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iipsos高考数学难点突破 难点30 概率


-+ 懒惰是很奇怪的东西,它使你以为那是安逸,是休息,是福气;但实际上它所给 你的是无聊,是倦怠,是消沉;它剥夺你对前途的希望,割断你和别人之间的友情, 使你心胸日渐狭窄,对人生也越来越怀疑。 —罗兰

难点 30 概 率
概率是高考的重点内容之一,尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重要 概念的实际意义,理解概率处理问题的基本思想方法. ●难点磁场 (★★★★★)如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2,当元件 A、B、 C 都正常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作 时,系统 N2 正常工作.已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90,分别求系 统 N1,N2 正常工作的概率 P1、P2.

●案例探究 [例 1](★★★★★)有一容量为 50 的样本,数据的分组及各组的频率数如下: 20 40 25 45 [10, 4 [30, ) 9 [15, ) 5 [35, ) 8 [20, ) 10 [40, ) 3 [25, 15] 35 30 ) 11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率); (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图. 命题意图:本题主要考查频率分布表,频率分布直方图和累积频率的分布图的画法. 知识依托:频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法. 错解分析: 解答本题时, 计算容易出现失误, 且要注意频率分布与累积频率分布的区别. 技巧与方法:本题关键在于掌握三种表格的区别与联系. 解:(1)由所给数据,计算得如下频率分布表 数 据 段 频 数 频 率 累 积 频 率 [10,15 ) [15,20 ) [20,25 ) [25,30 ) [30,35 ) [35,40 ) [40,45 ) 总 计 50 1

4 0.08

5 0.10

10 0.20

11 0.22

9 0.18

8 0.16

3 0.06

0.08

0.18

0.38

0.60

0.78

0.94

1

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下:

[例 2](★★★★★)某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ζ 是一个随机变量,它的分布列如下:

ζ
P

1

2

3

……

12

1 1 1 1 …… 12 12 12 12 设每售出一台电冰箱,电器商获利 300 元,如销售不出而囤积于仓库,则每台每月需花 保养费用 100 元,问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大? 命题意图:本题考查利用概率中的某些知识如期望来解决实际问题. 知识依托:期望的概念及函数的有关知识. 错解分析:在本题中,求 Ey 是一个难点,稍有不慎,就将产生失误. 技巧与方法:可借助概率分布、期望、方差等知识来解决日常生产生活中的实际问题. 解:设 x 为月初电器商购进的冰箱台数,只须考虑 1≤x≤12 的情况,设电器商每月的
?300 x,ζ ≥ x 收益为 y 元,则 y 是随机变量ζ的函数且 y= ? ,电器商平均每月获益 ?300 x ? 100( x ? ζ ),ζ < x
的平均数, 即数学期望为: Ey=300x(Px+Px+1+…+P12)+ [300-100(x-1)] 1+ P [2×300-100(x -2)]P2+…+[300(x-1)-100]Px-1 =300x(12-x+1) =

1 1 x ( x ? 1) ( x ? 1) x + [300× ? 100 × ] 12 12 2 2

25 (-2x2+38x) 3 由于 x∈N,故可求出当 x=9 或 x=10 时,也即电器商月初购进 9 台或 10 台电冰箱时,收 益最大. ●锦囊妙记 本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件 有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机变量、 离散型随机变量的期望与方差. 涉及的思维方法:观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化. 主要思维形式有:逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维. ●歼灭难点训练 一、选择题 1 1 1.(★★★★★)甲射击命中目标的概率是 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概 2 3 1 率是 .现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( ) 4 3 2 4 7 A. B. C. D. 4 3 5 10

2.(★★★★)已知随机变量ζ的分布列为:P(ζ=k)=

A.6 B.9 C.3 二、填空题 3.(★★★★)1 盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取 1 个产品,取出后不再放回,在取 得正品前已取出的废品数ζ的期望 Eζ=_________. 4.(★★★★)某班有 52 人,男女各半,男女各自平均分成两组,从这个班中选出 4 人参 加某项活动,这 4 人恰好来自不同组别的概率是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.6,计算: (1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率.

1 ,k=1,2,3,则 P(3ζ+5)等于( 3 D.4

)

?0 ? 6.(★★★★)已知连续型随机变量ζ的概率密度函数 f(x)= ? x ? a ?0 ?
(1)求常数 a 的值,并画出ζ的概率密度曲线; (2)求 P(1<ζ<

x ≤1 1≤ x < 2 x≥2

3 ). 2

p 1 + =0 有实根的概率. 4 2 8.(★★★★★)设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2, 机器发生故障时全天停止工 作.若一周 5 个工作日里均无故障,可获利润 10 万元;发生一次故障可获利润 5 万元,只发 生两次故障可获利润 0 万元, 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。 求一周内期望利润 是多少?
7.(★★★★★)设 P 在[0,5]上随机地取值,求方程 x2+px+ 参考答案 难点磁场 解:记元件 A 、 B 、 C 正常工作的事件分别为 A 、 B 、 C,由已知条件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1) 因 为 事 件 A 、 B 、 C 是 相 互 独 立 的 , 所 以 , 系 统 N1 正 常 工 作 的 概 率 P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统 N1 正常工作的概率为 0.648 (2)系统 N2 正常工作的概率 P2=P(A)· [1-P( B ? C )] =P(A)· [1-P( B )P( C )] =0.80×[1-(1-0.90)(1-0.90)]=0.792 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792 歼灭难点训练 一、1.解析:设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标为事件 C,则 目标被击中的事件可以表示为 A+B+C,即击中目标表示事件 A、B、C 中至少有一个发生.

∴ P ( A ? B ? C ) = P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) = [1 ? P ( A)] ? [1 ? P ( B )] ? [1 ? P (C )] 1 1 1 1 = (1 ? )(1 ? )(1 ? ) = . 2 3 4 4
故目标被击中的概率为 1-P( A · B · C )=1- 答案:A

1 3 = 4 4

1 1 14 =2,Eξ2=(12+22+32)· = 3 3 3 14 2 ∴Dξ=Eξ2-(Eξ)2= -22= . 3 3 ∴D(3ξ+5)=9Eξ=6. 答案:A
2.解析:Eξ=(1+2+3)· 二、3.解析:由条件知,ξ的取值为 0,1,2,3,并且有 P(ξ=0)=

C1 3 9 = , 1 C12 4

P (ξ = 1) =

C1 C1 C 2 ? C1 C 3 C1 9 9 1 3 9 , P (ξ = 3) = 3 4 9 = = , P ( ξ = 2) = 3 3 9 = 2 220 2C12 44 2C12 2C12 220

3 9 9 1 ∴ Eξ = 0 × + 1 × + 2 × + 3× = 0.3 4 44 220 220
答案:0.3 4.解析: 因为每组人数为 13, 因此, 每组选 1 人有 C 1 种方法, 所以所求概率为 P= 13

(C1 ) 4 13 . 4 C 52

答案:

(C1 ) 4 13 4 C 52

三、5.解:(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件 A, “乙射击一次击中目标”叫 做事件 B.显然事件 A、B 相互独立,所以两人各射击一次都击中目标的概率是 P(A·B)? =P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36 答:两人都击中目标的概率是 0.36 (2)同理,两人各射击一次,甲击中、乙未击中的概率是 P(A· B )=P(A)·P( B )=0.6× (1-0.6)=0.6×0.4=0.24 甲未击中、乙击中的概率是 P( A ·B)=P( A )P(B)=0.24,显然, “甲击中、乙未击中”和 “甲未击中、乙击中”是不可能同时发生,即事件 A· B 与 A ·B 互斥,所以恰有一人击中 目标的概率是 P(A· B )+P( A ·B)=0.24+0.24=0.48 答:其中恰有一人击中目标的概率是 0.48. (2)两人各射击一次,至少有一人击中目标的概率 P=P(A·B)+[P(A· B )+P( A )·B]

=0.36+0.48=0.84 答:至少有一人击中目标的概率是 0.84. 6.解:(1)因为ξ所在区间上的概率总和为 1,所以

1 (1-a+2-a)·1=1, 2

1 2 概率密度曲线如图:
∴a=

3 1 1 3 3 )= ? ( + 1) ? = 2 2 2 2 9 7.解:一元二次方程有实数根 ? Δ≥0 P 1 而Δ=P2-4( + )=P2-P-2=(P+1)(P-2) 4 2 解得 P≤-1 或 P≥2 [0.5] ∩ {( ?∞,?1] ∪ [2,+∞)}的长度 3 故所求概率为 P= = [0,5]的长度 5 8.解:以 X 表示一周 5 天内机器发生故障的天数,则 X-B(5,0.2),于是 X 有概率分布
(2)P(1<ξ<
k P(X=k)=C 5 0.2k0.85 k,k=0,1,2,3,4,5.


以 Y 表示一周内所获利润,则

?10 ? ?5 Y=g(X)= ? ?0 ?? 2 ?

若X = 0 若X = 1 若X = 2 若X ≥ 3

Y 的概率分布为: P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328 P(Y=5)=P(X=1)=C 1 0.2·0.84=0.410 5
2 P(Y=0)=P(X=2)=C 5 ·0.22·0.83=0.205

P(Y=-2)=P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.057 故一周内的期望利润为: EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205-2×0.057=5.216(万元)


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