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高中立体几何题型分类训练(附详细答案)


立体几何题型分类解答
第一节
一、选择题 1.(2009 年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( )

空间简单几何体的结构与三视图、直观图
及其表面积和体积

2.(2010 年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④ )

3.如下图所示,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是(

①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④ 4.(2009 年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,则它的体积的最小值 与最大值分别为( )

A.9 与 13 B.7 与 10 C.10 与 16 D.10 与 15 5.(2009 年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

1

A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3 二、填空题

B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3

6.在下列图的几何体中,有________个是柱体.

7.(2009 年全国卷)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此 球的表面积等于__________. 8.一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 2、 3、 6,这个长方体对角线的长是________. 三、解答题 9.如右图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N.求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长.

10.一几何体的表面展开图如右图, 则这个几何体是哪一种几何体?选择适当的 角度,画出它水平放置时的直观图与三视图.并计算该几何体的体积.

参考答案
1.C 2.解析:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为 D.
2

答案:D 3.A 4.C 5.C 6.解析:柱体包括棱柱与圆柱,图中第①,③,⑤,⑦个几何体都是柱体. 答案:4 7.解析:在△ABC 中 AB=AC=2,∠BAC=120°,可得 BC=2 3,由正弦定理,可得△ABC 外接圆半径 r=2, 设此圆圆心为 O′,球心为 O,在 RT△OBO′中,易得球半径 R= 5,故此球的表面积为 4π R =20π . 答案:20π 8.解析:不妨设三棱长为 a,b,c,则 ab= 2,bc= 3,ac= 6,解得 abc= 6从而 a= 2,b=1,c= 3, 其对角线长为 a +b +c = 6. 答案: 6 9.解析:(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形所以对角线长为 4 +9 = 97;
2 2 2 2 2 2

(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB1 展开,如右图,设 PC 的长为 x,则 MP =MA +(AC+x) ,因为 MP= 29,MA=2, AC=3,所以 x=2 即 PC 的长为 2,又因为 NC∥AM PC NC 2 NC 所以 = 即 = , PA AM 5 2 4 所以 NC= . 5 注意:几何体中,沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑. 10.解析:该几何体为四棱锥,底面是正方形,有一条侧棱与底面垂直,(直观图,三视图略)其体积为: 1 3 ×6×6×6=72 cm . 3

2

2

2

第二节
一、选择题 1.下列四个命题:

空间图形的基本关系与公理

①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 ③和两条异面直线都相交的两条直线必异面 ④若 a 与 b 是异面直线,b 与 c 是异面直线,则 a 与 c 也是异面直线 其中是真命题的个数为( A.3 B.2 ) C. 1 D.0
3

2.以下命题中:①点 A,B,C∈直线 a,A,B∈平面 α ,则 C∈α ;②点 A∈直线 a,a?平面 α ,则 A∈α ; ③α ,β 是不同的平面,a? α ,b? β ,则 a,b 异面;④三条直线两两相交,则这三条直线共面;⑤空间有四点 不共面,则这四点中无三点共线.真命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

3.对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行; ③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交. 其中,使三条直线共面的充分条件有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个 )

4.(2008 年四川延考)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 A1B1 的中点,则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为( A. 5 10 B. 10 10 C. 5 5 D. 10 5

5.(2008 年全国卷Ⅱ)已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的 角的余弦值为( A. 1 3 ) B. 2 3 C. 3 3 2 D. 3

二、填空题 6.空间内五个点中的任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,则这五个点最多可以确定 ________个平面. 7.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1、CC1 相交于 E,F 两点,则四边形 EBFD1 的形状为________. 8.P 是直线 a 外一定点,经过 P 且与直线 a 成 30°角的直线有________条. 三、解答题 9.如右图所示,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的 中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; (2)若 AC=BD,求证:四边形 EFGH 是菱形; (3)当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是正方形.

4

10.如右图所示,已知四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平 面 AC,且 PA=AD=AB=1,BC=2. (1)求 PC 的长; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小.

参考答案
1.D 2.解析:只有①⑤为真命题. 答案:C 3.B 4.解析:连结 D1C,EC,用余弦定理解三角形可以求得答案. 答案:B 5. 解析: 连接 AC、 BD 交于 O, 连接 OE, 因 OE∥SD.所以∠AEO 为所求. 设侧棱长与底面边长都等于 2, 则在△AEO 中,OE=1,AO= 2,AE= 2 -1= 3, 于是 cos∠AEO= 答案:C 6.7 7.平行四边形 8.解析:无数条,它们组成一个以 P 为顶点的圆锥面. 答案:无数
5
2

( 3) +1 -?
2 2

2?

2

2× 3×1



1 3



3 . 3

1 9.解析:(1)证明:在△ABC 中,E,F 分别是边 AB,BC 中点,所以 EF∥AC,且 EF= AC,同理有 GH∥AC,且 2 1 GH= AC, 2 ∴EF∥GH 且 EF=GH,故四边形 EFGH 是平行四边形; 1 (2)证明:仿(1)中分析,EH∥BD 且 EH= BD,若 AC=BD,则有 EH=EF,又因为四边形 EFGH 是平行四边形, 2 ∴四边形 EFGH 是菱形. (3)由(2)知,AC=BD(四边形 EFGH 是菱形,欲使 EFGH 是正方形,还要得到∠EFG=90°,而∠EFG 与异面直线 AC,BD 所成的角有关,故还要加上条件 AC⊥BD.∴当 AC=BD 且 AC⊥BD 时,四边形 EFGH 是正方形. 10.解析:(1)因为 PA⊥平面 AC,AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得 PB= PA +AB = 2. ∴PC= PB +BC = 6. (2)
2 2 2 2

如右图所示,过点 C 作 CE∥BD 交 AD 的延长线于 E,连结 PE,则∠PCE 为异面直线 PC 与 BD 所成的角或它的补 角. ∵CE=BD= 2,且 PE= PA +AE = 10. ∴由余弦定理得 cos∠PCE= PC +CE -PE 3 =- . 2PC·CE 6
2 2 2 2 2

∴PC 与 BD 所成角的余弦值为

3 . 6

第三节
一、选择题

空间图形的平行关系
)

1.α 、β 是两个不重合的平面,a、b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 α ∥β 的是( A.α 、β 都平行于直线 a、b B.α 内有三个不共线点 A、B、C 到 β 的距离相等 C.a、b 是 α 内两条直线,且 a∥β ,b∥β D.a、b 是两条异面直线且 a∥α ,b∥α ,a∥β ,b∥β
6

2.(2009 年滨州模拟)给出下列命题: ①若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线,则 α ⊥β ; ②若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ,则 α ∥β ; ③若平面 α 垂直于平面 β ,直线 l 在平面 α 内,则 l⊥β ; ④若平面 α 平行于平面 β ,直线 l 在平面 α 内,则 l∥β . 其中正确命题的个数是( A.4 B.3 ) C. 2 D.1

3.已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α ,β 分别交于点 A,C,过点 P 的直线 n 与 α ,β 分别交于点 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为( A.16 C.14 24 B.24 或 5 D.20 ) )

4.a、b 是两条异面直线,A 是不在 a、b 上的点,则下列结论成立的是( A.过 A 有且只有一个平面平行于 a、b B.过 A 至少有一个平面平行于 a、b C.过 A 有无数个平面平行于 a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在 5.给出下列关于互不相同的直线 m,l,n 和平面 α ,β 的四个命题: ①若 m?α ,l∩α =A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 l∥α ,m∥β ,α ∥β ,则 l∥m; ③若 l?α ,m?α ,l∩m=点 A,l∥β ,m∥β ,则 α ∥β ; ④m∥α ,m?β ,α ∩β =l,则 m∥l. 其中为假命题的是( A.① 二、填空题 B.② ) C.③ D.④

6.设 D 是线段 BC 上的点,BC∥平面 α ,从平面 α 外一定点 A(A 与 BC 分居平面两侧)作 AB、AD、AC 分别交平 面 α 于 E、F、G 三点,BC=a,AD=b,DF=c,则 EG=________. 7.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四 边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 8.已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影有可能是:①两条平行直线;②两 条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题 9.(2009 年柳州模拟)如右图所示,ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱,侧棱长为 1, 底面边长为 2,E 是棱 BC 的中点.

7

(1)求证:BD1∥平面 C1DE; (2)求三棱锥 D-D1BC 的体积.

10.(2009 年宁夏模拟)如右图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底 PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在 (1)求三棱锥 E—PAD 的体积; (2)当点 E 为 BC 的中点时, 试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系, (3)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.

面 ABCD 是矩形, 边 BC 上移动.

并说明理由;

参考答案
1.解析:A 错,若 a∥b,则不能断定 α ∥β ; B 错,若 A、B、C 三点不在 β 的同一侧,则不能断定 α ∥β ; C 错,若 a∥b,则不能断定 α ∥β ;D 正确. 答案:D 2.B 24 3.解析:利用△PAB 与△PCD 相似可得,当 α ,β 在点 P 的同侧时,BD 为 ;α ,β 在点 P 的异侧时,BD 5 为 24. 答案:B 4.解析:过点 A 可作直线 a′∥a,b′∥b, 则 a′∩b′=A. ∴a′、b′可确定一个平面,记为 α . 如果 a?α ,b?α ,则 a∥α ,b∥α . 由于平面 α 可能过直线 a、b 之一,因此,过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在. 答案:D 5.解析:本题考查线线,线面及面面位置关系的判定. 答案:B 6. ab-ac b
8

7.点 M 在线段 FH 上 8.解析:

如右图所示,A1D 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相平行; AB1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相垂直; DD1 与 BC1 在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. 答案:①②④ 9.解析:(1)证明:连接 D1C 交 DC1 于 F,连结 EF. ∵ABCD—A1B1C1D1 为正四棱柱, ∴四边形 DCC1D1 为矩形, ∴F 为 D1C 中点. 在△CD1B 中,∵E 为 BC 中点,∴EF∥D1B. 又∵D1B?面 C1DE,EF?面 C1DE,∴BD1∥平面 C1DE. (2)连结 BD,VD-D1BC=VD1-DBC,∵AC′是正四棱柱, ∴D1D⊥面 DBC. 1 ∵DC=BC=2,∴S△BCD= ×2×2=2. 2 1 1 2 VD1-DBC= ·S△BCD·D1D= ×2×1= . 3 3 3 2 ∴三棱锥 D-D1BC 的体积为 . 3 10.解析:(1)三棱锥 E—PAD 的体积 1 1 3 ?1 ? V= PA·S△ADE= PA·? AD·AB?= . 3 3 ?2 ? 6 (2)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF∥PC,又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE?平面 ABCD,∴EB⊥PA, 又 EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP?平面 PAB, ∴EB⊥平面 PAB,又 AF?平面 PAB,∴AF⊥EB, 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 中点, ∴AF⊥PB 又∵PB∩BE=B,PB,BE?面 PBE,∴AF⊥面 PBE, ∵PE?面 PBE,∴PE⊥AF.
9

第四节 空间图形的垂直关系
一、选择题 1.(2008 年安徽卷)已知 m、n 是两条不同直线,α 、β 、γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n ) )

2.(2009 年浙江卷)设 α ,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l⊥α ,α ⊥β ,则 l?β C.若 l⊥α ,α ∥β ,则 l⊥β 3.(2009 年广东卷)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② C.③和④ ) B.②和③ D.②和④ B.若 l∥α ,α ∥β ,则 l?β D.若 l∥α ,α ⊥β ,则 l⊥β

4.关于直线 m、n 与平面 α 与 β ,有下列四个命题: ①若 m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n; ③若 m⊥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m⊥n; ④若 m∥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m∥n; 其中真命题的序号是( A.①② B.③④ ) C.①④ D.②③

5.已知两条直线 m、n,两个平面 α 、β ,给出下面四个命题 ①m∥n,m⊥α ?n⊥α ③m∥n,m∥α ?n∥α 其中正确命题的序号是( A.①③ 二、填空题 6.下列命题中,设 α 、β 、γ 为不同平面,a、b 为不同直线,下列命题是真命题的有________. ①a⊥α ,a⊥β ?α ∥β .②a⊥α ,a∥b?b⊥α . ③α ⊥β ,a?α ,b?β ?a⊥b.④a⊥α ,a⊥b?b∥α . 7.设三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H,给出以下命题: ①若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 H 是△ABC 的垂心 ②若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 H 是△ABC 的垂心
10

②α ∥β ,m?α ,n?β ?m∥n ④α ∥β ,m∥n,m⊥α ?n⊥β ) C.①④ D.②③

B.②④

③若∠ABC=90°,H 是 AC 的中点,则 PA=PB=PC ④若 PA=PB=PC,则 H 是△ABC 的外心 其中正确命题的命题是________. 8.(2009 年浙江)如下图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动 点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取 值范围是_____________.

三、解答题 9.如右图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥CD,PA=1, PD= 2. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

10.如右图,A、B、C、D 为空间四点.在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2.等边三 角形 ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD? 证明你的结论.

参考答案
1.解析:m、n 均为直线,其中 m、n 平行 α ,m、n 可以相交也可以异面,故 A 不正确;m⊥α ,n⊥α 则同垂 直于一个平面的两条直线平行;故选 D. 答案:D 2.解析:对于 A、B、D 均可能出现 l∥β ,而对于 C 是正确的.
11

答案:C 3.D 4.D 5.解析:用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确,②中 m,n 可以平行或异面;③中 n 可以在 α 内. 答案:C 6.①② 7.①②③④ 8. 解析: 此题的破解可采用二个极端位置法, 即对于 F 位于 DC 的中点时, t=1, 随着 F 点到 C 点时, 因 CB⊥AB, CB⊥DK,∴CB⊥平面 ADB,即有 CB⊥BD,对于 CD=2,BC=1,∴BD= 3,又 AD=1,AB=2,因此有 AD⊥BD,则有 1 ?1 ? t= ,因此 t 的取值范围是? ,1?. 2 ?2 ?

?1 ? 答案:? ,1? ?2 ?
9.解析:(1)证明:因为四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA=1,PD= 2, 所以 PD =PA +AD ,所以 PA⊥AD. 又 PA⊥CD,AD∩CD=D,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)四棱锥 P-ABCD 的底面积为 1, 因为 PA⊥平面 ABCD,所以四棱锥 P-ABCD 的高为 1, 1 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 3 10.解析:
2 2 2

(1)取 AB 的中点 E,连结 DE,CE, 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面 ABC 时, 因为平面 ADB∩平面 ABC=AB, 所以 DE⊥平面 ABC,可知 DE⊥CE, 由已知可得 DE= 3,EC=1, 在 Rt△DEC 中,CD= DE +EC =2. (2)当△ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB⊥CD. 证明:①当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC=BC,AD=BD,所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时,由(1)知 AB⊥DE.又因 AC=BC,所以 AB⊥CE. 又 DE,CE 为相交直线,
12
2 2

所以 AB⊥平面 CDE,由 CD?平面 CDE,得 AB⊥CD. 综上所述,总有 AB⊥CD.

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