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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学案.doc


§1.2.1 几个常用函数的导数 §1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)
【自主学习】

1、五种常见函数的导数公式 函数 导数
y?c y?x

y ? x2 1 y? x

y? x
y ? f ( x) ? x n

2、基本初等函数的导数公式表 函数
y?c

导数

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

3、导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x) ? g ( x) ?' ? 2. ? f ( x) ? g ( x)?' ?
? f ( x) ? 3. ? ? ? ? g ( x) ?
'

【预习检测】
1 的导数是( ) x 2. 函数 y ? sin x(cos x ?1) 的导数是(
1. 函数 y ? x ? A. 1 ? ) D. cos2 x ? cos x

1 x2

B. 1 ?

1 x

C. 1 ?

1 x2

D. 1 ?

1 x

A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x C. cos 2 x ? cos x cos x 3. y ? 的导数是( ) x sin x x sin x ? cos x A. ? 2 B. ? sin x C. ? x2 x
1

D. ?

x cos x ? cos x x2

4. 函数 f ( x) ? 13 ? 8 x ? 2 x 2 ,且 f ?( x0 ) ? 4 ,则 x0 = 5. 设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn ,则

a1 ? a2 ?

? a99 的值为

.

【自主探究、展示】
探究一、基本初等函数的求导 例 1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x3 ? 2 x ? 3 (4) y ? (7) y ? (2) y ? (5) y ?

1 1 ; ? 1? x 1? x
1 ? ln x . 1 ? ln x

(3) y ? x ? sin x ? ln x ; (6) y ? (2 x2 ? 5x ? 1) ? e x ;

x ; 4x sin x ? x cos x cos x ? x sin x

(8) y ?

x2 ? 1 x

探究二、导数公式的应用 2 例 2. 已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与抛物线 y ? x 相交于 A、B 两点, O 是坐标原点, 试在抛物线的弧 AOB
上求一点 P,使得△ ABP 的面积最大。

x 变式训练:点 P 是曲线 y ? e 上任意一点,求点 P 到直线 y ? x 的最小距离。

2

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)
【自主学习】 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称 这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数,记作 y ? f ? g ( x) ? . 2.复合函数的导数 复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? ,即
y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)

【预习检测】
1.已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 线方程是 ( A. y ? 2 x ? 1 ) B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3 ; .

2.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为
1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? 3.设曲线 y ? eax 在点 (0,

【自主探究、展示】 例 1 求下列函数的导数 (1) y ? (2 x ? 3)2 ; (4) y ? cos(2 x ? (7) y ? (2) y ? e?0.05 x?1 ;
)
(5) y ? sin 2 (2 x ? ) 3

(3) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数); (6)y= ln(2 x 2 ? 3x ? 1)

?
3

?

x?a x 2 ? 2ax

;

3x ? 1)] ; (8) y ? ln[sin(

3

? a ? 例 2.对正整数 n, 设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an , 求数列 ? n ? ? n ? 1?

的前 n 项和.

【课堂检测】
1.曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线的斜率为
9 A. e 2 2
1 x

( D.
1 2 e 2



B. 4e 2

C. 2e 2

2.曲线 y =x(x +1) (2-x)有两条平行于直线 y =x 的切线,则此二切线之间的距离 ______________. 3. 求在曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 6 x ? 10 的切线中斜率最小的切线方程______________. 4.设函数 f ? x ? ? cos

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 。若 f ? x ? ? f / ? x ? 是奇函数,求 ? .

?

4


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