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高中数学定积分训练题


定积分训练题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.将和式的极限 lim A.

?

1

0

1 dx x

1 p ? 2 p ? 3 p ? ....... ? n p ( ( p ? 0) 表示成定积分 n ?? n P ?1 1 1 x 1 1 B. ? x p dx C. ? ( ) p dx D. ? ( ) p dx 0 x 0 n 0
( B.



2.下列等于 1 的积分是 A.



? xdx
0

1

? ( x ? 1)dx
0

1

C. 1dx
0

?

1

D.

? 2dx
0

1

1

3. | x 2 ? 4 | dx =
0

?

1

( B.



22 23 25 C. D. 3 3 3 4.已知自由落体运动的速率 v ? gt ,则落体运动从 t ? 0 到 t ? t 0 所走的路程为
A. A.

21 3





gt0 3

2

B. gt 0

2

C.

gt0 2

2

D.

gt0 6

2

5.曲线 y ? cos x, x ? [0, ? ] 与坐标周围成的面积 A.4 6. B.2 C.

3 2

( D.3 (



5 2 2 e

? (e
0

1

x

? e ? x )dx =
1 e
B.2e C. D. e ?



A. e ?

1 e

7. 求由 y ? e x , x ? 2, y ? 1 围成的曲边梯形的面积时, 若选择x为积分变量, 则积分区间为 ( ) A. [0, e 2 ] B. [0,2] C. [1,2] 8.由直线 y ? x, y ? ?x ? 1 ,及x轴围成平面图形的面积为 A. C. D. [0,1] ( )

? ??1 ? y ? ? y?dy
1 0

B.

? ??? x ? 1? ? x?dx

1 2 0

? ??1 ? y ? ? y?dy
B.0.26

1 2 0

D. x ? ??? x ? 1?? dx

?

1

0

9.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为将弹簧拉长 6cm,所耗费的功是 ( A.0.18 C.0.12

) D.0.28

10.将边长为 1 米的正方形薄片垂直放于比彼一时为 ? 的液体中,使其上距液面距离为 2 米, 则该正方形薄片所受液压力为 ( ) A. x?dx
2

?

3

B.

? ?x ? 2??dx
2 1

C. x?dx
0

?

1

D.

? ?x ?1??dx
3 2

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.将和式 lim (
n??

1 1 1 ? ? ......... ? ) 表示为定积分 n ?1 n ? 2 2n



12.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 13. y ? c s x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形的面积, 由 利用定积分应表达为 o



14.按万有引力定律,两质点间的吸引力 F ? k

m1 m 2 r2

,k为常数, m1 , m2 为两质点的质量,

r为两点间距离,若两质点起始距离为a,质点 m1 沿直线移动至离 m 2 的距离为b处,试 求所作之功(b>a) . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15.(12 分)计算下列定积分的值 (1)

?

3

?1

(4 x ? x 2 )dx ; (2)? ( x ? 1) 5 dx ; (3)? 2 ( x ? sin x)dx ; (4)? 2? cos2 xdx ;
1
0
? 2

2

?

?

16. (12 分)求曲线 y ? ? x 3 ? x 2 ? 2 x 与 x 轴所围成的图形的面积.

17. (12 分)求由抛物线 y 2 ? 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

18. (12 分)一物体按规律 x=bt 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正 比于速度的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功.

3

19. (14 分)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且

f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. (2)若直线 x=-t(0<t<1=把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t
的值.

20. (14 分)抛物线 y=ax +bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的 图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.

2

参考答案 一、 1.B;2.C;3.C;4.C;5.D;6.D;7.B;8.C;9.A;10.A; 二、11.
1 2? 1 1 1 dx ;12. ? (1 ? x 2 )dx ;13. ? | cos x |dx ;14. km1 m2 ( ? ) ; ?0 1 ? x 0 0 a b
1

三、 15.(1)

(2)

(3)

(4)

16.解:首先求出函数 y ? ? x 3 ? x 2 ? 2 x 的零点: x1 ? ?1 , x 2 ? 0 , x3 ? 2 .又易判断出在 (?1 , 0) 内,图形在 x 轴下方,在 (0 , 2) 内,图形在 x 轴上方, 0 2 37 所以所求面积为 A ? ? (? x 3 ? x 2 ? 2 x)dx ? (? x 3 ? x 2 ? 2 x)dx ? ?1 0 12 17.解:焦点坐标为 F (a,0) ,设弦 AB、CD 过焦点 F,且 AB ? OF . y C A 由图得知: S ACF ? S AGF ? S FBE ? S FBD ,故 S ACFDOA ? S AFBDOA . G 2a ? y2 ? ?a ? ?dy ? 8a 2 . x 所求面积为: A ? 2 0 ? 4a ? 3 F O ? ? D dx E B 18 . 解 : 物 体 的 速 度 V ? ? (bt 3 )? ? 3bt 2 . 媒 质 阻 力

?

?

?

dt Fzu ? kv2 ? k (3bt 2 ) 2 ? 9kb2 t 4 ,其中 k 为比例常数,k>0.
a b
1



当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 ,又 ds=vdt,故阻力所作的功为

Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

19.解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,则 f′(x)=2ax+b, 又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. 2 ∴f(x)=x +2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式Δ =4-4c=0,即 c=1. 2 故 f(x)=x +2x+1. (2)依题意,有所求面积= (3)依题意,有 ∴(

2

?

0 ?1

1 1 ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ( x 3 ? x 2 ? x) |01 ? . ? 3 3

?

?t ?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? 0 t ( x 2 ? 2 x ? 1)dx , ?

1 1 1 1 3 1 t x ? x 2 ? x) | ?1 ? ( x 3 ? x 2 ? x) |0 t , t3+t2-t+ = t3-t2+t, t3-6t2+6t-1=0, - 2 ? ? 3 3 3 3 3 1 3 ∴2(t-1) =-1,于是 t=1- . 3 2
评述:本题考查导数和积分的基本概念. 20.解 依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0,x2=-b/a,所以
b

S ? ? a (ax 2 ? bx)dx ?
0

?

1 3 b (1) 6a 2
2

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax +bx 相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 ?
2

?x ? y ? 4
2 ? y ? ax ? bx
2

得 ax +(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1) +16a=0. 于是 a ? ?

1 (b ? 1) 2 , 代入(1)式得: 16 128b 3 128 b 2 (3 ? b) S (b) ? , (b ? 0) , S ?(b) ? ; 6(b ? 1) 4 3(b ? 1) 5 9 . 2

令 S'(b)=0; b>0 时得唯一驻点 b=3, 在 且当 0<b<3 时, S'(b)>0; b>3 时, 当 S'(b)<0. 故 在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 S max ?


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