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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文科)(新课标II卷)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文科)(新课标 II 卷)
全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 A ? B ? ( A. ( ?1,3) 2. 若 a 为实数,且 A. -4 B. (?1,0) C. (0, 2) ) C. 3 D. 4 )

D. (2,3)

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a =( 1? i
B. -3

3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以 下结论中不正确的是( )

A. 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4. 向量 a ? (1, ?1) , b ? (?1, 2) ,则 (2a ? b) ? a ? ( A. -1 B. 0 C. 1 ) D. 3 ) D. 11

5. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和。若 a1+a3+a5=3,则 S5=( A. 5 B. 7 C. 9

6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为( )

1

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5


7. 已知三点 A(1,0) ,B(0, 3) ,C(2, 3) ,则 ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为( A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执 行该程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a =( )

A. 0

B. 2

C. 4

D. 14 ) D.

9. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? A. 2 B. 1

1 ,a3a5= 4(a4 ? 1) ,则 a2=( 4
C.

1 2

1 8

10. 已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB = 90° ,C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O—ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36π B. 64π C. 144π ) D. 256π

11. 如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记∠BO =x。 将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的 图象大致为( )

2

12. 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 ( 1 ? x2 1 B. (??, ) ? (1, ??) 3 1 1 D. (??, ? ) ? ( , ??) 3 3
第 II 卷



1 A. ( ,1) 3 1 1 C. (? , ) 3 3

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x 的图象过点 (?1, 4) ,则 a=_________。
?x ? y ? 5 ? 0 ? 14. 若 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________。 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?

1 15. 已 知 双曲线过点 (4, 3) ,且渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的标准方程为 2
__________。
2 ) 的切线与曲线 y ? ax 16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ( 1 , 1处 相切,则 ?( a?2 ) x? 1

a=__________。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC。 (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若∠BAC=60° ,求∠B。

18. (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根 据用户对产品的满意度评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户 满意度评分的频数分布表。 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

3

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分 组 频 数 2 8 14 10 6
[50, 60) [60, 70) [70,80) [80,90) [90,100]

(I)作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由。 19. (本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB =16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1, D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。

4

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (II)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值。 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
2 x2 y 2 ,点 (2, 2) 在 C 上。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(I)求 C 的方程; (II)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点 为 M。证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? x) 。 (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)当 f ( x) 有最大值,且最大值大于 2a -2 时,求 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与 ΔABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底 边上的高 AD 交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点。 (I)证明:EF∥BC; (II)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

5

? x ? t cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ? (t 为参数,t ≠ 0),其中 0 ≤α<π,在以 O ? y ? t sin ?

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。 (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (I)若 ab>cd;则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

6

参考答案
名师简评:2015 年高考数学文科试题(全国卷Ⅱ)以《考试大纲》为依据,试卷结构 保持了新课标高考数学的一贯风格, 知识分布与覆盖上保持相对稳定, 试题设计体现了 “大 稳定、小创新”的稳健、成熟设计理念,试卷从多视角、多维度、多层次考查数学思维品 质,考查对教学本质的理解,考查学生的数学素养与学习潜能。 纵观全卷,大部分题目较常规,注重通性通法,如 10,11,14 题考查了数形结合思想; 12,16,21 题涉及函数与方程思想,选择题简洁平稳,填空题难度适中,解答题层次分明, 考查主干知识的同时,体现个体差异,给优秀生良好的展示空间。

一、选择题 1. A 命题意图:本题主要考查了集合的并集运算问题。

解析:由并集定义可得 A∪B=(-1,3)。 2. D 命题意图:本题主要考查了复数的概念、运算。

解析:由题意可得 2 ? ai ? (3 ? i)(1 ? i) ? 2 ? 4i ,则 a ? 4 。 3. D 命题意图:本题考查柱形图及统计的相关概念。

解析:2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故年排放量与年份负相关,观 察知应选 D 项。 4. C 命题意图:本题主要考查了平面向量的坐标运算。

解析:因为 2a ? b ? (1,0) ,所以 (2a ? b) ? a ? 1。 5. A 公式。 解 析 : 因 为 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , 所 以 a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3, a3 ? 1 , 则 命题意图: 本题主要考查了等差数列,解题关键是熟练应用等差数列的性质和求和

S 5 ? 5a3 ? 5 。
6. D 命题意图:本题考查利用几何体的三视图求几何体的体积。

解析:如图,剩余部分几何体是由正方体截去一角所得,设正方体棱长为 1,则截去部

分与剩余部分的体积比为

V A? A?B?D? 1 ? V A? A?B?D?

1 1 ? ?1?1?1 1 3 2 ? 。 = 1 1 5 1 ? ? ?1?1?1 3 2

7

7. B

命题意图:本题主要考查了圆的方程,要注意正确运算,结合待定系数法求解。

解析:设△ABC 的外接圆方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,代入 A,B,C 三个点

? D ? ?2, ?1 ? D ? F ? 0, ? ? 4 4 ? y ?1 ? 0 的 的坐标得 ?3 ? 3E ? F ? 0, 解得 ? E ? ? , 则圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 3 ? ? ?7 ? 2 D ? 3E ? F ? 0, ? ? F ? 1,
? 2 ? 21 ? 2 ? ? 圆心 ? ? ? ? ? 3 。 ?1, ? 到原点的距离为 1 ? ? ? 3? ? 3?
8. B 命题意图:本题考查程序框图与循环结构。 解析: a ? 14, b ? 18 ,第一次循环: a ? 14, b ? 4 ;第二次循环: a ? 10, b ? 4 ;第 三次循环: a ? 6, b ? 4 ;第四次循环: a ? 2, b ? 4 ;第五次循环: a ? 2, b ? 2 ,退出循 环,输出 a ? 2 。 9. C 命题意图:本题主要考查了等比数列,要注意正确运用公式,准确计算。
3
2

2 解 析 : a3 a5 ? a4 ? 4(a4 ? 1) , 则 可 得 a4 ? 2 , 所 以 q ?

a4 ? 8 ,则 q ? 2 ,故 a1

a 2 ? a1 q ?
10. C

1 。 2

命题意图:本题考查球体的截面性质、三棱锥的体积与其外接球的表面积。

解析:设球的半径为 R,因为 VO? ABC ? VC ? AOB ,所以 VO? ABC 的最大值为

1 1 2 ? R ? R ? 36 ,所以 R=6,故球的表面积为 4?R 2 ? 144 ?。 3 2
11. B 命题意图:本题考查函数图象的应用,要注意排除法的运用。

解析: 由已知得, 当点 P 在 BC 边上运动时, 即0 ? x ? + tan x ; 当 点 P 在 CD 边 上 运 动 时 , 即

?
4

时,PA ? PB ?

tan2 x ? 4

?
4

?x?

3? ? , x? 时 , 4 2

PA ? PB ? (

? 1 1 ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 ,当 x ? 时,PA+PB=2 2 ,当点 P 在 2 tanx tanx
8

AD 边上运动时,即

3? ? x ? ? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ,从点 P 的运动过程 4

可以看出,轨迹关于直线 x ? 12. A

?
2

对称,且 f ?

?? ? ?? ? ? ? f ? ? ,且轨迹非线型,故 B 选项正确。 ?4? ?2?

命题意图:本题主要考查了函数与不等式的应用,要注意灵活应用选择题的技巧

解法求解,避免繁琐而复杂的计算。 解析:利用排除法求解,当 x ? 0 时, f (0) ? ?1 ? f (?1) ? ln 2 ?

1 ,则 x ? 0 不能使 2

不等式 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立,排除 C;当 x ? 1 时, f (1) ? f (1) ,则 x ? 1 不能使不等式

f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立,排除 D;当 x ? 2 时, f (2) ? ln 3 ?

1 5

? f (3) ? ln 4 ?

1 10

,则

x ? 2 不能使不等式 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立,排除 B,故选择 A。

二、填空题 13. -2 命题意图:本题主要考查了函数的概念,直接将点代入即可求解。

解析:由 f (?1) ? ?a ? 2 ? 4 得 a ? ?2 。 14. 8 命题意图:本题主要考查了线性规划,解题关键是正确应用数形结合求解。

解析:约束条件对应的平面区域是以点(1,1),(2,3)和(3,2)为顶点的三角 形区域,当目标函数经过点(3,2)时 z 取得最大值 8。

x2 ? y 2 ? 1 命题意图:本题主要考查了双曲线的标准方程、几何性质。 15. 4
解析:由题意可设双曲线方程为

x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ,代入点 (4, 3 ) 得 4 ? 3 ? k ? 1 , 4

故该双曲线的标准方程为 16. 8

x2 ? y2 ? 1。 4

命题意图:本题主要考查了导数的几何意义、直线与双曲线的位置关系,解题关

键是求出切线方程,结合判别式求解。 解析:由题意可得 y' ? 1 ?

1 ,所以曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线斜率为 2,方 x

2 程为 y ? 2 x ? 1 ,该切线与曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1 相切,则 a ? 0 ,且关于 x 的方程

ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 2x ? 1 , 即 ax2 ? ax ? 2 ? 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 则 ? ? a 2 ? 8a ? 0, a ? 0 ,解得 a ? 8 。
三、解答题
9

17. 命题意图:本题是一个解三角形的试题,考查正弦定理、余弦定理的应用,利用正弦 定理、余弦定理建立边和角的关系求解。 参考答案:(Ⅰ)由正弦定理得

AD BD AD DC ? , ? 。 sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD
因为 AD 平分 ? BAC,BD=2DC, 所以

sin ?B DC 1 ? ? 。 sin ?C BD 2

(Ⅱ)因为 ? C=180°-( ? BAC+ ? B), ? BAC=60°, 所以 sin ? C=sin( ? BAC+ ? B)= 由(Ⅰ)知 2sin ? B=sin ? C, 所以 tan ? B=

1 3 cos?B ? sin ?B 。 2 2

3 ,即 ? B=30°。 3

点评:解三角形的问题中,将边和角联系起来的工具就是正弦定理和余弦定理,要熟 练地应用定理实现边角互化。 18. 命题意图:本题是一个统计与概率的综合题,考查直方图等统计与概率的综合应用, 属于基础题型,体现了数学知识在实际生活中的应用。 参考答案:(Ⅰ)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用 户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较 集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散。

(Ⅱ)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 记 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”;CB 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为不满意”。 由直方图得 P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6。 P(CB)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25。 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 19. 命题意图: 本题是一个立体几何试题, 考查空间线面位置关系的应用以及几何体的体
10

积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力。 参考答案:(Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(Ⅱ)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM= A1 E ? 4, EB1 ? 12, EM ? AA 1 ? 8。 因为 EHGF 为正方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 , 于是 MH ?

EH 2 ? EM 2 ? 6, AH ? 10, HB ? 6 。
9 7 7 也正确) 。 9

因为长方体被平面 ? 分成两个高为 10 的直棱柱, 所以其体积的比值为 (

点评:规则的空间几何体的体积直接利用体积公式求解,不规则的几何体一般利用割 补法求解。 20. 命题意图:本题是一个圆锥曲线的试题,考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与 椭圆的位置关系,将直线方程与椭圆方程联立,利用判别式、中点坐标公式等以算代证。 参考答案:(Ⅰ)由题意有 解得 a ? 8, b ? 4 ,
2 2

a2 ? b2 2 4 2 ? , 2 ? 2 ? 1, a 2 a b

所以 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1。 8 4

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M ( xM , y M ) 。 将 y ? kx ? b 代入

x2 y2 ? ? 1得 8 4

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 。
故 xM ?

x1 ? x2 ? 2kb b ? 2 , y M ? k ? xM ? b ? 2 。 2 2k ? 1 2k ? 1

于是直线 OM 的斜率 k OM ?

yM 1 1 ,即 k OM ? k ? ? 。 ?? 2 xM 2k

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 21. 命题意图:本题是一个导数与函数的综合题,考查导数研究函数的单调性、极值与最 值,利用等价转化、分类讨论、数形结合等教学思想求解。

11

参考答案:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,?? ), f ?( x ) ?

1 ? a。 x

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,??) 单调递增。 若 a ? 0 ,则当 x ? ? 0, 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? ,?? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) a? ?a ?

? ?

1? ?1 ? ? 单调递增,在 ? ,?? ? 单调递减。 a? ?a ?
1 a

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 无最大值; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? 取得最大值,最大值为 f ? ? = ln? ? ? a?1 ? 因此 f ?

?1? ?a?

?1? ?a?

? ?

1? ? ? ? ln a ? a ? 1 。 a?

?1? ? ? 2a ? 2 ,等价于 ln a ? a ? 1 ? 0 。 ?a?

令 g (a) ? ln a ? a ? 1 ,则 g (a ) 在 (0,??) 单调递增, g (1) ? 0 。 于是,当 0 ? a ? 1 时, g (a) ? 0 ;当 a ? 1 时, g (a) ? 0 。 因此,a 的取值范围是(0,1)。 点评:本题是导数与函数的应用,利用导数可以研究函数的单调性、极值与最值,导 数是解决函数问题的重要工具。 22. 命题意图: 本题主要考查几何证明选讲中圆的几何性质、 切线的相关定理与结论的应 用,难度中等。 参考答案: (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线, 又因为⊙O 分别与 AB、AC 相切于点 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF,从而 EF∥BC。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为⊙O 的 弦,所以 O 在 AD 上, 连接 OE,OM,则 OE⊥AE,

由 AG 等于⊙O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30°。 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形。
12

因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4, OE ? 2 , 因为 OM=OE=2,DM=

1 MN ? 3 , 2

所以 OD ? 1,于是 AD ? 5, AB ?

10 3 , 3
2

1 ? 10 3 ? 3 1 3 16 3 ? ? 所以四边形 EBCF 的面积为 ? ? 。 ? ? (2 3 ) 2 ? ? ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 3
23. 命题意图:本题主要考查参数方程、极坐标方程,以及直线与圆的相交问题。 参考答案:(Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,曲线 C3 的直角坐标方 程为 x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 。
2 2 ? ? x ? y ? 2 y ? 0, 联立 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 3 x ? 0,

? x? ? x ? 0, ? ? 解得 ? 或? ?y ? 0 ?y ? ? ?

3 , 2 3 . 2
? 3 3? ? ? 2 , 2?。 ? ?

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? , 因此 A 的极坐标为 ( 2 sin ? ,? ) ,B 的极坐标为 (2 3 cos? , ? ) , 所以 | AB |?| 2 sin ? ? 2 3 cos? |? 4 sin?? ? 当? ?

? ?

??

?。 3?

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4。 6

24. 命题意图:本题主要考查不等式与充要条件的证明,方法灵活,考查学生分析问题、 解决问题的能力。 参考答案:(Ⅰ)因为 ( a ? b ) 2 ? a ? b ? 2 ab, ( c ? d ) 2 ? c ? d ? 2 cd , 由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 , 因此 a ? b ?

c? d。

2 2 (Ⅱ)(i)若 | a ? b |?| c ? d | ,则 (a ? b) ? (c ? d ) ,

即 (a ? b) ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd ,
2 2

13

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 。 由(Ⅰ)得 a ? b ? (ii)若 a ? b ?

c? d。

c ? d ,则 ( a ? b ) 2 ? ( c ? d ) 2 ,

即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd , 因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 。于是

(a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd ? (c ? d ) 2 ,
因此 | a ? b |?| c ? d | 。 综上, a ? b ?

c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件。

14


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