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河北省唐山市2017届高三下学期第二次模拟考试文科数学试题 Word版含答案


唐山市 2016-2017 学年度高三年级第二次模拟考试文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.已知集合 A ? ?1,2? , B ? ?x | x ? a ? b, a ? A, b ? A? ,则集合 B 中元素个数为( A.1 2.设复数 z 满足 A. 1
2



B. 2

C.3 ) C. 2 )

D.4

i ? z ? 1 ,则 | z |? ( 1? i
B. 5

D. 2

3.命题“ ?x ? (0,1) , x ? x ? 0 ”的否定是( A. ?x0 ? (0,1) , x02 ? x0 ? 0 C. ?x0 ? (0,1) , x02 ? x0 ? 0

B. ?x0 ? (0,1) , x02 ? x0 ? 0 D. ?x0 ? (0,1) , x02 ? x0 ? 0 )

4.从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字,则这两个数字之积小于 5 的概率为( A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D. )

5 6

5.已知双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1的渐进线方程为 y ? ?3x ,则 m ? ( A.

1 3

B.

1 9

C. 3 )

D. 9

6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(

A. 24 ? ?

B. 24 ? 3?

C. 8 ?

4? 3

D. 8 ?

8? 3


7.已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? n cos(? ? ? ) ,则 tan ? tan ? ? ( A.

1? n 1? n

B.

1? n 1? n

C.

n ?1 1? n

D.

1? n n ?1


8.函数 y ? A. (1, 2)

2? x , x ? (m, n] 的最小值为 0,则 m 的取值范围是( x ?1
B. (?1, 2) C. [1, 2)

D. [?1, 2)

9.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ? 5 ,则输出的结果为(



A.4

B. 5

C.6

D.7

10.已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) ( | ? |?

?
2

)的图象关于 y 轴对称,则 f ( x ) 在区间

? ? ?? 上的最大值为( ? , ? ? 6 3? ?
A. 1



B. 3

C. 2

D. 2

11.已知平面 ? ? 平面 ? ? a ,平面 ? ? 平面 ? ? b ,平面 ? ? 平面 ? ? c ,则下列命题: ①若 a / / b ,则 a / / c , b / / c ;②若 a ? b ? O ,则 O ? c ;③若 a ? b , b ? c ,则 a ? c . 其中正确的命题是( A.①②③ ) B.②③ C.①③ D.①② )

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数,且满足 ( x ? 1) f ( x) ? xf '( x) ? 0 ,则( A. f ( x) ? 0 B. f ( x ) ? 0

C. f ( x ) 为减函数 D. f ( x ) 为增函数

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 y ? 1 ? log 2 ( x ?1) 的定义域为 .

14.平行四边形 ABCD 中, AB ? ? AC ? ? DB ,则 ? ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?



15.在 ?ABC 中, AB ? 8 , BC ? 7 , AC ? 5 ,则 AB 边上的高是 16.已知椭圆 ? :



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,上、下顶点分别为 A , B ,直线 AF 交 ? 于 a 2 b2


另一点 M ,若直线 BM 交 x 轴于点 N (12, 0) ,则 ? 的离心率是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项均为正数的等比数列, a1 ? b1 ? 1 , a3b2 ? 14 , a3 ? b2 ? 5 . (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 18.共享单车的出现方便了人们的出行,深受我市居民的喜爱.为调查某校大学生对共享单车的使用情况, 从该校 8000 名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了 100 位同学进行调查,得到这 100 名同学每周 使用共享单车的时间(单位:小时)如表: 使用时间 人数

?0, 2?
10

(2, 4]
40

(4, 6]
25

(6,8]
20

(8,10]
5

(Ⅰ)已知该校大一学生由 2400 人,求抽取的 100 名学生中大一学生人数; (Ⅱ)作出这些数据的频率分布直方图; (Ⅲ)估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间 t (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) .

19.在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD ,AD / / BC ,AD ? DC ,AD ? DC ? PA ? 2 ,BC ? 4 ,

E 为 PA 的中点, M 为棱 BC 上一点.

(Ⅰ)当 BM 为何值时,有 EM / / 平面 PCD ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求点 P 到平面 DEM 的距离.

20.已知 ?ABC 的顶点 A(1, 0) ,点 B 在 x 轴上移动, | AB |?| AC | ,且 BC 的中点在 y 轴上. (Ⅰ)求 C 点的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)已知过 P(0, ?2) 的直线 l 交轨迹 ? 于不同两点 M , N ,求证: Q(1, 2) 与 M , N 两点连线 QM ,

QN 的斜率之积为定值.

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求证: f ( x) ?

a ? 1 的图象与 x 轴相切. x

( x ? 1)2 ; x x2 ?1 . 2

(Ⅱ)若 1 ? x ? b ,求证: (b ? 1) logb x ?

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3 t ? ? 2
为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 (1 ? 2sin 2 ? ) ? 3 . (Ⅰ)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)直线 C1 与曲线 C2 相交于 A , B 两点,点 M (1,0) ,求 || MA | ? | MB || .

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| , P 为不等式 f ( x) ? 4 的解集. (Ⅰ)求 P ; (Ⅱ)证明:当 m , n ? P 时, | mn ? 4 |? 2 | m ? n | .

试卷答案 一、选择题
1-5: CCBBD 6-10: CADBA 11、12: DA

二、填空题
13. (?1,1] 14.1 15.

5 3 2

16.

1 2

三、解答题
17.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ( q ? 0 ) ,则 ?

?(1 ? 2d )q ? 14, ?(1 ? 2d ) ? q ? 5,

3 ? ? d ? 3, ?d ? ? , 解得 ? 或? , 2 (舍) ? q ? 2, ?q ? ?7, ?
所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 2n?1 .

n(1 ? 3n ? 2) 1 ? 2n 3n 2 ? n ? ? ? 2n ? 1 . (Ⅱ) Sn ? (a1 ? a2 ? …? an ) ? (b1 ? b2 ? …? bn ) ? 2 1? 2 2
18.解: (Ⅰ)设抽取的 100 名学生中大一学生有 x 人,则 所以抽取的 100 名学生中大一学生有 30 人. (Ⅱ)频率分布直方图如图所示.

x 100 ? ,解得 x ? 30 , 2400 8000

(Ⅲ) t ? 1? 0.050 ? 2 ? 3 ? 0.200 ? 2 ? 5 ? 0.125 ? 2 ? 7 ? 0.100 ? 2 ? 9 ? 0.025 ? 2 ? 4.4 , 所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为 4.4 小时. 19.解: (Ⅰ)当 BM ? 3 时,有 EM / / 平面 PCD . 取 PD 中点 F ,连接 EF , CF , ∵ E , F 分别为 PA , PD 的中点,

∴ EF / / AD ,且 EF ?

1 AD ? 1 . 2

又∵梯形 ABCD 中, CM / / AD ,且 CM ? 1 , ∴ EF / / CM ,且 EF ? CM , ∴四边形 EMCF 为平行四边形, ∴ EM / / FC , 又∵ EM ? 平面 PCD , FC ? 平面 PCD ,∴ EM / / 平面 PCD , 即当 BM ? 3 时, EM / / 平面 PCD . (Ⅱ)∵ E 为 PA 的中点, ∴点 P 到平面 DEM 的距离等于点 A 到平面 DEM 的距离,设点 P 到平面 DEM 的距离为 d , 由已知可得, AM ? MD ? ED ? 5 , EM ? 6 , ∴ S?AMD ? 2 , S?DEM ? 由 VA? DEM ? VE ? AMD ,得 ∴d ?

21 , 2
1 1 S ?DEM ? d ? S ?AMD ? EA , 3 3

S?AMD ? EA 4 21 , ? S?DEM 21
4 21 . 21

所以点 P 到平面 DEM 的距离为

B|? |A C| , 20.解: (Ⅰ) 设 C ( x, y)( y ? 0 ) , 因为 B 在 x 轴上且 BC 中点在 y 轴上, 所以 B(? x, 0) , 由| A
得 ( x ? 1) ? ( x ?1) ? y ,
2 2 2 2 2 化简得 y ? 4 x ,所以 C 点的轨迹 ? 的方程为 y ? 4 x ( y ? 0 ) .

(Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

由?

? y 2 ? 4 x, ? y ? kx ? 2,

得 ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ,

所以 y1 ? y2 ?

4 8 , y1 y2 ? ? , k k

k MQ ?

y1 ? 2 y1 ? 2 4 4 ? 2 ? ,同理 k NQ ? , x1 ? 1 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

kMQ ? k NQ ?

4 4 16 ? ? ? 4, y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4

所以 Q(1, 2) 与 M , N 两点连线的斜率之积为定值 4. 21.解: (Ⅰ) f '( x) ?

1 a ? , x x2

设 f ( x ) 的图象与 x 轴相切于点 ( x0 ,0) ,

a ? ln x0 ? ? 1 ? 0, ? x0 ? f ( x0 ) ? 0, ? 则? 即? 解得 a ? x0 ? 1 , ? f '( x0 ) ? 0, ? 1 ? a ? 0, 2 ? ? x0 x0 1 所以 f ( x) ? ln x ? ? 1 , x
f ( x) ? ( x ? 1)2 等价于 ln x ? x ? 1 . x
1 ?1, x

设 h( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 h '( x ) ?

当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, 所以 h( x) ? h(1) ? 0 , 即 ln x ? x ? 1 , (*) 所以 f ( x) ?

( x ? 1)2 . x

x2 ?1 b ?1 (? ln b) x 2 ? b ? 1 ?x? (Ⅱ)设 g ( x) ? (b ? 1) log b x ? , g '( x) ? , 2 x ln b x ln b
由 g '( x) ? 0 ,得 x0 ?

b ?1 . ln b

x ?1 ?1; ln x 1 1 1 x ?1 x ?1 ? x. 以 代换 x 可得 ln ? ? 1 ,有 ln x ? ,即 x x x x ln x
由(*)式可得,当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 ,即 所以当 b ? 1 时,有 1 ? x0 ? b . 当 1 ? x ? x0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 当 x0 ? x ? b 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 又因为 g (1) ? g ( b ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 , 即 (b ? 1) logb x ?

x2 ?1 . 2

22.解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , 曲线 C2 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3
2

(Ⅱ)将直线 C1 的参数方程代入 C2 的直角坐标方程整理得: 5t ? 2t ? 4 ? 0 ,

2 t1 ? t2 ? ? , 5
由 t 的几何意义可知: || MA | ? | MB ||?| t1 ? t2 |?

2 . 5

?2 x, x ? 1, ? 23.解: (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ?2, ?1 ? x ? 1, ??2 x, x ? ?1. ?
由 f ( x ) 的单调性及 f ( x) ? 4 得, x ? 2 或 x ? ?2 . 所以不等式 f ( x) ? 4 的解集为 P ? x | x ? 2或x ? ?2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 | m |? 2 , | n |? 2 ,所以 m ? 4 , n ? 4 ,
2 2

?

?

(mn ? 4)2 ? 4(m ? n)2 ? (m2 ? 4)(n2 ? 4) ? 0 ,
所以 (mn ? 4) ? 4(m ? n) ,
2 2

从而有 | mn ? 4 |? 2 | m ? n | .


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