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2017-2018年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中数学试卷及答案(理科)


2017-2018 学年江苏省南通市海安高级中学高二(上)期中数学 试卷(理科) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在 答题卡相应位置上. 1. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点坐标是 (1,0) ,则抛物线 C 的标准方程是 . 2. (5 分)设空间任意一点 O 和不共线三点 A,B,C,且点 P 满足向量关系 ,若 P,A,B,C 四点共面,则 x+y+z= . 3. (5 分)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“若 a 不是正数,则 它的平方等于 0”,则 p 是 q 的 中选一个填空) 4. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 5. (5 分)若实数 x,y 满足 的准线方程是 . . . . . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定” 则 z=x﹣2y 的取值范围是 6. (5 分) 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n﹣( k k∈N*) , 则 a2k 的值为 7. (5 分) 在△ABC 中, 若 AB=5, AC=12, | |=| |, 则 的值为 8. (5 分)设函数 f(x)= 2]为偶函数,则实数 a 的值为 . ,若函数 g(x)=f(x)﹣ax,x∈[﹣2, 9. (5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 长度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于 . 个单位 10. (5 分)已知 m、n 是直线,α、β、γ 是平面,给出下列命题: ①若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β; ②若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于 α,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α∩β=m,n∥m;且 n?α,n?β,则 n∥α 且 n∥β. 其中正确的命题的序号是 . (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 第 1 页(共 24 页) 11. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)= 若关于 x 的函数 h(x)=f2 . (x) +bf (x) + 有 5 个不同的零点 x1, x2, x3, x4, x5, 则 x12+x22+x32+x42+x52= 12. (5 分)某同学的作业不小心被墨水沾污,经仔细辨认,整理出以下两条有 效信息:①题目:“在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 x2+2y2=1 的左顶点为 A, 过点 A 作两条斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B,C,…” ②解:设 AB 的斜率为 k,…点 B( 你写出直线 CD 的斜率为 , ) ,D(﹣ ,0) ,…据此,请 . (用 k 表示) 13. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2C,c=2,a2=4b ﹣4,则 a= . + =1(a>0)绕它的左 14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设将椭圆 焦点旋转一周所覆盖的区域为 D,P 为区域 D 内的任一点,射线 x﹣y=0(x≥2) 上的点为 Q,若 PQ 的最小值为 a,则实数 a 的取值为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)设全集 U=R,函数 y=lg(x2﹣4x+3)的定义域为 A,函数 y= ∈[0,m]的值域为 B. (1)当 m=4 时,求 B∪?UA; (2)若“x∈?UA”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 16. (14 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,D 为 AB 的中点. (1)与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E,判断点 E 在 AC 上的位置,并说明理 由; (2)若 PA=PB,且△PCD 为锐角三角形,又平面 PCD⊥平面 ABC,求证:AB⊥ PC. ,x 第 2 页(共 24 页) 17. (14 分)已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) . (1)当 ∥ 时,求 cos2x﹣sin2x 的值; (2)设函数 f(x)=2( + )? ,已知 f( 值. 18. (16 分)如图,地面上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为 C,与地面的接 触点为 G .与圆形标志物在同一平面内的地面上点 P 处有一个观测点,且 PG=50m.在观测点正前方 10m 处(即 PD=10m)有一个高为 10m(即 ED=10m) 的广告牌遮住了视线, 因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从 A 到 F 的圆弧. (1)若圆形标志物半径为 25m,以 PG 所在直线为 x 轴,G 为坐标原点,建立直 角坐标系,求圆 C 和直线 PF 的方程; (2)若在点 P 处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为 圆形标志物的半径. ,求该 )= ,α∈( ,π) ,求 sinα 的 19. (16 分)设椭圆 E: + =1(a>b>0) ,其长轴长是短轴长的 . 倍,过焦 点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; 2 2 (Ⅱ) 点 P 是椭圆 E 上横坐标大于 2 的动点, 点 B, C 在 y 轴上, 圆 (x﹣1) +y =1 第 3 页(共 24 页) 内切于△PBC,试判断点 P 在何位置时△PBC 的面积 S 最小,并证明你的判断. 20. (16 分)已知以 a1 为首项的数列{an}满足:an+1= (1)当 a1=1,c=1,d=3 时,求数列{an}的通项公式 (2)当 0<a1<1,c=1,d=3 时,试用 a1 表示数列{an}的前 100 项的和 S100 (3)当 0<a1< (m 是正整数) ,c= ,d≥3m 时,求证:数列 a2﹣ ,a3m+2 ﹣ ,a6m+2

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