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2013届高三数学周周练综合试卷(含答案)


木渎二高 2012 届高三数学周末练习题(三)
班级 一、填空题 1.已知集合 A ? { x || x |? 2}, B ? { x | 2.若函数 f ( x ) ? ? 4 ?
? 1 x ( ) , ?1 ? x ? 0 ?4x, ? 0 ? x ?1

姓名
1 x ?1

学号

2011.10.13

? 0 } ,则 A ? B =_____

. { x | ? 1 ? x ? 2}

则 f (lo g 4 3) ? ___ _

.3

3.已知 c o s a ?
3

5 3

,且 a∈(一
4 5

?
2

,0) ,则 sin( ? ? a )=
3 4
2

?

2 3

( 4. sin ? ? )? (co s ? ? 5

) i 是纯虚数,则 tan ? ?

. ? .0

5.已知 tan ?

?

1 2

,则 sin ? cos ? ? 2 sin ? ?

6.在△ABC 中,AB= 3 .A=45°,B=75°,则 BC 等于 7.函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? ? 0 , | ?
2

2
3 2

|?

?
2

)的图象如图所示,则 f(0)= 15
3

8. 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? n ,则 a 8 的值为

9.已知数列 { a n } 为等差数列,且 a1 ? a 7 ? a1 3 ? 4 ? ,则 tan ( a 2 ? a1 2 ) = ______. ? 10. 函数 f(x)= 2 sin(x+
?
4

)+2sinxcosx 在区间 ? ?

?

?4

,

? ? ? 2?

上的最大值是

. 2 ?1
1 2 x? 2,

11.已知定义在 R 上的连续函数 y ? f ( x ) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? 则 f (1) + f ? (1)=________.1 12.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ? 13.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 θ,由此点向塔沿 直线行走 30 米,测得塔顶的仰角为 2θ,再向塔前进 10 3 米, 又测得塔顶的仰角为 4θ,则塔高是_____ .米. 15 14.当 x ? ( 0 ,1) 时,不等式 x ? log a ( x ? 1) 恒成立,则实数 a
2

?

?

?

?

?

?

?

?

. 3
P

A

? B

2? C

4?

Q

的范围为 ___

(1, 2 ]

二、简答题 15. 已知 ?a n ? 是公差不为零的等差数列, a 1 ? 1 ,且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)求数列 ?2 a 解: (Ⅰ)由题设知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 Sm=2+2 +2 +…+2 =
2 3 n
n

? 的前 n 项和 S


n

.

1 ? 2d 1



1 ? 8d 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

a

m

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得
n
n+1

n

2 (1 ? 2 ) 1? 2

=2 -2.

16.已知 ? ? ( 0, ), ? ? (
2

?

?
2

, ? ), cos 2 ? ? ?

7 9

, sin( ? ? ? ) ?

7 9



(1)求 cos ? 的值; 解:(Ⅰ) ∵cos ? ?
2

(2)求 sin ? 的值.
1 ? cos 2 ? 2
7 9 2

…………………………2 分

1 ? (?

) ?

= 又∵ ? ? (
?
2 ,? )

1 9

…………………………4 分
1 3
2

∴cos ? = ?
? ?

…………………………6 分
1 3 )
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:sin ? = 1 ? cos 由 ? ? (0,
?
2 ) 、? ? (

1 ? (?

?

2 2 3
3? 2

…………………………8 分 )

?
2

, ? ) 得( ? ? ? ) ? (
2

?
2

,

cos( ? ? ? )=- 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 ? ( )
9

7

2

? ?

4 2 9

………………………10 分

sin ? =sin( ? ? ? - ? )=sin( ? ? ? )cos ? -cos( ? ? ? )sin ? …………13 分 = =
7 9 1 3

×(?

1 3

) - (?

4 2 9



2 3

2

…………………………14 分

17.已知向量 p ? (sin x , 3 co s x ) , q ? (co s x , co s x ) ,定义函数 f ( x ) ? p ? q . (1)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (2)若△ A B C 的三边长 a , b , c 成等比数列,且 c ? ac ? a ? bc ,求边 a 所对角 A
2 2

??

?

?? ?

以及 f ( A ) 的大小. 解:(1)f(x)=p· q=(sin x, 3cos x)· x,cos x)=sin xcos x+ 3cos2x………………2 分 (cos 1+cos 2x 1 1 3 3 π 3 = sin 2x+ 3· = sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ .…………………………4 分 2 2 2 2 2 3 2 2π ∴f(x)的最小正周期为 T= =π.…………………………………………………………6 分 2 (2)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,………………………………………………………7 分 又 c +ac-a =bc.
2 2

b2+c2-a2 ac+c2-a2 bc 1 ∴cos A= = = = .…………………10 分 2bc 2bc 2bc 2

π 又∵0<A<π,∴A= .…………………………………………………………………………12 分 3 π π 3 3 3 f(A)=sin(2× + )+ =sin π+ = .……………………………………………………15 分 3 3 2 2 2

18.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长;
OC (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· =0,求 t 的值.

【解析】 (1)由题设知 A B ? (3, 5), A C ? ( ? 1,1) ,则
??? ???? ? ??? ???? ? A B ? A C ? (2, 6), A B ? A C ? (4, 4).

??? ?

????

所以 | A B ? A C |? 2 1 0 , | A B ? A C | ? 4 2 . 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 1 0 .…………………………………8 分 (2)由题设知 O C =(-2,-1), A B ? t O C ? (3 ? 2 t , 5 ? t ) . 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2 t , 5 ? t ) ? ( ? 2, ? 1) ? 0 , 从而 5 t ? ? 11, 所以 t ? ?
11 5

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

????

.…………………………………15 分

19.江苏某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考 虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于
3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米) ,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 ....... ......
y (米).

?

⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 1 0 .5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水 B 泥用料最省 (即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.
【解析】⑴ 9 3 ?

C

1 2

x
( A D ? B C ) h ,其中
60
?

AD ? BC ? 2 ?

x 2

? BC ? x , h ?

3 2

A

D

x,

∴ 9 3 ?

1 2

(2 BC ? x)

3 2

x ,得 B C ?

18 x

?

x 2



? 3 x ? 3 ?h ? ? 2 由? ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

,得 2 ? x ? 6 ,

∴ y ? BC ? 2 x ?

18 x

?

3x 2

, ( 2 ? x ? 6 ) .…………………………………8 分

⑵y ?

18 x

?

3x 2

? 1 0 .5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4 ] ? [ 2, 6 ) ,

∴腰长 x 的范围是 [3, 4]
18 x 3x 2

…………………………………11 分

⑶y ?

?

? 2

18 3 x 18 3 x ? ? 6 3 ,当并且仅当 ? ,即 x ? 2 3 ? [2, 6) 时等号成立. x 2 x 2

∴外周长的最小值为 6 3 米,此时腰长为 2 3 米。 …………………………………16 分

20. 已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ? ax
3

2

? (a

2

? 1) x ? b

(a, b ? R ) .

(1)若 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点,求 a 的值; (2) y ? f ( x ) 的图象在点 1, f (1) ) 若 ( 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , f ( x ) 在区间 [ ? 2 , 4 ] 求 上的最大值; (3)当 a ? 0 时,若 f ( x ) 在区间 (? 1,1) 上不是单调函数,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? x ? 2 ax ? ( a ? 1)
' 2 2
2

………1 分

' ∵ x=1 为 f ( x ) 的极值点,∴ f (1) ? 0 ,即 a ? 2 a ? 0 , ……2 分

∴ a ? 0或 2 . (II) ∵( 1, f (1) )是 切点,∴ 1 ? f (1) ? 3 ? 0
? 0 3 ∵切线方程 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 ? 1 ,
2

∴ f (1) ? 2

………4 分 ………5 分

即a ? a ? b ?

8

∴ f ' (1) ? ? 1 ,即 a ? 2 a ? 1 ? 0 , ∴ a ? 1, b ?
2

8 3

…7 分

∵ f (x) ?

1 3

x ? x ?
3 2

8 3

∴ f ' ( x ) ? x ? 2 x ,可知 x ? 0 和 x ? 2 是 y ? f ( x ) 的两个极值点. 8 分
2

∵ f (0) ?

, f (?2) ? ?4, f (4) ? 8 3 3 ∴ y ? f ( x ) 在区间 [ ? 2 , 4 ] 上的最大值为 8.

8

, f (2) ?

4

………9 分 ……………10 分

(Ⅲ)因为函数 f ( x ) 在区间 (? 1,1) 不单调,所以函数 f ? ( x ) 在 (? 1,1) 上存在零点. 而 f ' ( x ) ? 0 的两根为 a ? 1, a ? 1 ,区间长为 2 , ∴在区间 (? 1,1) 上不可能有 2 个零点.
2 所以 f ? ( ? 1) f ? (1) ? 0 即: a ( a ? 2 )( a ? 2 ) ? 0

…………12 分 ……14 分

∵a ? 0 ,
2

∴ ( a ? 2 )( a ? 2 ) ? 0 , ? 2 ? a ? 2 ∴ a ? ( ? 2 ,0 ) ? ( 0 , ? 2 ) . ……………16 分

又∵ a ? 0 ,


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