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3.4 第1课时 基本不等式


3.4

基本不等式

a?b ab ? 2

国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主 办,首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行,1900 年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行,它的会标是什么?

第24届国际数学家大会
会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去像 一个风车,代表中国人民

热情好客.

1.探索基本不等式的证明过程,并了解基本不 等式的代数、几何背景.(重点) 2.基本不等式的简单应用.

探究点1

探究基本不等式

1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关 系吗?
D

G A H

F E

C

B

D

设AE=a,BE=b, 则正方形ABCD的面积 C 是________ a2+b2 , 这4个直角三角形的面 2ab 积之和是_________ ,

G
A H

F E

a b
B

a 2 ? b2

S正方形ABCD >

4S直角三角形,

即a2 ? b2 ? 2ab.

2. a ? b ? 2ab成立吗?
2 2

当且仅当a=b时,等号成立, 2 2 即a ? b ? 2ab成立.

【提升总结】 一般地,对于任意实数a,b,我们有 a 2 ? b2 ? 2ab, 当且仅当a=b时,等号成立. 3.你能给出它的证明吗?

证明:因为a2 + b2 - 2ab =(a - b)2 ? 0, 所以a2 + b2 ? 2ab.

如果 a > 0,b > 0, 我们用 a , b 分别代替 特别地,

a,b,

可得 a ? b ? 2 ab .

通常我们把上式写作

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0). 2

4.你能用不等式的性质直接推导吗?

a?b 证明:要证 ? ab 2
只要证

a?b ?

2 ab.


② ③

要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ? 0 要证②,只要证 (

a

? b ) ?0
2

显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

【提升总结】

a?b 基本不等式: ab ? 2
注意:(1)a,b均为正数;

(a ? 0, b ? 0).

(2)当且仅当a=b时取等号.

D

A

C

B

如图,AB是圆的直径,C 是AB上任一点, AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE,连接 AD,BD,
ab , 则CD=__
a?b 半径为__ 2 .

E

因为?ACD ∽ ?DCB, 所以CD2 ? AC ? CB, 即CD ? ab.

CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为
a?b ab ? . 2

上述不等式当且仅当点C与圆心重合,即当a=b

时,等号成立.
几何意义:半径不小于半弦.

a?b 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数.
基本不等式
a?b ab ? 2 (a ? 0, b ? 0)

可以叙述为:
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均

数.

探究点2 例1

基本不等式在求最值中的应用
1 的最小值为 2 ,此时 x

x? 当 x ? 0 时,

x? 1 .
1 1 1 解:x ? 0, x ? ? 2 x ? ? 2, 当且仅当x ? , 即x=1时,等号成立. x x x

例2

(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜

园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少?

分析:设矩形菜园的长为x m,宽为y m,
面积确定,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m. 即求(x+y)的最小值.

解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.
x? y 因为 ? xy,所以x ? y ? 2 100. 2 2( x ? y) ? 40.

等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10.
因此,这个矩形的长、宽都为10 m时,所用 篱笆最短,最短篱笆是40 m.

【提升总结】 当xy的值是常数 P 时,当且仅当x=y时, x+y有最小值 2 P . 结论1 两个正数积为定值,则和有最小值.

例2

(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜

园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面
积最大.最大面积是多少? 分析:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 周长确定,则2(x+y)=36,篱笆的面积为xy m2. 即求xy的最大值.

解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m,

则 2(x + y)= 36, x+ y=18, 矩形菜园的面积为xy m2 .
x ? y 18 因为 xy ? ? ? 9,得xy ? 81. 2 2

当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立. 因此,这个矩形的长、宽都为9 m时, 菜园的面积最大,最大面积是81 m2 .

【提升总结】 当x+y的值是常数S时,当且仅当x=y时, xy有最大值 结论2
1 2 S . 4

两个正数和为定值,则积有最大值.

最值定理
结论1 结论2 两个正数积为定值,则和有最小值. 两个正数和为定值,则积有最大值.

注意:①各项皆为正数; 一“正”, ②和为定值或积为定值; 二“定”, ③注意等号成立的条件. 三“等”.

例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其 容积为4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造 价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设 计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 分析:水池呈长方体形,高为 3 m,底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了,水 池总造价也就确定了.因此应

当考察底面的长与宽取什么值
时水池总造价最低.

解:设底面的长为x m,宽为y m,水池总造

价为z元,根据题意,有
4?800 z ? 150 ? ? 120(2 ? 3 x ? 2 ? 3 y) 3

= 240 000 +720( x ? y).

由容积为4 800 m3 ,可得3xy=4 800,因此xy= 1 600.由基本不等式与不等式的性质,可得
240 000 +720(x + y) ? 240 000 +720×2 xy, 即z ? 240 000 +720×2 1 600 , z ? 297 600.

当x ? y,即x ? y ? 40时, 等号成立.
所以,将水池的底面设计成边长为40 m 的正方形时总造价最低,最低总造价是 297 600元.

1.在下列函数中,最小值为2的是( C )
x 5 A. y ? ? ( x ? R, x ? 0) 5 x
x ?x y ? 3 ? 3 ( x ? R) C.

B.

1 y ? lg x ? (1 ? x ? 10) lg x

D. y ? sin x ? 1 (0 ? x ? ? )
sin x 2

4 4, ? ?? ? 2.函数y = x + ? x > 0 ?的值域为______. x

3.已知 x ? 0, y ? 0, 且 2 x ? 5 y ? 20, 则 xy 的最大

10 值为_____.
解: 由2x +5y = 20 ? 2 2x×5y,
得 10xy ? 10,即xy ? 10. 当且仅当2x = 5y = 10, 即x = 5,y = 2时,等号成立.

1.两个重要的不等式
2 2 a,b ? R, 那么 a ? b ? 2ab (当且仅当a ? b时取“ ? ”号); (1 )

(2)基本不等式
a?b ab ? (a ? 0, b ? 0)(当且仅当a ? b时取“ ? ”号). 2 2.不等式的简单应用:主要是求最值,

把握 “六字方针”,即 “一正,二定,三等”.


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