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广东省普宁英才华侨中学2017届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案


普宁英才华侨中学 2016-2017 学年度第一学期第三次月考

高三数学(理科)
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在 答题卷密封线内,并在“座位号”栏内填写座位号。 2. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷上各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、 选择题

1. 定义在 R 上的函数 ,则有( ) A. B.

,满足

,若



C.

D.不能确定

2. 已知函数 ①函数

.下列命题:( 的图象关于原点对称; ②函数

) 是周期函数;

③当

时,函数

取最大值;④函数

的图象与函数

的图象没有公共

点,其中正确命题的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 3. 若曲线 A.-1 4. 若点 上,则 A. 5. 已知 B.2 C. 为 B.1 在点 C.-2 在函数 的最小值为( D.8 上的可导函数,且 ,均有 ,则以下判断正确的是 D.2 的图像上,点 ) 在函数 的图像 处的切线平行于 x 轴,则 k= ( )

A. C. 6.若 f ( x ) ? ? A. ?? 1,?? ? C.

B. D. 大小无法确定 )

1 2 x ? a ln( x ? 2) 在 (?1,?? ) 上是减函数,则 a 的取值范围是( 2
B. ( ?1,?? ) D. ( ?1,1)

?? ?,?1?

7.在等比数列 ?a n ? 中,若 a1 ? 2 , a 2 ? a5 ? 0 , ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,则 S 2016 ? S 2017 ? ( ) B.2 C. ? 2 D. ? 4032

A. 4034

8. 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9. 设函数 是定义在 ,则不等式 A. B. C. D. 上的可导函数,其导函数为 ,且有 的解集为( )

10. 已知 在区间(a<b,a,b A. B.2 C.3 ) 内,,则 x D.4 )
2

设函数 F(x)= f(x+4),且 F(x)的零点均 +y
2

=b-a 的面积的最小值为( )

11. 满足 f ( x )= f ′( x )的函数是( A

f ( x )=1- x

B

f ( x )= x C

f ( x )=0

D

f ( x )=1

12. 已知函数 f ( x )=sin x +ln x ,则 f ′(1)的值为 A 1-cos1 B 1+cos1 C cos1-1 D

(

) -1-cos1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卷相应位置上

?1? 13 . 已 知 a ? log 0.3 4 , b ? log 0.3 0.2 , c ? ? ? , 将 a, b, c 用 ? 号 连 起 来 ?e?

2

?

. .

14.由曲线 y ? x 与直线 y ? 3x 所围成的图形的面积为

15. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy ( x, y ? R) , f (1) ? 2 , 则 f ( ?3) =__ __. 16.已知函数 g ? x ? ? a ? x (
3

1 ? x ? e , e 为自然对数的底数)与 h ? x ? ? 3ln x 的图象上存 e
.

在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围 是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
?x 17.已知函数 f ( x) ? k ? a ( k , a 为常数, a ? 0 且 a ? 1 )的图象过点 A(0,1), B(3,8) .

(Ⅰ)求实数 k 、 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

f ( x) ? 1 ,试判断函数 g ( x ) 的奇偶性,并说明理由. f ( x) ? 1
(A>0,ω>0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin

点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 sin 的值.

.

19. (本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n 是 1与 a n 的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn 为数列 ?

?

2 ? 2 ? ? 的前 n 项和,证明: ? Tn ? 1? n ? N ? . 3 ? an an ?1 ?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2e ? ax ? 2( x ? R, a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? 0 时,若不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
x

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ax2-a-lnx,其中 a∈R. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 x ? (1,?? ) 时, xf ( x ) ? xe 然对数的底数). 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l
1? x

? 1 恒成立,求 a 的取值范围. (其中,e=2.718…为自

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 的参数方程为: ? (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ. ?y ? 1 t ? 2 ?
(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求|PQ|值. 23.(本小题满分 12 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 , g ( x ) ? x ? 1 ? 2 . (Ⅰ)解不等式 g ( x ) <5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

普宁英才华侨中学 2016-2017 学年度第一学期第三次月考

高三数学参考答案(理科)
1、 A 2、 C 3、 A 4、 D 5、 B 6、 A 7、 C 8、 A 9、 C 10、 A 11、 C 12、B 13.
9 2

14. b ? c ? a

15. 6

16. ? ?1, e ? 3? ?
3

17.解: (Ⅰ)把 A(0,1), B (3,8) 的坐标代入 f ( x ) ? k ? a ? x ,得 ? 解得 k ? 1, a ?

? k ? a 0 ? 1, ?k ? a
?3

? 8,

………2 分

1 . 2

………………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? 2 x , 所以 g ( x ) ?

f ( x) ? 1 2 x ? 1 ? . f ( x) ? 1 2 x ? 1

………………………………6 分

此函数的定义域为 R,又 g ( ? x ) ? 所以函数 g ( x ) 为奇函数.

2?x ? 1 2 x ? 2?x ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? ? g ( x) , ……9 分 2?x ? 1 2 x ? 2?x ? 2 x 2x ?1
………………………………10 分

18 解: .(本小题满分 12 分) (1)由题意可得 A=2,

-x0= ,所以 T=π.



=π,得ω=2,所以 f(x)=2sin

.
在 y 轴右侧的第一个最高点,

(2)因为点(x0,2)是函数 f(x) =2sin 所以 2x0+ 所以 sin

.所以 x0= . =sin

=sin cos +cos sin = = .

19. (1) n ? 1 时, a1 ? 1

————————1 分

n ? 2 时 , 4 S n ?1 ? (an ?1 ? 1) 2 , 又 4 S n ? (an ? 1) 2 , 两 式 相 减 得
(an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0, ?an ? 0,? an ? an ?1 ? 2,{an } 为是以 1 为首项,2 为公差的等
差数列,即 an ? 2n ? 1 . (2) ————————6 分

2 2 1 1 ? ? ? an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 , ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
——————10

? Tn ? 1,
综上

又?

1 2 ? 0,?Tn ? T1 ? , an an ?1 3
————————12 分
x ' x '

2 ? Tn ? 1 成立. 3

20.(1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 2e ? x ? 2, f ( x ) ? 2e ? 1, f (1) ? 2e ? 1 , 即曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线的斜率为 k ? 2e ? 1 ,又 f (1) ? 2e ? 3 , 所以所求切线方程为 y ? (2e ? 1) x ? 2 . (2)当 x ? 0 时,若不等式 f ( x ) ? 0 恒成立 ? [ f ( x)]min ? 0 ————————4 分

易知 f ( x ) ? 2e ? a
' 1 若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 R 上单调递增; ○

'

x

又 f (0) ? 0 ,所以当 x ? [0, ?? ) 时, f ( x ) ? f (0) ? 0 ,符合题意.

—————6 分

' ' 2 若 a ? 0 ,由 f ( x ) ? 0 ,解得 x ? ln ,则当 x ? ( ??, ln ) 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单 ○ 2 2

a

a

调递减;

a , ??) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x) 单调递增. 2 a 所以 x ? ln 时,函数 f ( x ) 取得最小值. 2
当 x ? (ln 则当

————————8 分

ln

a ?0 2 ,即 0 ? a ? 2 时,则当 x ? [0,?? ) 时, f ( x ) ? f (0) ? 0 ,符合题意.
————————10 分



ln

a a ?0 x ? (0, ln ) 2 2 时, f ( x) 单调递增, f ( x) ? f (0) ? 0 , ,即 a ? 2 时,则当

不符合题意. 综上, 实数 a 的取值范围是 ( ??,2]. 21.(1)由题意得: f ( x ) ? 2ax ?
2 ' '

————————12 分 (没有综上扣一分)

1 2 ax 2 ?1 ? ,x ?0 x x

当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0, f ( x) ? 0, f ( x ) 上 (0, ??) 单调递减.

当 a ? 0 时, f ( x ) ?
'

2a ( x ?

1 1 )( x ? ) 2a 2a ,当 x ? (0, 1 ) 时, f ' ( x ) ? 0 , 2a x

当 x?(

1 1 1 , ??) 时 f ' ( x ) ? 0 ,故 f ( x) 在 x ? (0, ) 上单调递减,在 x ? ( , ??) 上 2a 2a 2a
————————5 分

单调递增.

1 1? x ? e ? 0 在 (1, ?? ) 上恒成立, x 1 1 一方面,令 g ( x ) ? f ( x ) ? ? e1? x ? ax 2 ? ln x ? ? e1? x ? a x x
(2)原不等式等价于 f ( x ) ? 只需 g ( x ) 在 (1, ?? ) 上恒大于 0 即可,

又? g (1) ? 0 ,故 g ( x) 在处 x ? 1 必大于等于 0.
'

令 F ( x ) ? g ' ( x ) ? 2ax ? 另一方面,当 a ?

1 时, 2

1 1 1 ? 2 ? e1? x , g ' (1) ? 0, 可得 a ? . ————————8 分 x x 2

F ' ( x ) ? 2a ?

1 2 1 2 x3 ? x ?2 1 ? x 1?x 1?x ? ? e ? 1 ? ? ? e ? ?e x 2 x3 x 2 x3 x3
3 1? x

又? x ? (1, ?? ) ,? x ? x ? 2 ? 0 , e

? 0 ,故 F ' ( x ) 在 (1, ?? ) 时恒大于 0,

当 x ? (1, ?? ) 时, F ( x ) 在 x ? (1, ?? ) 单调递增? F ( x ) ? F (1) ? 2a ? 1 ? 0 . 故 g ( x ) 也 x ? (1, ?? ) 在单调递增? g ( x ) ? g (1) ? 0 . 即 g ( x ) 在 x ? (1, ?? ) 上恒大于 0. ? a ? 综上,a ?

1 . 2

1 . 2
————————12 分(没有综上扣一分)

22.本题满分 10 分 解:(1)∵ρ=4cosθ. ∴ρ2=4ρcosθ, 由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,得 x2+y2=4x, 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x- 2)2+y2=4, x=-1+ 1 y= t 2 消去 t 解得: x - 3 y +1 ? 0 .所以直线 l 的普通方程为 x - 3 y +1 ? 0 . x=-1+ (2)把 1 y= t 2 3 t 2 5分 3 t 2 3分

代入 x2+y2=4x.

整理得 t2-3 3t+5=0. 设其两根分别为 t1,t2,则 t1+t2=3 3,t1t2=5. 所以|PQ| =|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 7. 10 分

23、本题满分 10 分 解析: (1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ? 1 ? 2 ? 5 ,? x ? 1 ? 3 ,解得 ?2 ? x ? 4 .

所以原不等式的解集为 x ? 2 ? x ? 4 (2)因为对任意 所以 ,都有

?

?
,使得 =

5分 成立



有 f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 ? a ? 3 , 所以 a ? 3 ? 2 从而

a ? ?1 或 a ? ? 5

10 分


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