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18版高中数学第二章算法初步疑难规律方法学案北师大版必修3


第二章 算法初步 1 算法概念的诠释 同学们也许对算法这个概念很陌生, 但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了, 广义 地说,算法就是做某一件事情的步骤或程序.菜谱是做菜肴的“算法”,洗衣机的使用说明 书是操作洗衣机的“算法”. 每个算法都闪耀着人类的智慧, 阅读和学习这些东西会给我们 带来一种难以用语言表达的满足感和快感. 在以后的学习和工作中我们会不断从实际应用中 了解和领会算法是如何解决各个领域的实际问题,推动人类文明的发展的. 一、算法的特征 1.确定性 算法中的每条运算规则必须是明确定义的、 可行的, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答. 2.有限性 一个算法必须保证在执行有限步后结束, 至少不能出现无限循环或死循环. 在此基础上越简 洁越快越好. 越简洁, 占用内存越少, 对设备的要求越基本; 越快, 这个意义就不用说了吧. 比 如一个计算对方导弹轨迹的算法, 如果等你算出来, 那边导弹已经落地了, 那还有什么意义? 二、算法的思想 专业的事交给专业的人去做. 普通人只要按专业人士给出的步骤一步一步地去完成, 这就是 算法的思想,即程序思想,你也可以理解为傻瓜化思想.另外,算法强调的是通性通法,即 给出一个算法, 实际上是给出了一种解决一类问题的方法. 比如你给出一个计算圆的面积的 算法,它应该能计算各种半径的圆的面积,而不是只适用于半径为某一具体数的圆. 三、特别提示 1.算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果,而不应当模棱两 可,如求的近似值却没有要求近似的精确度,则该问题不能求解. 2.现代算法主要是面向计算机的,如果算法中没有输出,程序也能运行 ,但是运行结果无 法输出.如果想要得到结果,那就要有输出. 3.只要有公式可以利用,利用公式解决问题是最理想、最简便的方法,比如在写解方程 x -3x-4=0 的算法时,用求根公式来做,步骤则较为简洁. 4.求解某一个问题的算法一般不是唯一的,我们通常选择较为简单的算法. 四、典例分析 例 1 已知一个等边三角形的周长为 a, 求这个三角形的面积, 设计一个算法解决这个问题. 分析 对于已知等边三角形的边长求面积的题目同学们已经很熟悉, 回顾其中的解题过程不 难得到这个问题的算法步骤.但学会清晰条理地表达自己的想法,也是一个基本的要求. 1 2 解 算法步骤如下: 第一步,输入 a 的值. 第二步,计算 l= 的值. 3 第三步,计算 S= 3 2 ×l 的值. 4 a 第四步,输出 S 的值. 例 2 下面给出了一个问题的算法: 第一步,输入 x. 第二步,若 x≥4,则执行第三步,否则执行第四步. 第三步,输出 2x-1. 第四步,输出 x -2x+3. 这个算法解决的问题是什么? 分析 依据题目给出的算法步骤依次执行,是读懂算法的一个重要而基本的办法. 解 这个算法先是输入一个变量 x,当 x≥4 时输出 2x-1,当 x<4 时输出 x -2x+3,不难 ?2x-1,x≥4, ? 发现这个算法解决的问题是求分段函数 f(x)=? 2 ?x -2x+3,x<4 ? 2 2 的函数值. 2 典型算法举例 1.解方程(方程组)、不等式的算法 例 1 用自然语言描述求一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的算法. 思维切入 对于求方程的根,解方程组这样的数值型的问题,我们都有具体的计算方法,只 要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可.因此我们很容易得到下面的算法. 解 用自然语言来描述算法, 第一步,计算 Δ =b -4ac; -b+ b -4ac 第二步, 如果 Δ <0, 则原方程无实数解, 输出“无实数解”; 否则(Δ ≥0)x1= , 2a 2 2 2 x2= -b- b -4ac ,输出 x1,x2 的值. 2a 2 2 点评 第二步中包含了一个判断 Δ =b -4ac 是否小于零的条件, 并根据判断结果进行不同 的处理.算法是否“健壮”,也是衡量算法优劣的重要指标.如果思维不严谨,比如这个算 法忘记考虑 Δ =b -4ac 小于零的情形,实际运算一旦遇到,则会导致不是出错就是死机, 那这个算法就是不“健壮”的. 例 2 写出解 x -4x+3<0 的算法. 2 2 2 思维切入 只要把平时的固定解法有条理地写出来,即为解不等式的算法. 解 第一步,求出对应方程的根 x1=1,x2=3; 第二步,确定根的大小 x1<x2; 第三步,写出解集{x|1<x<3}. 2.套用公式求值的算法 9 例 3 已知摄氏温度 C 与华氏温度 F 的关系是 F=C× +32,写出由摄氏温度求华氏温度的 5 算法. 思维切入 这是一个函数求值问题,给 C 赋值再代入解析式求 F. 解 第一步,输入摄氏温度 C; 9 第二步,代入 F=C× +32; 5 第三步,输出华氏温度 F. 点评 平时计算我们只注重第二步,其他步骤往往忽略了,算法却讲究“按部就班”,这类 问题的算法一般分为三步:第一步输入值,第二步套用公式,第三步输出结果. 3.判断性质型问题的算法 例 4 试描述判断圆(x-a) +(y-b) =r 和直线 Ax+By+C=0 位置关系的算法. 思维切入 直线与圆的关系有三种:相离、相切、相交,如果圆心到直线的距离 d>r,则直 线与圆相离,d=r 则直线与圆相切,d<r 则直线与圆相交.因此我们可以先求出圆心到直线 的距离 d,然后再和 r 比较. 解 第一步,输入圆心的坐标、直线方程的系数和半径 r; 第二步,计算 z1=Ax0+By0+C; 第三步,计算 z2=A +B ; |z1| 第四步,计算 d= ; 2 2 2 2 2 z2 第五步,如果 d>r 则相离,如果 d=r 则相切,如果 d<r 则相交. 点评 算法要求分解成简单计算,不要直接计算 d= |Ax0+By0+C| .一个比较大的程序,会 A2+B2 分成若干模

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