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2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习课件:第6章不等式、推理与证明5第5讲直接证明与间接证明(1)_图文


第六章 不等式、推理与证明 栏目 导引 第六章 不等式、推理与证明 第5讲 直接证明与间接证明 1.直接证明 (1)综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列 的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法. (2)分析法 结论 充分条件 直 从__________ 出发,逐步寻求使它成立的______________ 至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析 法. 2.间接证明 不成立 ,经过正确的推理,最后 (1)反证法:假设原命题__________ 矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明了原命题成 得出__________ 立,这样的证明方法叫做反证法. (2)反证法中的矛盾主要是指: ①与假设矛盾; ②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾; ③与公认的简单事实矛盾; ④与题设矛盾. 1.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的 2>b2+c2 a 结论,三边 a,b,c 应满足_________________. b2+c2-a2 [解析] 由余弦定理 cos A= <0, 所以 b2+c2-a2<0, 2bc 即 a2>b2+c2. x y 1 1 2.已知 a、b、x、y∈(0,+∞)且 > ,x>y,则 与 的 a b x + a y + b x y > x+a y+b . 大小关系为______________ x y [解析] 要比较 与 的大小, x+a y+b 只需看 x(y+b)与 y(x+a)的大小. 即 xb 与 ya 的大小, 1 1 而 > ,x>y 且 x、y、a、b∈(0,+∞), a b x y 所以 a<b,y<x,所以 xb>ya,所以 > . x+a y+b 3.用反证法证明“如果 a>b,那么 a3>b3”时,假设的内容 3 3 a ≤ b 为________. 1.必明辨的 2 个易错点 (1)用分析法证明问题,要证、即证、也就是证?这些联结词 一定要有. (2)利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出 矛盾结果,其推理过程是错误的. 2.必会的 3 种方法 (1)综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须要找到正确的出发点,也就是能 想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条 件所具备的各种性质, 逐层推进, 从而由已知逐步推出结论. (2)分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发, 倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题 时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. (3)反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要 依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是 A, 或者是非 A.即在同一讨论过程中, A 和非 A 有且仅有一个是 正确的,不能有第三种情况出现. 2 2 2 a + mb a + mb ? ?≤ 1.已知 m>0,a,b∈R,用分析法证明:? . ? 1 + m 1+m ? ? [证明] 因为 m>0,所以 1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证. 2.已知非零实数 a、b、c 成公差不为零的等差数列,用反证 1 1 2 法证明: + ≠ . a c b 4ac 1 1 2 [证明] 假设 + = ,则 2b= .又 2b=a+c, a c b a+c 所以(a+c)2=4ac,即(a-c)2=0, 所以 a=c,又 c-a=2d,所以公差 d=0,与已知 d≠0 相矛 盾. 1 1 2 所以 + ≠ . a c b 综合法 (2018· 武汉模拟)已知函数 f(x)=(λx+1)ln x-x+1. (1)若 λ=0,求 f(x)的最大值; (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+y+1=0 f(x) 垂直,证明: >0. x-1 【解】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞). 当 λ=0 时,f(x)=ln x-x+1. 1 则 f′(x)= -1,令 f′(x)=0,解得 x=1. x 当 0<x<1 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,1)上是增函数; 当 x>1 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(1,+∞)上是减函数. 故 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=0. λx+1 (2)证明:由题可得,f′(x)=λln x+ -1. x 由题设条件,得 f′(1)=1,即 λ=1. 所以 f(x)=(x+1)ln x-x+1. 由(1)知,ln x-x+1<0(x>0,且 x≠1). 当 0<x<1 时,f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1) f(x) <0,所以 >0. x-1 1 1 ? 当 x>1 时,f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x?ln x-x+1? ? f(x) >0,所以 >0. x-1 f(x) 综上可知, >0. x-1 综合法的证题思路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未 知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件 或已证的真实判断 (命题)出发,经过一系列中间推理,最后 导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. 在△ABC 中,设 a,b,c 分别是内角 A,B, C 所对的边,且直线 bx+ycos A+cos B=0 与 ax+ycos B+ cos A=0 平行,求证:△ABC 是直角三角形. [证明] 法一:由两直线平行可知 bcos B-acos

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