 数列和的周期性求 S2 012. 【详解】 由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,k∈N, 故 S2 012=503×2=1006. 故答案为:A 【点睛】 (1)本题主要考查数列的求和,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题发现归纳出数列和的周期性是解题的关键. 4.C 【解析】 【分析】

先写出数列的通项 an=23+(n-1)d,再解不等式组 【详解】 设通项公式为 an=23+(n-1)d,

即得 d 的值.

由题意列不等式组 ∵d 是整数,∴d=-4. 故答案为:C 【点睛】

解得-

<d<-

.

本题主要考查等差数列的通项和性质, 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算 能力. 5.C 【解析】

6

【分析】 根据函数 【详解】 因为 所以当 ,此时 别为 【点睛】 数列是特殊的函数, 研究数列最值问题, 可利用对应函数性质, 如等差数列通项与一次函数, 等差数列和项与二次函数, 等比数列通项、 和项与指数函数.本题利用了函数 质. 6.C 【解析】 【分析】 等差数列性质可求得公差,由等比数列性质可求得 【详解】 由等差数列性质:公差 由等比数列性质: , ,解得: ,由等比数列性质可知 与 同号,所 ,代入式子即可求得结果. 性 ,选 C. 时 在 上单调减,在 ,此时 ,因此数列{ 单调减, ,当 时 单调性确定数列{ }的前 50 项中最小项和最大项.

}的前 50 项中最小项和最大项分

以 故选 C.

,代入式子得:

.

【点睛】 本题考查等差数列与等比数列性质, 求等差数列时容易出现多解的情况, 要根据等比数列的 要求与性质进行求解,通常隔一项符号相同. 7.B 【解析】 ,

7

选 B. 点睛:在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题 简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、 等比数列的性质, 性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应 有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决 等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 8.C 【解析】 试题分析: 设等比数列的公比为 , 因为 , 所以 , 解之得 ,

所以数列 C.

是以 为公比、 为首项的等比数列,所以其前 项的和为

,故选

考点:等比数列的定义与性质. 9.A 【解析】 【分析】 由首项与公差表示各项,根据等比中项列式,解出首项,由等差数列前 n 项和公式,即可求 得 .

【详解】 由等差数列通项公式可知: 根据等比中项公式列式: 由前 n 项和公式可得: 故选 A. 【点睛】 本题考查等差数列通项公式、前 n 项和以及等比中项公式,直接用首项及公差表示各项,列 方程式即可,最后代入前 n 项和公式,列式时注意不要将等差数列与等比数列概念混淆. 10.A
8



, ,解得: .

, ,

【解析】







得 ,故选 A.





11.C 【解析】 ∵ 为等比数列,公比为 ,且



∴ ∴ ∴ ∴ ∴数列

,则

, 是以 4 为首项,公差为 的等差数列

∴数列 令 当

的前 项和为

时,

∴当 故选 C

或 9 时,

取最大值.

点睛: (1)在解决等差数列、等比数列的运算问题时,有两个处理思路:一是利用基本量将 多元问题简化为一元问题;二是利用等差数列、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律 的深刻体现,是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具; (2)求等差数列的前 项和最值的两种方法:①函数法:利用等差数列前 项和的函数表达 式 ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解;②邻项变号法:当

9

时,满足

的项数 使得

取得最大值为

;当

时,满足

的项数 使得 12.C 【解析】∵等差数列 ,如若不然,

取得最小值为

.

,首项

, ,则 ,而

, ,得

,∴

, ,矛

盾,故不可能,∴使前 项和 13.24 【解析】 【分析】 应用等差数列的性质计算即可. 【详解】 在等差数列{an}中, ,

成立的最大自然数 为 2014,故选 C.

即答案为 24. 【点睛】 本题考查等差数列性质的应用,属基础题. 14.③④ 【解析】 【分析】 根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负,根据等差数列和项特点确定①真假, 根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假. 【详解】 因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线,所以公差 确;因为等差数列和项中常数项为零,即 列各项不为零,所以②中若数列 正确,即正确的结论为③④.
10

,则此数列是递减数列; ③正 所以①不对,因为等比数 不是等比数列; ②不对,④



是为零的常数列,则

【点睛】 等差数列特征: 为 的一次函数; 为 的类指数函数, 15. 【解析】 【分析】 根据已知条件,确定数列 【详解】 ,则 . 故答案为 . 【点睛】 本题考查根据递推公式计算数列的通项公式的方法,考查转换思想和计算能力. 16.5. 【解析】 【分析】 先 由 等 比 数 列 的 性 质 求 出 , 再 根 据 性 质 化 简 ,代入即可求出答案. 【详解】 由题意知 ,且数列 的各项均为正数,所以 , . 【点睛】 本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易. 17.(1) an ? 11 ? n ;(2)答案见解析. , 为常数数列,即可求出结果. . ;等比数列特征:各项以及公比都不为零,

11

【解析】试题分析: ( 1 )由题意结合数列的通项公式和前 n 项和公式得到关于首项、公差的方程组,求解方程 组可得 {

a1 ? 10 ,则数列的通项公式为 an ? 11 ? n . d ? ?1
1 2 21 n ? n ,结合二次函数的性质和 2 2

( 2 )由前 n 项和公式可得 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ?

n ? N * 可知当 n ? 10 或 n ? 11 时, Sn 取得最大值 55.
试题解析: ( 1 )设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , ∵ a2 ? 9 , S5 ? 40 ,

∴{

a1 ? d ? 9 , 5? 4 5a1 ? d ? 40 2
a1 ? 10 , d ? ?1

解得 {

∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 10 ? ? n ?1? ? 11 ? n . ( 2 ) ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 对称轴 n ?
*

?10 ? 11 ? n ? ? n ? ? 1 n2 ? 21 n
2 2 2



21 ? 10.5 , 2

∵ n? N , ∴当 n ? 10 或 n ? 11 时,

Sn 取得最大值, S最大值 ? 55 .
?1? 18. (1) an ? ? ? ?2?
【解析】 试题分析: (1)由已知数列递推式求出首项,得到当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2 ? an?1 ,与原递推 式作差后可得数列 ?an ? 是以 6 为首项,以 3 为公比的等比数列.再由等比数列的通项公式
n ?1

?1? ; (2) bn ? 3 ? 2 ? ? . ?2?

n ?1

12

得答案;(2)由(1)可得 bn?1 ? bn ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

,由累加法可求其通项公式.

试题解析: (1)解:当 n ? 1 时, S1 ? 2 ? a1 ,则 a1 ? 1 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? 2 ? an ? ? ? 2 ? an?1 ? ? an?1 ? an ,

1 a 1 ?1? 则 2an ? an?1 ,∴ n ? ,所以,数列 ?an ? 是以首相 a1 ? 1 ,公比为 ,而 an ? ? ? 2 an ?1 2 ?2?
(2)∵ bn?1 ? bn ? an ,∴ bn?1 ? bn ? ? ? 当 n ? 2 时, bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ?

n ?1



?1? ?2?

n ?1



? ?bn ? bn?1 ?
n ?1 n ?1

?1? ?1? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?2?

0

1

2

?1? ?? ? ? 2?
n ?1

n?2

?1? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 1 1? 2

?1? ? 3 ? 2? ? ? 2?



又 b1 ? 1 满足,∴ bn ? 3 ? 2 ?

?1? ? ; ?2?

考点: (1)数列递推式; (2)数列的通项公式; (3)数列求和. 【方法点晴】本题考查了数列的通项公式,考查了数列的求和,关键是会用累加法求通项公 式和数列的错位相减法求和,难度适中;解题中,在利用 an ? Sn ? Sn?1 这一常用等式以及

bn?1 ? bn ? f ?n? 时,用累加法求其通项公式;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比
数列求和公式,分组求和类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 和 ?bn ?分别为特殊数列,裂项相消 法类似于 an ? 数列等.

? ?

1 ,错位相减法类似于 cn ? an ? bn ,其中 a n 为等差数列,?bn ?为等比 n?n ? 1?

? ?

19.(Ⅰ) 【解析】 【分析】

; (Ⅱ)

.

13

(1)根据等比数列通项公式化简条件解得公比, 再根据 (2)先化简 【详解】 (Ⅰ) 设正项等比数列 由已知 故 有 或 (舍) 的公比为 ,则 ,即 且 ,再根据绝对值定义分类求 .

求数列

的通项公式;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

故当

时,

当 当

时, 时,

. 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列基本量运算,考查基本求解能力. 20.(1) 【解析】 【分析】 (1)由题意结合数列的性质可得数列的公差 得 . 的前 项和 . ,则 ,结合 的通项公式可 , .(2) .

(2)结合(1)中取得的结果错位相减可得数列 【详解】 (1)设等差数列的公差为 ,则由已知得: ,即 ,

14

又 , 所以 又 所以 (2)因为 , .

,解得



(舍去) ,

, ,所以 ,

, ,

两式相减得 则 【点睛】 .



一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前 n 项和时,可采用 错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解. 21. (1)935; (2)见解析. 【解析】试题分析: (1)计算 (2)令 试题分析: (1) (2) ,即第 42 个月底,保有量达到最大 得出 和 的前 项和的差即可得出答案; 个月底的保有量和容纳量即可得出结论.

,再计算第

,∴此时保有量超过了容纳量. 22. (1) , , (2) 中,令 (3) 的最小值是 ,求 ;令 ,求 . ;令 ,可求 ;

【解析】分析: (1)在

(2)根据



的固定关系

,得

,化简整理可得



15

首项为 ,公差为 的等差数列,从而可得结果; (3)把(2)题中 根据裂项相消法求得 立的最小整数 . 详解: ( ) 时 时 ( )∵ ∴ 两式相减得: 也即 ∵ ∴ 即 ∴ , , 是首项为 ,公差为 的等差数列, , , , , 即 , 时 ,∴ ,∴ ,∴ ; . ; ,可得 ,解不等式

的递推关系式代入



即可得到对所有

都成

(3)



. ∵ ∴ 对所有 即 . . 都成立,

故 的最小值是

点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这 一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1) ; (2)
16



( 3 )

;( 4 ) ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出

现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.

17


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