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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 立体几何试题精选20


立体几何 20

19.三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, 所成角的余弦值为____________. 【答案】

BAA1=CAA1=60°则异面直线 AB1 与 BC1

6 3

【解析】 如图

设 AA 1 ? a, AB ? b, AC ? c, 设棱长为 1,则

AB1 ? a ? b, BC1 ? a ? BC ? a ? c - b , 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , 且
0 ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 所 以 a ? b ? a ? c ? b ? c ?

1 , 所 以 AB1 ? (a ? b) 2 ? 3 , 2

BC1 ? (a ? c - b) 2 ? 2 , AB1 ? BC1 ? (a ? b) ? (a ? c - b) ? 2 ,设异面直线的夹角为

? ,所以 cos? ?

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

2 2? 3

?

6 . 3

三、解答题 19.如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上, PC⊥平面 BDE.

(1) 证明:BD⊥平面 PAC;

-1-

(2) 若 PH=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值; 【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解 等问题,考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.

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20.如图,直三棱柱 ABC ? A/ B / C / , ?BAC ? 90? ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A/ ACC / ;

(Ⅱ)若二面角 A/ ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值。 【答案】

-3-

21.如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B, 连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示) . (Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大;

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(Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

A

A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2

【答案】 (Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45? 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x .
D D ? C 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) ,A

, AD ? BD ,且 BD ? DC ? D ,

1 1 所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90? ,所以 S?BCD ? BD ? CD ? x(3 ? x) .于是 2 2

1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12
? 1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ?3, 12 ? 3 ? ?
3

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. 解法 2:
1 1 1 1 同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6x2 ? 9x) . 3 3 2 6
1 1 令 f ( x) ? ( x3 ? 6 x2 ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.

-5-

???? 1 1 设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? ,则由 EN ? (? , ? , 0) , n ? (1, 2, ? 1) ,可得 2 2

1 ???? | ? ? 1| n ? EN 3 2 ,即 ? ? 60? . ???? ? sin ? ? cos(90? ? ? ) ? ? 2 | n | ? | EN | 2 6? 2

故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?.

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解法 2:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD . 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图 c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥ DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF ? BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的. 即当 DN ?
1 (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) , EN ? BM . 2
5 , 2

连接 MN , ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ?

所以△ NMB 与△ EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角. 在△ EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ?

2 ,所以△ EGN 是正三角形, 2

故 ?ENH ? 60? ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?.

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