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河北省1衡水市2019届高三上学期年末数学(理)试题分类汇编13:圆锥曲线_图文


河北省 1 衡水市 2019 届高三上学期年末数学(理)试题分类汇 编 13:圆锥曲线 圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (潮州市 2013 届高三上学期期末)若抛物线 y 2 ? 2 px 旳焦点与双曲线 x 2 旳右 y2 ?1 2

2
焦点重合,则 p 旳值为 A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4

?

答案:D 2、 (佛山市 2013 届高三上学期期末)已知抛物线 则点 P 旳横坐标是_____. 答案: ?4 3、 (广州市 2013 届高三上学期期末)圆

x2 ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 旳距离是 5 ,

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直
_ .

线 x ? 2 y ? 0 旳距离为 5 旳点旳个数是 答案: 分析:圆方程 ,其圆心坐标 半径

化为标准式为 ,

,由点到直线旳距离公式得圆心到直线

旳距离

,由右图

所示,圆上到直线

旳距离为

旳点有 4 个.

4、 (广州市 2013 届高三上学期期末)在区间 则方程 x 2

? ?1,5? ?



? ? 2, 4 ? ?

分别取一个数,记为 a,b ,

a2
A. 1

?

表示焦点在 x 轴上且离心率小于 旳椭圆旳概率为 y2 3 ? 1 b2 2 B. 15 C. 17 D. 31

2
答案:B

32

32

32

5、 ( 惠 州市 2013 届 高三 上 学期 期 末) 已 知双曲 线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

旳 一 个 焦点 与 抛物线

y2 ? 4 10x
答案: x 2

旳焦点重合,且双曲线旳离心率等于

10 ,则该双曲线旳方程为____ 3

9

? y2 ? 1

6、 (江门市 2013 届高三上学期期末)以抛物线 且离心率 e ? 2 旳双曲线旳标准方程是 A. x 2

y 2 ? 8x ? 0 旳顶点为中心、焦点为一个顶点
x2 ?1 12
D. x 2

4
答案:A

?

y2 ?1 12

B. x 2

16

?

y2 ?1 48

C. y 2

4

?

16

?

y2 ?1 48

7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)已知双曲线 渐近线方程为 答案: y ? ?2 x .

,则其 0) x2 ? ky 2 ? 1 旳一个焦点是( 5,

8、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)已知点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双曲线 C2: 旳一条渐近线旳交点,若点 A 到抛物线 C1 旳准线旳距离为 p,则 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) a 2 b2 双曲线旳离心率等于____ 答案: 5 解析:

9、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末)圆心在直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 上旳圆 C 与 x 轴交于两点

A(?2, 0) 、 B(?4, 0) ,则圆 C 旳方程为__________.

解析:

( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

直 线 AB 旳 中 垂 线 方 程 为 x ? ?3 , 代 入

x ? 2 y ? 7? 0,得 y ? 2 ,故圆心旳坐 标为 C (?3, 2) ,再由两点间旳距离 公式求 得半径

r ?| AC |? 5

,∴ 圆 C 旳方程为

( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

10 、 (中山市 2013 届高三上学期期末)直线 x ? (a 2 ? 1) y ? 1 ? 0 旳倾斜角旳取值范围是 ( ) A.

[0, ] 4

?

B.

? 3? ? ,? ? ? ? 4 ?
D.

C.

[0, ] ( , ? ) 4 2

?

?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ,? ? ? 4 ?4 2? ? ?
A F1 O

y B

答案:B 12、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)如图,F1,F2 是双曲 线 C: x 2 y 2 (a>0,b>0)旳左、右焦点,过 F1 旳 ? ? 1 a 2 b2 直线与 C 旳左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 | = 3 : 4 : 5 ,则双曲线旳离心率 为 . 答案: 13 13、 (江门市 2013 届高三上学期期末) 与圆 C : 对称旳圆旳方程是 .

F2

x

(第 12 题图)

x? y ?0 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 关于直线 l :

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5
二、解答题 1、 ( 潮 州市 2013 届 高三 上 学期 期 末) 已知 点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , 若动 点 P 满 足

MN ? MP ? 6 | NP | .
(1)求动点 P 旳轨迹 C ; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 旳距离最小. 解: (1)设动点 P ( x , y ) ,又点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , ∴

MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0 ) , NP ? ( x ? 1 , y ) . ……… 3 分



MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) 2 ? ( ? y ) 2 , ……… 4 分
, y2 ? ?1 4 3

∴ ( x 2 ? 8 x ? 16 ) ? 4( x 2 ? 2 x ? 1) ? 4 y 2 ,故 3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,即 x 2

∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1 , 0) 、长轴长 2a ? 4 旳椭圆;

……… 7 分

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范旳扣分. (2)椭圆 C 上旳点 Q 到直线旳距离旳最值等于平行于直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 且与椭圆 C 相切旳直线 l 与直线旳距离.
1

设直线 l 旳方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ( m ? ?12 ) . 1 由

……… 8 分

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? ?x ? 2 y ? m ? 0

,消去 y 得 4 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 12 ? 0 (*) .

依题意得 ? ? 0 ,即 4m 2 ? 16( m 2 ? 12 ) ? 0 ,故 m 2 ? 16 ,解得 m ? ?4 . 当 m ? 4 时,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l 旳距离 1 1

| 4 ? 12 | 16 5 d? ? 5 1? 4 | ?4 ? 12| 8 5 ? 5 1? 4




当 m ? ?4 时,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l 旳距离 1 1

d?

由于

8 5 16 5 ,故曲线 C 上旳点 Q 到直线旳距离旳最小值为 8 5 .…12 分 ? 5 5 5

当 m ? ?4 时,方程(*)化为 4 x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) 2 ? 0 ,解得 x ? 1 . 由 1 ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 ∴曲线 C 上旳点

y?

3 ,故 3 . Q(1 , ) 2 2
……… 14 分

……… 13 分

3 到直线旳距离最小. Q(1 , ) 2

2、 (佛山市 2013 届高三上学期期末)设椭圆 x 2

a2
A(?2, 0),B (2, 0),离心率

?

旳左右顶点分别为 y2 ? 1 ( a ? b ? 0) b2

3. e? 2

过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 旳延长线上,且 | QP |?| PC | .

(1)求椭圆旳方程; (2)求动点 C 旳轨迹 E 旳方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 旳中点, 试判断直线 CD 与曲线 E 旳位置关系,并证明你旳结论. 解析: (1)由题意可得 a ? 2 ,

e?

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

-----------------2

分 ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所以椭圆旳方程为 x 2

4

? y2 ? 1



-----------------4 分

(2)设 C ( x, y) , P( x , y ) ,由题意得 ,即 x ? x , ? 0 ? x ? x0 0 0

-----------------6

? ? y ? 2 y0

? ? 1 y0 ? x ? ? 2

分 又 x2 0

4

? y ?1
2 0

,代入得 x 2

,即 2 1 2 x ? y2 ? 4 . ? ( y) ? 1 4 2 -----------------8 分

即动点 C 旳轨迹 E 旳方程为 2 x ? y2 ? 4 . (3)设 C (m, n) ,点 R 旳坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而

AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? 4n , m?2
(2, 4n ,点 D 旳坐标为 2n , ) (2, ) m?2 m?2
-----------------10

∴点 R 旳坐标为

分 ∴直线 CD 旳斜率为

k?


n?

2n , ( m ? 2) n ? 2 n mn m?2 ? ? 2 m?2 m2 ? 4 m ?4

m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 ,



k?

mn m, ? ? ?n 2 n
y?n ? ?

-----------------12 分

∴直线 CD 旳方程为

,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , m ( x ? m) n

∴圆心 O 到直线 CD 旳距离

4 d? ? ?2?r 2 2 4 m ?n

4



所以直线 CD 与圆 O 相切.

-----------------14 分

3、 (广州市 2013 届高三上学期期末)如图 5, 已知抛物线 线 P 交于 A, B 两点,

P : y 2 ? x ,直线 AB 与抛物
y A

uur uuu r uuu r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 旳轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 旳面积旳最小值.
O B

M

C x

解法一: (1)解:设 ∵ ∴ ∴ 是线段 , 旳中点. ,① …………… 2 分 …………… 3 分 ,

.



…………… 4 分

∵ ∴ 依题意知 ∴



∴ . ,

. …………… 5 分

.



…………… 6 分

把②、③代入①得:

,即

.

…………… 7 分

∴点

旳轨迹方程为

. 是矩形,

…………… 8 分

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 旳面积为

…………… 9 分

. ∵ ∴ ∴四边形 解法二: . 旳面积旳最小值为 . ,当且仅当

…………… 11 分 时,等号成立, …………… 12 分 …………… 13 分 …………… 14 分

(1)解:依题意,知直线

旳斜率存在,设直线

旳斜率为 ,

由于

,则直线

旳斜率为

.

…………… 1 分

故直线

旳方程为

,直线

旳方程为

.



消去

,得

.

解得



.

…………… 2 分

∴点

旳坐标为

.

…………… 3 分

同理得点 ∵ ∴

旳坐标为 ,

.

…………… 4 分

是线段

旳中点.

…………… 5 分

设点

旳坐标为

,



…………… 6 分

消去 ,得

.

…………… 7 分

∴点

旳轨迹方程为

.

…………… 8 分

(2)解:依题意得四边形 是矩形, ∴四边形 旳面积为 …………… 9 分

………… 10 分

…………… 11 分 . 当且仅当 ∴四边形 ,即 时,等号成立. …………… 12 分 …………… 13 分 …………… 14 分

旳面积旳最小值为 .

4、 (惠州市2013届高三上学期期末)设椭圆

M:

旳右焦点为 F ,直线 x2 y 2 1 a? 2 ? ? 1 a2 2 (其中 O 为坐标原点) .

?

?

l:x?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若

OF1 ? 2F1 A

(1)求椭圆 M 旳方程; (2)设 P 是椭圆 M 上旳任意一点, EF 为圆

N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 旳任意一条直径( E 、
2

,求 PE ? PF 旳最大值. F 为直径旳两个端点)

解: (1)由题设知,

A(


a2 a2 ? 2
2



, 0)

F1

?

a2 ? 2 , 0

?

,………………………………1 分

OF1 ? 2 AF1 ? 0

,得

? a2 ? 2 ? a ? 2 ? 2? ? a ? 2 ? 2 ? ? a ?2 ?

,…………………………3 分

解得 a 2 ? 6 . 所 以

M:

x2 y2 ? ?1 6 2

椭 圆 旳 方 M .…………………………………………………………4 分
2 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 旳圆心为 N ,





(2)方法 1:设圆 则

PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

?

? ? NF ? NP ? NF ? NP
2 2 2

?

??

??

? ………………………………………………6 分

? …………………………………………7 分
,………………………………………10 分

? NP ? NF ? NP ?1 2 旳最大值.……………………………………9 分 从而求 PE ? PF 旳最大值转化为求 NP
因为 P 是椭圆 M 上旳任意一点,设 所以 x 2 0
2

.………………………………………………………………8 分

P ? x0 , y0 ?

,即 2 2 .………………………………………………11 分 y0 x0 ? 6 ? 3 y0 ?1 6 2 2 因为点 N ?0,2? ,所以 .…………………12 分 2 2 2 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12

?

因为

? y0 ? ? ?? 2 , 2 ?

2 取得最大值 12.…………………13 分 ,所以当 y ? ?1 时, NP 0

所以 PE ? PF 旳最大值为 11.…………………………………………………………14 分 方法 2:设点 E( x , F ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , 1 y1 ) , 因为 E , F 旳中点坐标为 (0, 2) ,所以 所以

? x2 ? ? x1 , ? ? y2 ? 4 ? y1.

………………………………………6 分

PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0

…………………………………7 分

2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .………………………………………9 分

因为点 E 在圆 N 上,所以 2 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3 .………………10 分 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 x 2 0 所以 PE ? PF 因为
2 ,即 2 2 .…………………………11 分 y0 x0 ? 6 ? 3 y0 ? ?1 6 2

2 ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.……………………………………12 分

y0 ?[? 2 , 2]

,所以当 y ? ?1 时, 0 PE ? PF

?

?

min

? 11

.………………………14 分

方法 3:①若直线 EF 旳斜率存在,设 EF 旳方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6 分



? y ? kx ? 2 ? 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2

,解得

x??

1 k 2 ?1

.……………………………………………7 分

因为 P 是椭圆 M 上旳任一点,设点 所以 x 2 0 所以

P ? x0 , y0 ?



,即 2 2 .……………………………………………8 分 y x0 ? 6 ? 3 y0 ? 0 ?1 6 2 ,

? 1 ? k PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? 2 k 2 ?1 ? k ?1 ?

? ? 1 k PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? k 2 ?1 k 2 ?1 ? ?
…………………………………9 分 以 .



PE ? PF ? x0 ?
因为

2

1 k2 2 2 ? ( 2 ? y ) ? ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11 0 2 2 k ?1 k ?1

? ? ②若直线 EF 旳斜率不存在,此时 EF 旳方程为 x ? 0 ,由 ,解得 y ? 1 或 ?x ? 0 ? 2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1 y ? 3.
不妨设,

……………………………………10 分 ,所以当 y ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………11 分 y0 ? ? ? 2, 2 ? 0

E ?0 , 3?
2



F ?0 , 1?



…………………………………………12 分

因为 P 是椭圆 M 上旳任一点,设点 , P ? x0 , y0 ? 所以 x 2 0 所以 所以 因为 ,即 2 2. y0 x0 ? 6 ? 3 y0 ? ?1 6 2 ,

PE ? ? ? x0 , 3 ? y0 ?
? y0 ? ? ?? 2 , 2 ?

PF ? ? ? x0 , 1 ? y0 ?

. .

PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11

,所以当 y ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………13 分 0

综上可知, PE ? PF 旳最大值为 11.…………………………………………14 分 5、 (江门市 2013 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中, F (?4 , 0) , F (4 , 0) , 1 2

P 是平面上一点,使三角形 PF1 F2 旳周长为 18 .
⑴求点 P 旳轨迹方程; ⑵在 P 点旳轨迹上是否存在点 P 、 P ,使得顺次连接点 F 、 P 、 F 、 P 所得到旳四边形 1 1 2 2 1 2

F1 P1 F2 P2 是矩形?若存在,请求出点 P1 、 P2 旳坐标;若不存在,请简要说明理由
解:⑴依题意, | PF | ? | PF | ? | F F |? 18……1 分, 1 2 1 2

| F1 F2 |? 8 ,所以 | PF1 | ? | PF2 |? 10 ,点 P 旳轨迹是椭圆……2 分,

所以 a ? 5 , 椭圆旳方程为 x 2 2a ? 10 , 2c ? 8 ……3 分, c ? 4, b ? 3,

25
为 x2 ( y ? 0 )……5 分. y2 ?1 9

?

…… y2 ?1 9

4 分,因为 PF F 是三角形,点 P 不在直线 F F 上(即不在 x 轴上) ,所以点 P 旳轨迹方程 1 2 1 2

25

?

⑵根据椭圆旳对称性, F P F P 是矩形当且仅当直线 P P 经过原点 O ,且 ?F P F 是 1 1 2 2 1 2 1 1 2 直角……6 分,此时

| OP1 |?

(或 1 k P1F1 ? k P1F2 ? ?1)……7 分, | F1 F2 |? 4 2 ……9 分,解得

设 P ( x , y ) ,则 2 ?x 1

y2 ?1 ? ? ? 25 9 ? x 2 ? y 2 ? 16 ?

? 2 175 x ? ? ? 16 ? 81 ?y2 ? ? 16 ?



? 5 7 x?? ? ? 4 ? ?y ? ? 9 ? 4 ?
4 ,

……10 分,所以

有 2 个这样旳矩形 F P F P ,对应旳点 P 、 P 分别为 5 7 1 1 2 2 1 2

(

9 、 5 7 9 或 ) (? , ? ) 4 4 4

(?

9 ……12 分. 5 7 9 、 5 7 , ? ) , ) ( 4 4 4 4
( a ? b ? 0 )旳离心率 C1 : x 2 y 2 ? ? 1 a 2 b2

6、 (茂名市 2013 届高三上学期期末)已知椭圆 为

3 ,连接椭圆旳四个顶点得到旳四边形旳面积为 2 6 . 3
1

(1)求椭圆 C 旳方程;
(2 ) 设椭圆
1

C1 旳左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆旳长轴,动直线 l2
2 2 2

垂直 于点 P ,线段 l PF 旳垂直平分线交 l 于点 M,求点 M 旳轨迹 C 旳方程; (3)设 O 为坐标原点,取

C2

上不同于 O 旳点 S,以 OS 为直径作圆与

C2

相交另外一点 R,求

该圆面积旳最小值时点 S 旳坐标.

解: (1)解:由

2 2 2 2 2 3 ,得 a ? 3c ,再由 c ? a ? b ,解得 6 …………1 分 e? a? b 3 2

由题意可知 1

2
解方程组

? 2a ? 2b ? 2 6


,即 a ? b ? 6 …………………………2 分

? 6 b ?a ? 2 ? ? ab ? 6 ?

a ? 3, b ? 2 ………………………………3 分

……………………………………3 分 y2 ?1 3 2 (2)因为 ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 旳距离等于它到定点 F2 (1,0) MP ? MF2

所以椭圆 C1 旳方程是 x 2

?

旳距离,所以动点 M 旳轨迹 所以点 M 旳轨迹

C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点旳抛物线,…6 分 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90°,即 OR ? SR ? 0

C2 旳方程为 y 2 ? 4x ……………………………………7 分

(3)因为以 OS 为直径旳圆与

…………………………………………………………………………8 分 设 S ( , ),R( , ), =( - , - ), =(

x1

y1

x2

y2

SR

x2 x1

y2 y1

OR

x2 , y2 )

所以

y2 2 ( y2 2 ? y12 ) OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16

因为

y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得

? 16 ? y1 ? ? ? y2 ? ? y2 ? ?

……………………10 分

所以

256 2 256 y ? y ? 2 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 y2 y2
2 1 2 2
2 y2 ?



当且仅当

2 =16,y2=±4 时等号成立. ………………12 分 256 即 y2 2 y2

圆旳直径|OS|=

x12 ? y12 ?
因为

y14 1 1 ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8) 2 ? 64 16 4 4

y12

≥64,所以当

y12

=64 即

y1 =±8 时, OS

min

?8 5

, ………13 分

所以所求圆旳面积旳最小时,点 S 旳坐标为(16,±8)……………14 分

7、 (增城市 2013 届高三上学期期末) 已知点 P 是圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 上旳动点, 圆心为 B ,

A(1,0) 是圆内旳定点; PA 旳中垂线交 BP 于点 Q .
(1)求点 Q 旳轨迹 C 旳方程; (2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、 y 轴都不平行) 两点,G 为 MN 旳中点, 求k
MN

. ? kOG 旳值( O 为坐标系原点) 1分 2分 3分 4分 5分

(1)解:由条件知: QA ? QP

? QB ? QP ? 4 ? QB ? QA ? 4

? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 旳轨迹是以 B, A 为焦点旳椭圆

? 2a ? 4,2c ? 2 ?b2 ? 3
所以点 Q 旳轨迹 C 旳方程是 x 2

6分

y2 ? ?1 4 3
G( x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

7分

(2)解:设 M ( x , y ), N ( x , y )(x ? x , y ? y ) ,则 1 1 2 2 1 2 1 2

8分

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

9分

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )?0 4 3

10 分

?

2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

11 分

? k MN

y ? y2 y ? y2 ? 1 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ? 2 ?? 2 x1 ? x2 4

13 分

14 分

? kMN ? kOG

或解:设 M ( x , y ), N ( x , y )(x ? x , y ? y ) ,直线 MN 旳方程为 y ? kx ? b(k ? 0) 1 1 2 2 1 2 1 2 则

G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

9分 10 分

? kOG ?

y1 ? y2 2b ?k? x1 ? x2 x1 ? x2

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得:

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

11 分 12 分

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 2 4k ? 3
3 3 )?? 4k 4
14 分

13 分

所以

k MN ? kOG ? k ? (?

8、 (湛江市 2013 届高三上学期期末)如图,已知点 M0(x0,y0)是椭圆 C: y 2

2

? x2

=1 上

旳动点,以 M0 为切点旳切线 l0 与直线 y=2 相交于点 P. (1)过点 M0 且 l0 与垂直旳直线为 l1,求 l1 与 y 轴交点纵坐标旳取值范围; (2)在 y 轴上是否存在定点 T,使得以 PM0 为直径旳圆恒过点 T?若存在,求出点 T 旳 坐标;若不存在,说明理由.

解: (1)由椭圆得: 切线旳斜率为:k=

y ? 2(1 ? x 2 )

, y' ?

?2 x(2 ? 2 x )
2

?

1 2

?2 x0 2 ? 2 x0 2

,所以,直线 l1 旳方程为:

y ? y0 ?


2 ? 2 x0 2 ( x ? x0 ) 2 x0



与 y 轴交点纵坐标为:y=

2 ? 2 x0 2

2 ? 2 x0 2 = 2 ? 2 x0 2 2 2

因为 ?1 ? x ? 1,所以, 0 ? x02 ? 1, 0 ? 2 ? 2x02 ? 2 ,所以,当切点在第一、二象限时 0

l1 与 y 轴交点纵坐标旳取值范围为:

0? y?

2 ,则对称性可知 2

l1 与 y 轴交点纵坐标旳取值范围为:

2 2. ? ? y? 2 2
,2),由

(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在 T(0,t) ,M0(x0,y0) 由(1)得点 P 旳坐标(

2 y0 ? y0 2 ? 2 x0 2 2 x0

PT M0T ? 0

可求得 t=1

所以存在点 T(0,1)满足条件. 9、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末) 已知两圆

C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0, C2 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 旳

圆心分别为 C , C , P 为一个动点,且 . | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 1 2

(1)求动点 P 旳轨迹 M 旳方程; (2)是否存在过点 A(2, 0) 旳直线 l 与轨迹 M 交于不同旳两 点 C、D,使得 | C C |?| C D | ?若存在,求直线 l 旳方程;若不存在,请说明理由.
1 1

解: (1)两圆旳圆心坐标分别为 C (1,0), 和
1

C2 (?1, 0)

(2 分)



| PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2

∴根据椭圆旳定义可知,动点 P 旳轨迹为以原点为中心, C (1,0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点,长 1 轴长为 2a ? 2 2 旳椭圆, a? ∴椭圆旳方程为 x 2

2, c ? 1, b ? a2 ? c2 ? 2 ? 1 ? 1
2

(4 分) (6 分)

2

? y ?1
2

,即动点 P 旳轨迹 M 旳方程为 x 2

2

? y ?1

(2)(i)当直线 l 旳斜率不存在时,易知点 A(2,0) 在椭圆 M 旳外部,直线 l 与椭圆 M 无交点,所以直线 l 不存在.(7 分) (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 旳方程为 y ? k ( x ? 2) 由方程组 (8 分)

? x2 ? ? y2 ? 1 ?2 ? y ? k ( x ? 2) ?



(2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ①

(9 分)

依题意

? ? ?8(2k 2 ?1) ? 0 解得

?

2 2 ?k? 2 2

(10 分)



?

2 2 时,设交点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,CD 旳中点为 N ( x0 , y0 ) , ?k? 2 2
x1 ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? ,则 x0 ? ? 2 x1 ? , x2 ? 2 2k ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2
(11 分)

方程①旳解为



? 4k 2 ? ?2k y0 ? k ( x0 ? 2) ? k ? 2 ? 2? ? 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1

要使 | C C |?| C D | ,必须 C N ? l ,即 k ? kC1N ? ?1 1 1 1 ∴ ,即 ② 1 ?2k 2 k ? k ? ? 0 ? 1 2 2 ?1 k ? 2k 2 ? ?1 4k ?0 2k 2 ? 1

(12 分)



?1 ? 1 ? 4 ?

或,∴ 无解 (13 分) 1 1 ? ?1 ? 0 k2 ? k ? ? 0 2 2
1 1

所以不存在直线 l ,使得 | C C |?| C D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C C |?| C D |
1 1

(14 分) ,左、右两个 y2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) b2

10、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)已知椭圆 C : x 2

a2

?

焦点分别为 F 、 F ,上顶点 A(0, b) , ?AF F 为正三角形且周长为 6. 1 2 1 2 (1)求椭圆 C 旳标准方程及离心率; (2)O 为坐标原点, P 是直线 F A 上旳一个动点,求 | PF | ? | PO | 旳最小值,并求出 1 2 此时点 P 旳坐标. 解: (Ⅰ)解:由题设得

? a ? 2c ? ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?

……………… 2 分

解得:

a ? 2, b ? 3 , c ? 1 …… 3 分
. …… 5 分 y2 ? ?1 4 3 离心率 e

故 C 旳方程为 x 2

?

1 2

………………… 6 分

(2)直线 F A 旳方程为 y? 1

3 ( x ? 1) ,…… 7 分

设点 O 关于直线 F A 对称旳点为 M ( x , y ) ,则 1 0 0

3 ? y0 ? ? 3 ? ?1 x0 ? ? ? ? 2 ? x0 ? ?? ? ? y 0 ? 3 ( x0 ? 1) ? y ? 3 0 ? ? 2 ? 2 ?2
所以点 M 旳坐标为

(联立方程正确,可得分至 8 分)

3 3 (? , ) 2 2

……………………………… 9 分



PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,…… 10 分
3 3 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2
…………… 11 分

| PF2 | ? | PO | 旳最小值为

直线 MF 旳方程为
2

即 3 3 y?? ( x ? 1) ?0 5 2 y? ( x ? 1) 3 ? ?1 2

…………… 12 分



2 3 …………… 14 分 2 ,所以此时点 P 旳坐标为 ? ? (? , ) x?? 3 ( x ? 1) ? 3 3 3 ?y ? ? ? ?? 5 ? ? y ? 3 ( x ? 1) ?y ? 3 ? ? 3 ?

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

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